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1、重点高中立体几何证明方法及例题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 26 页2 作者：日期：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 26 页（一）平行与垂直关系的论证由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。1. 线线、线面、面面平行关系的转化：线线线面面面公理 4(a/b,b/cac/ /) 线面平行判定/,/abab面面平行判定1ababa/,/面
2、面平行性质ababAab,/,/线面平行性质aabab/面面平行性质1/aa面面平行性质/A b a a b 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：线线线面面面三垂线定理、逆定理PAAOPOaa OAaPOa POa AO,为在内射影则线面垂直判定1面面垂直判定a babOla l bl,aa线面垂直定义lala面面垂直性质，推论2baa ba,aa面面垂直定义ll，且二面角成直二面角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 26 页3. 平行与垂直关系的转化：线线线面面面线面垂直判定2面面平行判定2线面垂直性质2面面平行性质3a
3、bab/ /abab/ /aa/ / /aaa4. 应用以上“转化”的基本思路“由求证想判定，由已知想性质。”5. 唯一性结论：1. 三类角的定义：（1）异面直线所成的角：0 90（ 2）直线与平面所成的角：0 90（ 3）二面角：二面角的平面角，0 1802. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”即： （1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；（3）指出所求作的角；（4）计算大小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 26 页【典型例题】（一）与角有关的问题例 1. （1）如图， E、F 分别为三棱锥PABC
4、 的棱 AP、BC 的中点， PC10，AB 6，EF7，则异面直线 AB 与 PC 所成的角为（）A. 60B. 45C. 30D. 120解： 取 AC 中点 G，连结 EG、FG，则EGPCFGAB，1212 EGF 为 AB 与 PC 所成的角在 EGF 中，由余弦定理，cosEGFEGFGEFEGFG222222253725312AB 与 PC 所成的角为180 120 60选 A （2）已知正四棱锥以棱长为1 的正方体的某个面为底面，且与该正方体有相同的全面积，则这一正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为（）ABCD.131336332626解：设正四棱锥的高为，斜高为hhh221
5、2由题意：1241121612222hh26精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 26 页侧棱长 PBhOB222622262cosPBOOBPB222621313选 A （ ）如图，在正方体中，为上的一个定点，为3111111ABCDA B C DPA DQA BEFCDEF11上的任意一点，、 为上任意两点，且的长为定值，有下列命题：点 P 到平面 QEF 的距离为定值；直线 PQ 与平面 PEF所成的角为定值；二面角P EFQ 的大小为定值；三棱锥PQEF 的体积为定值其中正确命题的序号是_。解：平面即是平面QEFA B
6、 CD11上定点到面的距离为定值A DPA B CD1111对，错二面角，即面与面所成的角，且平面角为定PEFQPDFA B CDPDA111值，对因为，且为定值，为定值A BDCEFSQEF11又 点到平面的距离为定值，为定值，对PQEFVP QEF综上，正确。例 2. 图是一个正方体的表面展开图，MN 和 PQ 是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN ，PQ 画出来，并就这个正方体解答下列各题：（1）求 MN 和 PQ 所成角的大小；（2）求四面体MNPQ 的体积与正方体的体积之比；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，
7、共 26 页（3）求二面角MNQP的大小。解： （1）如图，作出MN 、PQ PQNC，又 MNC 为正三角形 MNC 60PQ 与 MN 成角为 60（）213VVSMQMNPQQPMNPMN1621616正方体SMQSMQVPMNPMDN即四面体MNPQ 的体积与正方体的体积之比为1： 6 （3）连结 MA 交 PQ 于 O 点，则 MO PQ 又 NP面 PAQM ， NP MO，则 MO面 PNQ 过 O 作 OENQ，连结 ME，则 MENQ MEO 为二面角MNQP 的平面角在 RtNMQ 中， MENQ MN MQ 设正方体的棱长为a MEaaaaMOa236322，又在中，Rt
