《2022年求数列通项公式及求和的基本方法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年求数列通项公式及求和的基本方法.docx（26页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 求数列通项公式及求和的基本方法1. 公 式 法 ： 利 用 熟 知 的 的 公 式 求 通 项 公 式 的 方 法 称 为 公 式 法 , 常 用 的 公 式 有anS nS n1n2,等差数列或等比数列的通项公式；nnS n1 n1N*,求an的通项例一已知无穷数列an的前 n 项和为S ,并且a公式？a n1n. aS nS nn2与提设条件,2反思：利用相关数列an与S n的关系：a 1S ,建立递推关系,是此题求解的关键. ,2.累加法： 利用ana 1a2a 1anan1求通项公式的方法称为累加法；累加法是求型如an1anf n 的递
2、推数列通项公式的基本方法（f n 可求前 n 项和） . 已知a 11,a n1a n1nnN*,求数列an通项公式 . 223. 累乘法 :利用恒等式ana 1a 2a 3a n1a n0,n2求通项公式的方法称为累乘法a a 12an累乘法是求型如 : a n 1 g n a n 的递推数列通项公式的基本方法 数列 g n 可求前 n 项积 . 已知 a 1 1 , a n n a n 1 a n n N * ,求数列 a n 通项公式 . a n n . 反思 : 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为 a n 1 g n a . 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,
3、共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4.构造新数列 : 类型 1 an1a nfnan1an1fn,利用累加法 逐差相加法 求解；11131解法：把原递推公式转化为例 1:已知数列an满意a 11,a nann 21n,求ana n22n2n解：类型 2 an1fnan解法：把原递推公式转化为an1fn,利用累乘法 逐商相乘法 求解；n1 an1n 2,就 an 的an例 2:已知数列an满意a 12,a n1nn1a n,求a；na233 n解：变式 :（全国I,）已知数列 an,满意a1=1,ana 12 a23 a3通项a n1n1ann .n2_n22解名师归
4、纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 类型 3 an 1panq（其中 p, q 均为常数,pqp1 0）；解法（待定系数法） ：把原递推公式转化为：an1tp a nt,其中t1qp,再利用换元法转化为等比数列求解；例 4:已知数列an中,a11,an12 an3,求a . an2n13. 解：类型 4 an1panqn（其中 p,q 均为常数,pqp1 q1 0）；（ 或an1panrqn,名师归纳总结 其中 p,q, r 均为常数）；n1pa n1引入帮助数列b n（其第 3 页,共 13 页解法：一般地,要先在原递推
5、公式两边同除以qn1,得：aqn1qqnq中bnan）,得：bn1pbn1再待定系数法解决；qna ；qq例 5:已知数列an中,a 15,a n11an1n1,求632解：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 在a n121 3a nn1n1两边乘以2n1得：2n1an12 32 nan12令bn12b n1,解之得：b n32 2 3nna,就b n3 2 1 3所以anb n3 1nn2n2类型 5 递推公式为a n2pan1qan（其中 p, q 均为常数）；an,方程解特点根法：对于由递推公式an2pan1qan,a 1,a2给出的数列x2pxq
6、0,叫做数列an的特点方程；打算（即把如x 1, x2是特点方程的两个根,anAxn1Bxn1,其中A, B 由a 1, a2当x 1x2时,数列an的通项为12a1,a2,x 1,x 2和n,12,代入ann Ax 11Bxn1,得到关于A、B 的方程组）；打算（即把2当x 1x2时,数列an的通项为anABnn x 11,其中A , B 由a1, a2a1,a2,x 1,x 2和n,12,代入anABnn x 11,得到关于A、 B 的方程组）；例 6: 数列an：3an25an12an0 n,0nN,a1a,a2b,求an解名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页
7、精选学习资料 - - - - - - - - - （特点根法） ：的特点方程是：3x25xn20；x 1,1x22 3, anAxn 11Bxn 21AB2 31；又由a 1aa2b,于是aABBA3 b,2 a2故an13 b2 a13 ab 2n1的通项公式；bA2B3 ab 332an,a n2a21an,求a ；练习 :已知数列an中,a 1133key a n731n 1；4433,a n23 a n2 annN*.求数列a n变式 :（福建 ,文 ,22）已知数列a n满意a 11,a 2（I ）解：anana n1a n1a n2.a 2a 1a 1名师归纳总结 2n1n 22.
