《2022年重点高中立体几何证明方法及例题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年重点高中立体几何证明方法及例题.docx（44页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 重点高中立体几何证明方法及例题名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 作者：日期：2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - （一）平行与垂直关系的论证由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系,在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系,前者是判定定理,后者是性质定理；1. 线线、线面、面面平行关系的转化：公理 4 线线a面面平行性质/a,aba/b1A b 面面
2、面面平行性质/ba ,babAa a,bb 线面a/,b/a/线面平行判定面面平行判定a/b,b/ca / / c线面平行性质a面面平行性质1/a/aa/ba/b2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：a b三垂线定理、逆定理线线abO1线面a2面面la l bal线面垂直判定面面垂直判定PA,AO 为PO线面垂直定义面面垂直性质,推论在内射影llaabaaa就a OAaPO,a ba POa AOaa面面垂直定义l,且二面角l成直二面角名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 平行与垂直关系的转化：aa/ /bba/
3、 /2面面a面面平行判定a线线线面垂直判定2线面线面垂直性质2面面平行性质3aa/ /ba/ /a”b4. 应用以上“ 转化” 的基本思路“ 由求证想判定,由已知想性质；5. 唯独性结论：1. 三类角的定义：（1）异面直线所成的角 ：0 90（ 2）直线与平面所成的角：0 90（ 3）二面角：二面角的平面角 ,0 1802. 三类角的求法：转化为平面角“ 一找、二作、三算”名师归纳总结 即：（1）找出或作出有关的角；（ 2）证明其符合定义；第 4 页,共 26 页（3）指出所求作的角；（4）运算大小；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【典型例题】（一）
4、与角有关的问题例 1. （1）如图, E、F 分别为三棱锥 面直线 AB 与 PC 所成的角为（）PABC 的棱 AP 、BC 的中点, PC10,AB 6,EF7,就异A. 60B. 45C. 30D. 120 解： 取 AC 中点 G,连结 EG、FG,就1 1EGPC,FGAB2 2 EGF 为 AB 与 PC 所成的角在 EGF 中,由余弦定理,cosEGFEG2FG2EF252327212EGFG2532AB 与 PC 所成的角为180 120 60选 A （2）已知正四棱锥以棱长为1 的正方体的某个面为底面,且与该正方体有相同的全面积,就这一正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为（
5、3）D.26A.13B.3C .136326名师归纳总结 设正四棱锥的高为hh,斜高为h2 1h21212第 5 页,共 26 页2解：1226由题意：14122h26- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 侧棱长 PBh2OB26222622cosPBOOB2132PB26132选 A （ ）如图,在正方体 ABCD A B C D 1 1 1 1 中,P 为 A D 1 1 上的一个定点,Q 为A B 1 1上的任意一点,E、 为 F CD 上任意两点,且 EF 的长为定值,有以下命题：点 P 到平面 QEF 的距离为定值；直线 PQ 与平面 PEF 所
6、成的角为定值；二面角 P EFQ 的大小为定值；三棱锥 PQEF 的体积为定值其中正确命题的序号是 _；解：平面 QEF 即是平面 A B CD 1 1A D 11上定点P 到面A B CD 1 1的距离为定值对,错二面角PEFQ,即面PDF与面A B CD 1 1所成的角,且平面角PDA1为定值,对由于A B 11DC,且EF为定值,SQEF为定值又 点到平面QEF的距离为定值,V P QEF为定值,对综上,正确；例 2. 图是一个正方体的表面绽开图,MN 和 PQ 是两条面对角线,请在图（2）的正方体中将MN ,PQ 画出来,并就这个正方体解答以下各题：（1）求 MN 和 PQ 所成角的大
