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1、专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式练基础1（浙江高考真题）已知a，b，cR，函数f (x)ax2bxc.若f (0)f （4）>f （1），则（ ）Aa>0，4ab0Ba<0，4ab0Ca>0，2ab0Da<0，2ab0【答案】A【解析】由已知得f (x)的图象的对称轴为x2且f (x)先减后增，可得选项.【详解】由f (0)f （4），得f (x)ax2bxc图象的对称轴为x2，4ab0，又f (0)>f （1），f （4）>f （1），f (x)先减后增，于是a>0，故选：A.2（2021·全国高三专题练习（文）已知函数，则
2、错误的是（ ）A的图象关于轴对称B方程的解的个数为2C在上单调递增D的最小值为【答案】B【解析】结合函数的奇偶性求出函数的对称轴，判断，令，求出方程的解的个数，判断B，令，从而判断C，D即可【详解】定义域为，显然关于原点对称，又，所以是偶函数，关于轴对称，故选项A正确.令即，解得：，1，函数有3个零点，故B错误；令，时，函数，都为递增函数，故在递增，故C正确；由时，取得最小值，故的最小值是，故D正确故选：B3（2021·北京高三其他模拟）设，则“”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分别解出两个不等式的解集，比较集合的关
3、系，从而得到两命题的逻辑关系.【详解】；易知集合是的真子集，故是充分不必要条件.故选：A.4（2021·全国高三月考）已知函数，则“”是“方程有两个不同实数解且方程恰有两个不同实数解”的（ ）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据二次函数的图象与性质，求得，反之若有两个正根，当，得到方程恰有四个不同实数解，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由表示开口向下的抛物线，对称轴的方程为，要使得方程有两个不同实数，只需，要使得方程恰有两个不同实数解，设两解分别为，且，则满足，因为时，所以，所以必要性成立；反之，设，即，当有两个正
4、根，且满足，若，此时方程恰有四个不同实数解，所以充分性不成立.所以“”是“方程有两个不同实数解且方程恰有两个不同实数解”的必要不充分条件.故选：C.5（2021·全国高三专题练习）若当x(1，2)时，函数y=(x-1)2的图象始终在函数y=logax的图象的下方，则实数a的取值范围是_.【答案】1<a2.【解析】在同一个坐标系中画出两个函数的图象，结合图形，列出不等式组，求得结果.【详解】如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y=(x-1)2和y=logax的图象.由于当x(1，2)时，函数y=(x-1)2的图象恒在函数y=logax的图象的下方，则，解得1<a2.故答案为
5、：1<a2.6.（2020·山东省微山县第一中学高一月考）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】不等式对任意恒成立，函数的图象始终在轴下方，解得，故答案为：7.（2021·全国高三专题练习）已知当时，不等式9xm·3xm1>0恒成立，则实数m的取值范围是_【答案】【解析】先换元3xt，使f（t）t2mtm1>0在上恒成立，再利用二次函数图象特征列限定条件，计算求得结果即可.【详解】令3xt，当时，则f（t）t2mtm1>0在上恒成立，即函数在的图象在x轴的上方，而判别式， 故或，解得.故答案为：.8（2021·
6、;浙江高一期末）已知函数，若任意、且，都有，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】本题首先可令，将转化为，然后令，通过函数单调性的定义得出函数在上是增函数，最后分为、两种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.【详解】因为任意、且，都有，所以令，即，令，则函数在上是增函数，若，则，显然不成立；若，则，解得，综合所述，实数a的取值范围是，故答案为：.9.（2021·四川成都市·高三三模（理）已知函数，若，且，则的最大值为_【答案】【解析】由得，把转化为，利用二次函数求最值.【详解】的图像如图示： 不妨令，由图像可知，由，由当时，故答案为：.10（2021·浙江高
7、一期末）已知函数（）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；（），恒成立，求实数的取值范围【答案】（）；（）【解析】（）由题意讨论，与三种情况，求出函数的对称轴，结合区间，列不等式求解；（）利用参变分离法得在上恒成立，令，根据单调性，求解出最值，即可得的取值范围.【详解】（）当时，在区间上单调递减，符合题意；当时，对称轴为，因为在区间上单调递减，所以，得，所以；当时，函数在区间上单调递减，符合题意，综上，的取值范围为.（），恒成立，即，恒成立，令，可知函数在上单调递增，所以，所以，所以，故的取值范围为练提升TIDHNEG1（2020·山东省高三二模）已知函数，若恒成立，则实数m的范
8、围是（ ）ABCD【答案】A【解析】，（1），恒成立等价于或恒成立，即或（不合题意，舍去）恒成立；即，解得，（2）恒成立，符合题意；（3），恒成立等价于（不合题意，舍去）或恒成立，等价于，解得.综上所述，故选：A.2（2021·浙江高三二模）已知，对任意的，方程在上有解，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】对任意的，方程在上有解，不妨取取，方程有解只能取4，则排除其他答案.【详解】，则，.要对任意的，方程在上都有解,取，此时，任意，都有，其他的取值，方程均无解，则的取值范围是.故选：D.3.（2020·浙江省高三二模）已知函数的图象经过三个象限，则实数a的取值范围
9、是_.【答案】或.【解析】当时，此时函数图象经过第三象限，当时，此时函数图象恒经过第一象限，当且，即时，函数图像经过第一、四象限，当时，此时函数图象恒经过第一象限，当，即时，函数图像经过第一、四象限， 综上所述：或.4（2020·陕西省西安中学高三其他（理）记函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】令，因为，则，所以，即1是函数的零点，因为函数的对称轴为，所以根据题意，若函数有且只有一个零点，则二次函数没有零点，解得.故答案为：5（2021·浙江高三专题练习）已知函数，若时，则的最大值是_.【答案】【解析】根据函数，分，和三种情况讨论，分别求得其最大值，