8、MEOMEOMOMEaasin226332 MEO 60即二面角MNQP 的大小为60。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 26 页例 3. 如图，已知四棱锥PABCD ，PBAD ，侧面 PAD 为边长等于2 的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面 PAD 与底面 ABCD 所成的二面角为120。（1）求点 P 到平面 ABCD 的距离；（2）求面 APB 与面 CPB 所成二面角的大小。解： （1）作 PO平面 ABCD ，垂足为O，连结 OB、 OA、OD，OB 与 AD 交于点 E，连结 PE AD PB， AD O
9、B（根据 _）PAPD， OA OD 于是 OB 平分 AD ，点 E 为 AD 中点PE AD PEB 为面 PAD 与面 ABCD 所成二面角的平面角 PEB120， PEO60又，PEPOPEo36033232sin即为 P 点到面 ABCD 的距离。（2）由已知ABCD 为菱形，及PAD 为边长为2 的正三角形PAAB2，又易证PBBC 故取 PB 中点 G，PC 中点 F 则 AGPB，GFBC 又 BCPB， GFPB AGF 为面 APB 与面 CPB 所成的平面角GFBCAD ， AGF GAE 连结 GE，易证 AE平面 POB 又，为中点PEBEGPB3PEGPEBo126
10、0GEPEocos6031232精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 26 页在中，RtAGEAEAD121tanGAEGEAE32 GAEarctan32 AGFarctan32所以所求二面角的大小为arctan32（2）解法 2：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于 DA PB（，），（ ，）003203 320PBGAG的中点的坐标为（，），连结03 3434又（ ， ），（，）AC132023 320由此得到（ ，），（，），GAPB1343403 3232BC（，）200于是，GAPBBCPB00，G
11、APBBCPB、的夹角为所求二面角的平面角GABC于是cos|GABCGABC277所求二面角大小为arccos277（二）与距离有关的问题例 4. （1）已知在 ABC 中， AB 9，AC15， BAC 120，它所在平面外一点P 到 ABC 三个顶点的距离都是14，那么点P 到平面 ABC 的距离是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 26 页A. 13 B. 11 C. 9 D. 7 解： 设点 P 在 ABC 所在平面上的射影为O A B C O R PAPBPC， O 为 ABC 的外心ABC 中， AB9，
12、AC15， BAC 120BCo91529151202122cos由，aARRsin2212327 3PO1473722（ ）在直三棱柱中，2221111ABCA B CABBCBBABC90EFo， 、 分别为、的中点，沿棱柱的表面从到 两点的最短路径的AAC BEF111长度为 _。解： （采用展开图的方法）将平面沿旋转使两矩形与在同一平面内B BCCB BA ABBB BCC1111111连接，则为所求的最短路径EFEF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 26 页如图， EFA EA F12122213 22222如
13、图展开， EF()212272 2222如图展开，EF321213 2222比较这三种方式展开，可见沿表面从到 的最短路径长度为。EF322点评： 此类试题， 求沿表面运动最短路径，应展开表面为同一平面内，则线段最短。 但必须注意的是，应比较其各种不同展开形式中的不同的路径，取其最小的一个。（3）在北纬45圈上有甲、乙两地，它们的经度分别是东经140与西经130，设地球半径为R，则甲、乙两地的球面距离是（）ARBRCRDR.12143213解：由题意 AO Boooo136014013090（O1为小圆圆心）又由题意O AO BR1122则中，1ABABR AOB 为正三角形（ O 为球心）精
14、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 26 页 AOB3、两点球面距离为ABR3选 D 例 5. 如图，四棱锥P ABCD ，底面 ABCD 是矩形， PA平面 ABCD ，E、F 分别是 AB、PD 中点。（1）求证： AF平面 PEC；（）若，二面角为，求点到平面2AD2CDPCDBFPECo2245距离。解： G 为 PC 中点，连结FG、EG 又 F 为 PD 中点，又FGCDAECD1212FGAE四边形AEGF 为平行四边形，又面，面AFEGEGPECAFPECAF平面 PEC （2） CDAD ，又 PA面 AB