7、小；名师归纳总结 （2）求四周体M NPQ 的体积与正方体的体积之比；第 6 页,共 26 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）求二面角 M NQ P 的大小；解：（1）如图,作出 MN 、PQ PQ NC,又 MNC 为正三角形 MNC 60PQ 与 MN 成角为 60（2）VMNPQVQPMN1SPMNMQMQ312SPMNMQ1SPMDN661V正方体1： 6 6即四周体 M NPQ 的体积与正方体的体积之比为（3）连结 MA 交 PQ 于 O 点,就 MO PQ 又 NP面 PAQM , NP MO,就 MO 面 PNQ 过 O 作 OE
8、NQ,连结 ME ,就 ME NQ MEO 为二面角 M NQ P 的平面角在 Rt NMQ 中, ME NQ MN MQ 2aa3设正方体的棱长为a ME2aa6a,又MO3 a32在RtMEO中,sinMEOMO22ME6a23 MEO 60即二面角 M NQ P 的大小为 60 ；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3. 如图,已知四棱锥PABCD ,PBAD ,侧面 PAD 为边长等于2 的正三角形,底面ABCD 为菱形,侧面 PAD 与底面 ABCD 所成的二面角为 120 ；（1）求点 P 到平面 A
9、BCD 的距离；（2）求面 APB 与面 CPB 所成二面角的大小；解：（1）作 PO平面 ABCD ,垂足为 O,连结 OB、 OA 、OD,OB 与 AD 交于点 E,连结 PE AD PB, AD OB（依据 _）PAPD, OA OD 于是 OB 平分 AD ,点 E 为 AD 中点PE AD PEB 为面 PAD 与面 ABCD 所成二面角的平面角 PEB120 , PEO60又PE3,POPEsin60o33322即为 P 点到面 ABCD 的距离；（2）由已知 ABCD 为菱形,及PAD 为边长为 2 的正三角形PAAB 2,又易证 PBBC 故取 PB 中点 G,PC 中点 F
10、 就 AG PB,GF BC 又 BCPB, GFPB AGF 为面 APB 与面 CPB 所成的平面角GF BC AD , AGF GAE 连结 GE ,易证 AE平面 POB 名师归纳总结 又PEBE3,G为PB 中点3第 8 页,共 26 页PEG1PEB60o2GEPEcos60o3122- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 在RtAGE中,AE1AD12tanGAEGE3arctan3AE2 GAEarctan332 AGFarctan2所以所求二面角的大小为2（2）解法 2：如图建立直角坐标系,其中O 为坐标原点, x 轴平行于 DA P（0,
11、0,3）,B（ ,3 3,0）3 3,3）,22PB的中点G的坐标为（0,3 3,3）,连结AG44又A（ ,3, ）,0C（2,3 3,0）22由此得到GA（ ,13,3）,PB（0,4422BC（2,0,0）于是GAPB0,BCPB0GAPB,BCPBGA、BC的夹角为所求二面角的平面角于是cos|GABC|277GA|BC所求二面角大小为arccos 277（二）与距离有关的问题名师归纳总结 例 4. （1）已知在ABC 中, AB 9,AC15, BAC 120 ,它所在平面外一点P 到 ABC 三个顶点的距离都是14,那么点 P 到平面 ABC 的距离是（）第 9 页,共 26 页-
12、 - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A. 13 B. 11 C. 9 D. 7 解： 设点 P 在 ABC 所在平面上的射影为 O A B C O R PAPBPC, O 为 ABC 的外心 ABC 中, AB 9, AC15, BAC 120BC2 92 152915o cos 120212,BB12,ABC由aA2R,R22137 3sin2PO1427327（ ）在直三棱柱ABCA B C1中,ABBC90 o , 、 分别为 E FAA1、C B 11的中点,沿棱柱的表面从E 到 两点的最短路径的长度为 _；解：（采纳绽开图的方法）名师归纳总结 将
13、平面B BCC 11沿B B 1旋转使两矩形A ABB 11与B BCC 11在同一平面内第 10 页,共 26 页连接EF,就EF 为所求的最短路径- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如图, EFA E 12A F 122 13 222222如图绽开, EF2212272 232；22如图绽开,EF321123 2222比较这三种方式绽开,可见沿表面从E到 的最短路径长度为2点评： 此类试题, 求沿表面运动最短路径,应绽开表面为同一平面内,就线段最短； 但必需留意的是,应比较其各种不同绽开形式中的不同的路径,取其最小的一个；（3）在北纬 45 圈上有甲