8、21aSn1fanfan1消 去S n第 5 页,共 13 页2n1 nN*.类型 6 递推公式为S 与an的关系式； 或S nf an 解 法 ： 利 用anS 1S n1n1 与anS nS nn2 n2或与S nfS nSn1n2消去a 进行求解；n的关系；（ 2）求通项公式a. 例 7：数列an前 n 项和S n4a n212.（1）求an1与n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：（1）由S n4a n12得：S n114an1112n2n于是S n1S na n1 n 222 111. a n1n1所以an1ana n1aa nn 2112
9、n2n（2）应用类型4（an1panqn（其中 p,q 均为常数,pqp1 q1 0）的方法,上式两边同乘以2n1得：2n1an12nan22 为首项, 2 为公差的等差数列,所以由a 1S 14a 112a 11.于是数列2n an是以1 2a nn12na n22n1 2n2n数列求和的常用方法数列求和是数列的重要内容之一,也是高考数学的重点考查对象；数列求和的基本思路是,抓通项,找规律,套方法；下面介绍数列求和的几种常用方法：一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和名师归纳总结 利用以下常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1n1 2n1 S 37,且第 6 页,共
10、13 页1、 等差数列求和公式：S nn a 12anna 1n n1d22、等比数列求和公式：S nna 1qna 1a nqqq1a 1 11q1q3、S nkn1k1nn1 4、S nkn1k21 6n25、S nkn1k31 n2n1 2an的前 n 项和已知例 1（山东文18）设 an是公比大于1 的等比数列,S 为数列 a 13 3, ,2a34构成等差数列（1）求数列 an的等差数列（2）令b nlna 3n1,n1 2, ,求数列 bn的前 n 项和 T - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a 1a 2a37,解：（1）由已知得:a 13
11、2a343 a2.解得a22设数列 an的公比为 q ,由a22,可得a 12,a32 qq又S 37,可知2 q22q7,即2q25q20,解得q 12,q21由题意得q1,q22a 11故数列 an的通项为an2n1（2）由于b nlna 3n1,n1 2, ,由（ 1）得a3n13 2nnbln 23 n3 ln 2,又b n1b n3ln 2nb n是等差数列T nb 1b 2b nn b 1b n2n 3ln 23ln 223 n n21ln 2.fnnS nS n1的最大值 . 故T n3 n n1 ln 22练习：设 Sn 1+2+3+ +n, nN *, 求32二、错位相减法设
12、数列an的等比数列, 数列bn是等差数列, 就数列anb n的前 n 项和S 求解, 均可用错位相减法；名师归纳总结 例 2（高考天津）在数列a n中,a 12,a n1a nn12n 2 nN,其中0 第 7 页,共 13 页（）求数列a n的通项公式；（）求数列a n的前 n 项和S ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （）解：由an1ann12n 2 nN,0 ,名师归纳总结 可得a n12n1an2n1,a n的通第 8 页,共 13 页n1n所以an2n为等差数列,其公差为1,首项为 0,故a n2nn1,所以数列nn项公式为ann1n2n（
13、）解：设T n22334n2n1n1n,T n32435n2nn1n1当1 时,式减去式,得1 T n23nn1n12n1n1n1,1T n2n1n11n1n1n2n2n12121b 11,这时数列a n的前 n 项和S nn1n2n2n122n121当1时,T nn n1这时数列a n的前 n 项和S nn n 212n122例 3（高考全国文21）设 an是等差数列,nb是各项都为正数的等比数列,且a 1a3b 521,a 5b 313（）求 an, b n的通项公式；（）求数列a n的前 n 项和S b n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：（
14、）设a n的公差为 d ,b n的公比为 q ,就依题意有q0且12dq421,14dq213,解得d2,q22 n1,1,所以an1n1 db nqn12n1（）a n2n11b nn 22n232n11,S n1351 2222n2n2S n2352n32n21,22n32n得S n222222n22 2n 22n 212211112n122212n2n 21221112 nn 211n 21262n132n三、逆序相加法把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）名师归纳总结 例 4 设函数fx 2x2x2的图象上有两点P1x 1, y1 、P2x 2, y2 ,如O