15、CD AD 为 PD 在面 ABCD 上射影CDPD PDA 为二面角PCDB 的平面角，且PDA 45则 PAD 为等腰直角三角形AFPD，又 CD平面 PAD CDAF AF面 PCD 作 FHPC 于 H，则 AFFH 又 EGAF， EG FH FH面 PEC， FH 为 F 到面 PEC 的距离在 RtPEG 中， FHPGPFFG FH2222122方法 2： （体积法）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 26 页AF面 PEC，故只要求点A 到面 PEC 的距离 d 由即VVSdSPAAPECP AECPEC
16、AEC1313易证 AF面 PCD， EG面 PCD EGPC SPCEGPEC121222 2222 2222SAEBCAEC1212222dSPASAECPEC22221（三）对命题条件的探索例 6. （1）如图已知矩形ABCD 中， AB3，BCa，若 PA平面 ABCD ，在 BC 边上取点E，使 PEDE，则满足条件E点有两个时，a 的取值范围是（）A aB a.66CaDa.0606解： PA面 ABCD ，PEDE 由三垂线定理的逆定理知PE 的射影 AEBE 所以满足条件的点E 是以 AD 为直径的圆与BC 的交点，要有两个交点，则AD 2AB6 选 A （2）如图，在三棱柱A
17、BC ABC 中，点 E、F、H、K 分别为 AC、 CB、AB 、BC的中点， G 为ABC 的重心，从K、H、G、B中取一点作为P，使得该棱柱恰有2 条棱与平面PEF 平行，则 P 为（）A. K B. H C. G D. B 分析： 从题目中的“中点”条件，联想到“中位线”。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 26 页而平面 PEF 中， EF 为定直线，连BC则 F 为 BC中点故中，平面，平面AC BEFABABPEFA BPEF考虑到若P 为 K 点，则还有AA 、BB、CC都平行于FK 即它们也都平行于平面P
18、EF，不合题意。同理 P也不能为 H 点， 若 P为 B点时， EF 与 BA 共面也不符合题意 （这时只有一条棱平行于平面PEF） ，可见只能取G 点。故选 C 例 7. 如图，是棱长为的正方体11111ABCDA B C D（ ）线段上是否存在一点使得平面若存在，确定的位111A BPA BPACP?置；若不存在，说明理由。（）点在线段上，若二面角的大小是，求点位221PA BCAPBParctan置；（ ）点在对角线上，使平面，求。3111QB DA BQACB QQD解： （1） （用反证法）假设面，则BAPACA BAC11，易知与成A CACA BA Co1111160即与成角，与
19、矛盾A BACA BACo1160不垂直于平面A BPAC1不存在点P满足题目条件（2）过 B 作 BHAP 于 H，连 CH 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 26 页由于面，故CBABB ACHAP11即 BHC 是二面角CAPB 的平面角tanBHCBCBH2即ABBH2即在中，Rt BHABHAB12 BAH 30在中，又ABPPBABABsinsin301051PB12624622（ ）由于，面31111A BD CA BD AC点是直线与面的交点QB DD AC11下面求 Q 点的位置。设，显然ACBDOQO
20、DQD B11B QQDB DDO1112（四）对命题结论的探索精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 26 页例 8. （ ）正方体中，点在侧面及其边界上运动，1111111ABCDA B C DPBCC B并且总保持APBD1，则动点P 的轨迹是（）AB C. 线段1BBC. 线段1C BBCC.11中点与中点连成的线段D BCB C.中点与中点连成的线段1分析： 从条件 APBD1出发，可知AP 必在过 A 点且与 BD1垂直的平面B1AC 上点 P 必在 B1C 上选 A （2）如图，斜三棱柱ABC A1B1C1中，
21、BAC 90，BC1AC ，则 C1在底面 ABC 上的射影H 必在（）A. 直线 AB 上B. 直线 BC 上C. 直线 CA 上D. ABC 内部解： 连结 AC1AC AB，又 AC BC1AC 面 ABC1又面，面面且为交线ACABCABCABCAB1则 C 在面 ABC 上的射影必在交线AB 上选 A 例 9. 在四面体ABCD 中， AB BC，ABBD ，BCCD，且 ABBC1。（1）求证：平面CBD 平面 ABD ；（2）是否存在这样的四面体，使二面角CAD B 的平面角为30？如果存在，求出CD 的长；如果不存在，请找出一个角，使得存在这样的四面体，使二面角CAD B 的平