14、、乙两地,它们的经度分别是东经140 与西经 130 ,设地球半径为R,就甲、乙两地的球面距离是（）A.1RB.1RC .3RD.1R2423解：由题意 AO B 1360o140o130o90o（O1 为小圆圆心）又由题意O A 1O B 12R2就1AB中,ABR AOB 为正三角形（ O 为球心）名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - AOB3A、B两点球面距离为3R选 D 例 5. 如图,四棱锥 P ABCD ,底面 ABCD 是矩形, PA平面 ABCD ,E、F 分别是 AB 、PD 中点；（1）求证： A
15、F 平面 PEC；（2）如AD2,CD22,二面角PCDB为45o,求点F 到平面PEC距离；解： G 为 PC 中点,连结 FG、EG 又 F 为 PD 中点FG1 2CD,又AE1CD2FGAE四边形 AEGF 为平行四边形AFEG,又EG面PEC,AF面PECAF 平面 PEC （2） CD AD ,又 PA面 ABCD AD 为 PD 在面 ABCD 上射影CD PD PDA 为二面角 PCD B 的平面角,且PDA 45就 PAD 为等腰直角三角形AF PD,又 CD平面 PAD CD AF AF 面 PCD 作 FHPC 于 H,就 AFFH 又 EG AF, EG FH FH面
16、PEC, FH 为 F 到面 PEC 的距离在 Rt PEG 中, FH PGPFFG FH2222122方法 2：（体积法）名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - AF 面 PEC,故只要求点 A 到面 PEC 的距离 d 由VAPECVP AEC即1SPECd1SAECPA33易证 AF 面 PCD, EG面 PCD EGPC SPEC1 2PCEG212222 222222 22SAEC1 2AEBC12222dSAECPA21SPEC2（三）对命题条件的探究例 6. （1）如图已知矩形 ABCD 中, AB 3
17、,BCa,如 PA平面 ABCD ,在 BC 边上取点 E,使 PEDE,就满意条件 E 点有两个时, a 的取值范畴是（）A a 6 B a 6C .0a6D.0a6解： PA面 ABCD ,PEDE 由三垂线定理的逆定理知 PE 的射影 AE BE 所以满意条件的点 E 是以 AD 为直径的圆与 BC 的交点,要有两个交点,就AD 2AB 6 选 A （2）如图,在三棱柱 ABC ABC 中,点 E、F、H、K 分别为 AC、 CB、AB 、BC 的中点, G 为ABC 的重心,从 K、H、G、B中取一点作为 P,使得该棱柱恰有 2 条棱与平面 PEF 平行,就 P 为（）A. K B.
18、H C. G D. B 名师归纳总结 分析： 从题目中的“ 中点” 条件,联想到“ 中位线”；第 13 页,共 26 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 而平面 PEF 中, EF 为定直线,连 BC就 F 为 BC中点故AC B 中,EFABAB 平面PEF,A B 平面PEF考虑到如 P 为 K 点,就仍有AA 、BB、CC都平行于 FK 即它们也都平行于平面 PEF,不合题意；同理 P 也不能为 H 点,如 P 为 B点时,EF 与 BA 共面也不符合题意 （这时只有一条棱平行于平面 PEF）,可见只能取 G 点；应选 C 例 7. 如图,是棱长
19、为1 的正方体ABCDA B C D 1 1 11.如存在,确定P 的位置；如不存在,（ ）线段A B上是否存在一点P 使得A B平面PAC说明理由；（2）点P 在线段A B上,如二面角CAPB的大小是arctan2,求P 点位置；（ ）Q 点在对角线B D上,使A B 平面QAC,求B Q；QD解：（1）（用反证法）假设 BA 1面 PAC,就 A B 1ACoA C 1 1AC,易知 A B 1 与 A C 1 1 成 60o即 A B 1 与 AC 成 60 角,与 A B 1AC 冲突A B 1 不垂直于平面 PAC不存在点 P 满意题目条件（2）过 B 作 BHAP 于 H,连 CH
20、 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由于CB面ABB A 11,故CHAP即 BHC 是二面角 CAPB 的平面角tanBHCBC21BH即AB BH2中,BH AB即在Rt BHA2 BAH 30在ABP中,PBAB,又AB1sin30sin105PB12622264（ ）由于A B 1D C 1,A B 1 面D AC 1点Q是直线B D 1与面D AC 1的交点下面求 Q 点的位置；设ACBDO,明显QODQD B 112B Q QDB D 11DO（四）对命题结论的探究名师归纳总结 - - - - - -