15、P1OP 1OP 2, 且点 P第 9 页,共 13 页2,求S n;的横坐标为1 . 2（I ）求证： P 点的纵坐标为定值,并求出这个定值；（II ）如S nf1f2f3fn,nN*nnnn- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （I ）OP1OP 1OP 2, 且点 P 的横坐标为1 . 22P 是P P2的中点,且x 1x212x2f22x22x 12f1f1y 1y222 x 1x 1222 x 2x 222x 12x 22422x22x 111,且22422x 22x11yp1fx 1fx2由（ I ）知,x 1x21fnn1fn1,（1） +（
16、2）得：又Snf1f2nnnf1 n2S nfnfnn1f2 nn2Snf1f1fnn1f2fn2fnnnnnn2f11 11n32 2Snn322 2四、裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的详细应用 重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的（1）a nn11 1n11nn. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解,然后 . 通项分解 （裂项） 如：名师归纳总结 （2）an2n2n2211121111第 10 页,共 13 页1 2n2n2n（3）annn12 11n1n2等；1 n2n n1 1 例 5 求数列12,13,n1n1,的前 n 项和 . 1- - - - - -
17、-精选学习资料 - - - - - - - - - 解：设a nn1n1n1n（裂项）就Sn112213n1n1（裂项求和）x2,数列 a n2132n1nn11例 6（高考湖北） 已知二次函数yf x 的图像经过坐标原点,其导函数为f 6的前 n 项和为S ,点 , n S nnN均在函数yf x 的图像上；（）求数列 a n的通项公式；（）设b n11,T 是数列 b n的前 n 项和,求使得T nm对全部 nN都成立的最小正整a an20数 m；名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：（）设这二次函数fx a
18、x2+bx a 0 , 就 fx=2ax+b,由于 fx=6x 2, 得a=3 , b=2, 所以 fx 3x 22x. 又由于点 , n S n n N 均在函数 y f x 的图像上,所以 S 3n 22n. 当 n2 时, anSn Sn 1（ 3n 22n）（3 n 1 2 2 n 1 6n5. 当 n1 时, a1S13 1 2 26 1 5,所以, an 6n 5 （ n N）（）由（）得知 b n 331 1 1 ,a n a n 1 6 n 5 6 n 1 5 2 6 n 5 6 n 1故 Tnnib11 1 1 1 . 1 11 （11） . i 1 2 7 7 13 6 n
19、 5 6 n 1 2 6 n 1因此,要使 1 （11） m （ n N）成立的 m,必需且仅须满意 1 m ,即 m10,所以满2 6 n 1 20 2 20足要求的最小正整数 m为 10. n评析：一般地,如数列 a n 为等差数列,且公差不为 0,首项也不为 0,就求和：1 第一考i 1 a ia i 1虑 n 1 n 1 1 1 就 n 1 = 1 1 1 n； 下 列 求 和 ：i 1 a ia i 1 i 1 d a i a i 1 i 1 a ia i 1 d a 1 a n 1 a 1 a n 1n 1 也可用裂项求和法；i 1 a i a i 1五、分组求和法所谓分组法求和就
20、是：对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,如将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并；例 7 数列 an 的前 n 项和Sn2an1,数列 bn 满b 13 ,bn1anbnnN . （）证明数列an为等比数列；（）求数列bn的前 n 项和 Tn；名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解析：（）由Sn2an,1nN,Sn12 an11,名师归纳总结 两式相减得：an12an12an,an12an,nN. 同a 11 知an0,12n12 nn 第 13 页,共 13 页2n
21、ann12,同定义知an是首项为 1,公比为 2 的等比数列 . a（）an2n1,b n12n1bnbn1bn2n1,b2b 120,b3b221,b4b322,2122b nbn12n2,等式左、右两边分别相加得：b nb 120212n23112n12n12 ,2T n2021 22 222 2n1220=12n2n2n2 n1.12n1n；12 n例 8 求S2 1222 342 1n1n2（ nN）解：当 n 为偶数时,S2 12 2 2 32 4 n2 1n212n 2当 n 为奇数时,n nn1n2S2 12 2 322 4 n22 n2 1 n21222综上所述,S 1 n 1 1 n n 12点评：分组求和即将不能直接求和的数列分解成如干个可以求和的数列, 分别求和 . - - - - - - -