22、面角为。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 26 页解： （1） ABBC ，AB BD 平面，又面ABBCDABABD面 ABD 面 CBD （2）设 CDx，在面 CBD 内作 CEBD 于 E 由（ 1）知平面ABD 面 BCD，且 BD 为交线CE平面 ABD 作 EFAD 于 F，连结 CF，则 CFAD CFE 为“二面角”CAD B 的平面角，且CFE 30又在 RtBCD 中， CEBD CBCD CExxxx11122又 CDBC，又 BC 为 AC 在面 BCD 上射影CDAC 则在 RtACD 中，
23、CFAD AC CD CFxx222在中，RtCEFCFECECFxxxxxxsin222212222112解出，无实数解。x23故不存在这样的四面体，使二面角CAD B 的平面角为30又，sinCFExxx22222112111221精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 26 页，CFE42故可以取45 90之间的任意角。点评： 本题是一道存在性的探索问题。常常假定结论成立，再判断它与已知条件是否符合。【模拟试题】一. 选择题。1. PA、PB、PC 是从 P 引出的三条射线，两两成60，则 PC 与平面 PAB 所成角的
24、余弦值是（）A. 12B. 32C. 33D. 632. 在边长为1 的菱形 ABCD 中， ABC 60，将菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD 1，则二面角 BAC D 的余弦值为（）A. 13B. 12C. 223D. 323. 三棱锥的三条侧棱两两垂直，底面上一点到三个侧面的距离分别是2，3，6，则这个点到三棱锥顶点的距离是（）A. 11B. 41C. 7 D. 614. 已知 A、B、C 是球面上的三点，且AB 6，BC8，AC 10，球 心 O 到平面 ABC 的距离为11，则球的表面积为（）A. 36B. 72C. 144D. 2885. ABC 边上的高线为AD ，BDaCDb
25、，且ab，将 ABC 沿 AD 折成大小为的二面角BAD C，若cosab，则三棱锥ABCD 的侧面 ABC 是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 形状与 a，b 的值有关的三角形6. 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体的下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面积）超过 39，则该塔中正方体的个数至少是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 26 页A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二. 填空题。
26、7. 如图，在三棱锥PABC 中，PAPBPCBC，且BAC2，则 PA与底面 ABC 所成角的大小为 _。8. 如图，矩形ABCD中，ABBC43，沿 AC 把 DAC 折起，当四面体的体积最大时，直线AD 与平面 ABG 所成角的正弦值是_。9. 如图，正方体ABCDA B C D1111棱长为 1，M 、N 分别为B CD C1111、中点，则点 C 到截面 MNDB的距离是 _。三. 解答题。10. 如图，正三角形ABC 的边长为3，过其中心G 作 BC 边的平行线，分别交AB 、AC 于BC11、，将AB C11沿B C11折起到A B C111的位置， 使点A1在平面BB C C1
27、1上的射影恰是线段BC 的中点 M，求：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 26 页（1）二面角AB CM111的大小；（2）异面直线A B11与CC1所成角的大小。 （用反三角函数表示）11. 如图，已知正方形ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，AB2，AF1，M 是线段 EF 的中点。（1）求证： AM 平面 BDE ；（2）求二面角ADFB 的大小；（3）试在线段AC 上确定一点P，使得 PF与 BC 所成的角是60。11. 解： （1）记 AC 与 BD 交于点 O，连结 OE 精选学习资料 - - -
28、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 26 页O、M 分别是 AC 、EF 的中点， ACEF 是矩形四边形AOEM 是平行四边形AM OE，OE平面 BDE ，AM平面 BED AM 平面 BDE （2） AB AF，AB AD ，ADAFAAB 平面 ADF ，作 ASDF 于 S，连 BS 由三垂线定理，得BSDF BSA 是二面角ADFB 的平面角在 RtASB 中，ASAB632，tanASBASBo360二面角ADFB 的大小为 60（3）设CPtt()02，作 PQAB 于 Q，则 PQAD 精选学习资料 - - - - - - -