21、 -第 15 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 8. （ ）正方体ABCDA B C D1中,点P 在侧面BCC B1及其边界上运动,并且总保持 APBD 1,就动点 P 的轨迹是（）A . 线段 B C 1B . 线段 BC 1C BB 1 中点与 CC 1 中点连成的线段D BC 中点与 B C 1 中点连成的线段分析： 从条件 APBD 1 动身,可知 AP 必在过 A 点且与 BD 1 垂直的平面 B 1AC 上点 P 必在 B1C 上选 A 在（2）如图,斜三棱柱ABC A 1B1C1 中, BAC 90 ,BC 1AC ,就 C1 在底面 ABC
22、 上的射影 H 必）B. 直线 BC 上A. 直线 AB 上C. 直线 CA 上 D. ABC 内部解： 连结 AC 1AC AB ,又 AC BC 1AC 面 ABC 1又AC面ABC,面ABC面ABC1且AB为交线就 C 在面 ABC 上的射影必在交线AB 上选 A 例 9. 在四周体 ABCD 中, AB BC,AB BD ,BCCD,且 AB BC1；（1）求证：平面CBD 平面 ABD ；CAD B 的平面角为30 ？假如存在,求出CD 的长；如（2）是否存在这样的四周体,使二面角果不存在,请找出一个角 ,使得存在这样的四周体,使二面角CAD B 的平面角为 ；名师归纳总结 - -
23、- - - - -第 16 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：（1） AB BC ,AB BD AB平面BCD,又AB面ABD面 ABD 面 CBD （2）设 CD x,在面 CBD 内作 CEBD 于 E 由（ 1）知平面 ABD 面 BCD ,且 BD 为交线CE平面 ABD 作 EFAD 于 F,连结 CF,就 CFAD CFE 为“ 二面角”CAD B 的平面角,且CFE 30又在 Rt BCD 中, CEBD CB CD CE12x1xxx21又 CD BC,又 BC 为 AC 在面 BCD 上射影CD AC 就在 Rt ACD 中, CFAD A
24、C CD CFx2x22x名师归纳总结 在RtCEF中,sinCFECEx21x2211第 17 页,共 26 页CF2x2x22解出x23,无实数解；x2230,1CAD B 的平面角为故不存在这样的四周体,使二面角又sinCFE2x2x2111x2112222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - CFE4,2故 可以取 45 90 之间的任意角；点评： 此题是一道存在性的探究问题；经常假定结论成立,再判定它与已知条件是否符合；【模拟试题】一. 挑选题；1. PA、PB、PC 是从 P 引出的三条射线,两两成 60 ,就 PC 与平面 PAB 所成角的余
25、弦值是（）1 3 3 6A. 2 B. 2 C. 3 D. 32. 在边长为 1 的菱形 ABCD 中, ABC 60 ,将菱形沿对角线 AC 折起,使折起后 BD 1,就二面角 BAC D 的余弦值为（）1 1 2 2 3A. 3 B. 2 C. 3 D. 23. 三棱锥的三条侧棱两两垂直,底面上一点到三个侧面的距离分别是的距离是（）B. 41C. 7 D. 61A. 112,3,6,就这个点到三棱锥顶点4. 已知 A 、B、C 是球面上的三点,且AB 6,BC8,AC 10,球 心 O 到平面 ABC 的距离为11 ,B就球的表面积为（）A. 36B. 72C. 144D. 2885. A
26、BC 边上的高线为AD ,BDa,CDb,且 ab,将 ABC 沿 AD 折成大小为 的二面角AD C,如cosaABCD 的侧面ABC 是（）b ,就三棱锥A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形 D. 外形与 a,b 的值有关的三角形 6. 有一塔形几何体由如干个正方体构成,构成方式如下列图,上层正方体的下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点,已知最底层正方体的棱长为2,且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面积）名师归纳总结 超过 39,就该塔中正方体的个数至少是（）第 18 页,共 26 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A. 4