10、即可求解.【详解】由题意，函数，当时，因为，可得，所以，所以；当时，因为，可得，所以，所以；当时，由知，因为，所以，所以，所以，综上可得，的最大值是.故答案为：6.（2021·浙江高三期末）已知函数，若对于任意，均有，则的最大值是_.【答案】【解析】首先讨论、时的最值情况，由不等式恒成立求的范围，再讨论并结合的单调情况求的范围，最后取它们的并集即可知的最大值.【详解】当时，当时，令，则当时，有；有；由有，有，故；当时，有；有；由有，有，故，即；当时，：在上递减，上递减，上递增；：在上递减，上递增；：在上递减，上递增，上递增；综上，在上先减后增，则，可得恒成立，即的最大值是-1.故答案
11、为：.7（2020·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高一期中）已知函数，且的解集为（1）求的解析式；（2）设，在定义域范围内若对于任意的，使得恒成立，求M的最小值【答案】（1）；（2）【解析】（1）代入方程的根，求得参数值.（2）使不等式恒成立，根据函数单调性求得函数的最值，从而求得参数的值.【详解】解：（1）由题意解得（2）由题意当当令，当，当取等号，当当取等号，综上，8（2021·浙江高一期末）设函数（1）若在区间上的最大值为，求的取值范围；（2）若在区间上有零点，求的最小值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，求
12、得，再由可求得实数的取值范围；（2）设函数的两个零点为、，由韦达定理化简，设，由结合不等式的基本性质求出的最小值，即为所求.【详解】（1）二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.当时，即当时，函数在区间上单调递增，则；当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，；当时，即当时，函数在区间上单调递减，则.综上所述，.所以，当在区间上的最大值为，实数的取值范围是；（2）设函数的两个零点为、，由韦达定理可得，所以，设，由可得，所以，.此时，由可得.所以，当，时，取最小值.9（2020·全国高一单元测试）已知函数f（x）=9xa3x+1+a2（x0，1，aR），记f（x）的最大值为g（
13、a）（）求g（a）解析式；（）若对于任意t2，2，任意aR，不等式g（a）m2+tm恒成立，求实数m的范围【答案】（）g（a）=；（）m或m【解析】（）令u=3x1，3，得到f（x）=h（u）=u23au+a2，分类讨论即可求出，（）先求出g（a）min=g（）=，再根据题意可得m2+tm，利用函数的单调性即可求出【详解】解：（）令u=3x1，3，则f（x）=h（u）=u23au+a2当2，即a时，g（a）=h（u）min=h（3）=a29a+9；当，即a时，g（a）=h（u）min=h（1）=a23a+1；故g（a）=；（）当a时，g（a）=a29a+9，g（a）min=g（）=；当a时，g
14、（a）=a23a+1，g（a）min=g（）=；因此g（a）min=g（）=；对于任意任意aR，不等式g（a）m2+tm恒成立等价于m2+tm令h（t）=mtm2，由于h（t）是关于t的一次函数，故对于任意t2，2都有h（t）等价于，即，解得m或m10（2021·全国高一课时练习）已知函数，在区间上有最大值16，最小值.设（1）求的解析式；（2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围；【答案】（1）；（2）【解析】（1）由二次函数的性质知在上为减函数，在上为增函数，结合其区间的最值，列方程组求，即可写出解析式；（2）由题设得在上恒成立，即k只需小于等于右边函数式的最小值即可.【详解】
15、（1）()，即在上为减函数，在上为增函数又在上有最大值16，最小值0，解得，；（2），由，则，设，在上为减函数，当时，最小值为1，即.练真题TIDHNEG1（浙江省高考真题）若函数在区间0,1上的最大值是M,最小值是m,则的值（ ）A与a有关，且与b有关B与a有关，但与b无关C与a无关，且与b无关D与a无关，但与b有关【答案】B【解析】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B2.（2018·浙江高考真题）已知R，函数f(x)=x-4,xx2-4x+3,x<，当=2时，不等式f(x)<0的解集是_若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是_【答案】 (1,4) (1,3
16、(4,+) 【解析】由题意得x2x-4<0或x<2x2-4x+3<0，所以2x<4或1<x<2，即1<x<4，不等式f(x)<0的解集是(1,4),当>4时，f(x)=x-4>0，此时f(x)=x2-4x+3=0,x=1,3，即在(-,)上有两个零点；当4时，f(x)=x-4=0,x=4，由f(x)=x2-4x+3在(-,)上只能有一个零点得1<3.综上，的取值范围为(1,3(4,+).3.（北京高考真题）已知,且,则的取值范围是_.【答案】【解析】试题分析：，所以当时，取最大值1；当 时，取最小值.因此的取值范围为. 4
17、.（2018·天津高考真题（理）已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是_.【答案】【解析】分析：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.详解：分类讨论：当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，令，其中，原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，结合观察可得，实数的取值范围是.5.（2020·江苏省高考真题）已知关于x的函数与在区间D上恒有（1）若，求h(x)的表达式；【答案】（1）；【解析】（1）由题设有对任意的恒成立.令，则，所以.因此即对任意的恒成立，所以，因此.故.6（浙江省高考真题（文）设函数.（1）当时，求函数在上的最小值的表达式；（2）已知函数在上存在零点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，故其对称轴为.当时，.当时，.当时，.综上，（2）设为方程的解，且，则.由于，因此.当时，由于和，所以.当时，由于和，所以.综上可知，的取值范围是.