29、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 26 页PQAB，PQAF，ABAFAPQ面 ABF PQQF 在 RtPQF 中， FPQ60， PF 2PQ PAQ 为等腰直角三角形PQt222()又 PAF 为直角三角形PFttt21212222222()t1或t3（舍）即点 P 是 AC 的中点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 26 页【试题答案】一. 选择题。1. C 2. A 3. C 4. C 5. C 6. C 提示： 假设有 n 个正方体构成，其表面积由二部分组成：（1）俯视图、表面只
30、有一个正方形，其边长为2。（2） 侧面则由 4n 个正方形构成， 且各层（从下往上看） 正方形面积构成一个首项为4， 公比为122的等比数列。表面积444 44124124123921n844 11211239nn 的最小值为6 二. 填空题。7. 3提示： 由题意， P点在面 ABC 上的射影H 是 ABC 外心，BAC2， H 为 BC 中点）8. 459. 23提示：VVC MDBMCDB，即13131ShSC CMBDBCDhSSBCDMBD1121 1112252242322三. 解答题。10. （1）连结 AM ，A G1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总
31、结 - - - - - - -第 23 页，共 26 页 ABC 为正三角形，M 为 BC 边中点A、G、M 三点共线， AM BC ，于B CBCB CAMG1111即A GB C111 A GM1是二面角AB CM111的平面角点A1在平面BB C C11上的射影为M ，A MMGA MGo1190在Rt A GM1中，由AGGM2得A GMo160即二面角AB CM111的大小是60（2）过B1作B PC C11交 BC 于 P，则A B P11为异面直线A B11与CC1所成的角由PB C C11是平行四边形得：B PC CBPPMBMBPA BAB111111122，面A MBB C
32、 C111于 M ，A MBCA MPo1190在Rt A GM1中，A MA Go116033232sin在Rt A MP1中，A PA MPM1212222321252在A B P11中，由余弦定理cosA B PA BB PA PA BB P11112121211122215222158精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 26 页异面直线A B11与CC1所成的角为arccos5811. 解： （1）记 AC 与 BD 交于点 O，连结 OE O、M 分别是 AC 、EF 的中点， ACEF 是矩形四边形AOEM 是
33、平行四边形AM OE，OE平面 BDE ，AM平面 BED AM 平面 BDE （2） AB AF，AB AD ，ADAFAAB 平面 ADF ，作 ASDF 于 S，连 BS 由三垂线定理，得BSDF BSA 是二面角ADFB 的平面角在 RtASB 中，ASAB632，tanASBASBo360二面角ADFB 的大小为 60（3）设CPtt()02，作 PQAB 于 Q，则 PQAD PQAB，PQAF，ABAFAPQ面 ABF PQQF 在 RtPQF 中， FPQ60， PF 2PQ PAQ 为等腰直角三角形PQt222()又 PAF 为直角三角形PFttt21212222222()t
34、1或t3（舍）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 26 页即点 P 是 AC 的中点【励志故事】机会的意义一个人在海上遇难，漂流到了一个小岛上，他建了个小木房，还储存了一些食物在里面。每天他想尽办法寻找生机，一大早就要登上高处张望。可一个星期过去了，一只木船的影子也没看见。这天，他正在岸边张望，突然狂风大作，雷电轰鸣。一回头，他看见自己的木棚方向升起浓烟，他急忙跑回去，原来雷电点燃了他的木房，大火熊熊燃烧起来，他真希望能赶快下一场雨浇灭这场火，因为他所有的食物都在里面！可是，火渐渐地把棚子烧成了灰烬，天却渐渐地转晴了，一滴雨也没下。他绝望了，认为这是上帝的惩罚。他心灰意冷地到一棵树上结束了自己的生命。就在他停止呼吸后不久，一艘船开了过来，人们来到岛上，船长一看见灰烬和吊在树上的尸体就明白了一切，他说； “他没有想到失火后冒出的浓烟把我们的船引到这里，他只要再坚持一会儿就会获救的。”机会常常在最意想不到的时刻到来，对于我们来说，不仅要有创造机会的能力，还要有等待机会的勇气，就像在漫漫长夜等待黎明，太阳总是在最黑暗的时刻后升起。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 26 页