27、 B. 5 C. 6 D. 7 二. 填空题；7. 如图,在三棱锥PABC 中, PAPBPCBC ,且 BAC2 ,就 PA 与底面 ABC 所成角的大小为 _；8. 如图,矩形ABCD中,AB4,BC3,沿 AC 把 DAC 折起,当四周体的体积最大时,直线AD 与平面 ABG 所成角的正弦值是_；1、D C 11中点,就点 C 到截面 MNDB9. 如图,正方体ABCDA B C D 1 1 11 棱长为 1,M 、N 分别为B C的距离是 _；三. 解答题；名师归纳总结 - - - - - - -10. 如图,正三角形ABC 的边长为 3,过其中心G 作 BC 边的平行线,分别交AB
28、、AC 于B1、C 1,将AB C 11 沿B C 1 折起到A B C 1 1 1 的位置, 使点A1在平面BB C C上的射影恰是线段BC 的中点 M ,求：第 19 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）二面角A1B C 1 1M的大小；（2）异面直线A B1与CC1 所成角的大小； （用反三角函数表示）AB2 ,AF 1,M 是线段 EF 的11. 如图,已知正方形ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面相互垂直,中点；（1）求证： AM 平面 BDE ；（2）求二面角A DFB 的大小；60 ；（3）试在线段AC 上确定一点P,使得 PF 与 BC 所
29、成的角是11. 解：（1）记 AC 与 BD 交于点 O,连结 OE 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - O、M 分别是 AC 、EF 的中点, ACEF 是矩形四边形 AOEM 是平行四边形AM OE, OE平面 BDE ,AM平面 BED AM 平面 BDE （2） AB AF,AB AD ,ADAFAAB 平面 ADF ,作 ASDF 于 S,连 BS 由三垂线定理,得 BSDF BSA 是二面角 A DFB 的平面角在 Rt ASB 中,AS6,AB60o233,ASBtanASB二面角 ADFB 的大小为
30、 60名师归纳总结 （3）设CPt0t2 ,作 PQAB 于 Q,就 PQ AD 第 21 页,共 26 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - PQAB ,PQAF ,ABAFAPQ面 ABF PQQF 在 Rt PQF 中, FPQ60 , PF 2PQ PAQ 为等腰直角三角形PQ22t2又 PAF 为直角三角形PF2t22 122t2t2122t1或 t3（舍）即点 P 是 AC 的中点名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【试题答案】一. 挑选题；1. C 2. A 3
31、. C 4. C 5. C 6. C 提示： 假设有 n 个正方体构成,其表面积由二部分组成：（1）俯视图、表面只有一个正方形,其边长为2；4,公比为12（2）侧面就由 4n 个正方形构成, 且各层（从下往上看） 正方形面积构成一个首项为2的等比数列；444 4141n41241n139222表面积844 113921n 的最小值为6 2二. 填空题；7. 3提示： 由题意, P 点在面 ABC 上的射影 H 是 ABC 外心,BAC2 , H 为 BC 中点）48. 529. 31VMCDB ,即1 3SMBDh1SBCDC C提示：VC MDB3hSBCD1211 1122222SMBD5
32、3224三. 解答题；10. （1）连结 AM ,A G名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 26 页精选学习资料 - - - - - - - - - ABC 为正三角形, M 为 BC 边中点A、G、M 三点共线, AM BC 名师归纳总结 B C 11BC,B C 11AM于G1与CC1所成的角第 24 页,共 26 页即A GB C 11 A GM 1是二面角A1B C 11M的平面角点A 1在平面BB C C上的射影为M A M 1MG,A MG 190o在Rt A GM中,由 AG2GM得A GMo 60即二面角A1B C 11M的大小是 60（2）过B1作B PC C交 BC 于 P,就A B P为异面直线A B由PB C C是平行四边形得：B P 1C C 11BP,PMBMBP1,A B 11AB122A M 1面BB C C 1 1于 M A M 1BC,A MP 1o 90在Rt A GM中,A MA Gsin60o33322在Rt A MP中,A P2A M2PM232125222在A B P 1 1中,由余弦定理cosA B PA B122 B P2 A P2215522A B1B P2218- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 异面直线A B1与CC1 所成的角为arccos 5