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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 数列常见题型总结题型四：求数列的通项公式一.公式法： 当题中已知数列是等差数列或等比数列,在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项,只需求得首项及公差公比；二.当题中告知了数列任何前一项和后一项的递推关系即：a n和 an-1 的关系时我们可以根据详细情形采纳以下方法1、叠加法： 一般地, 对于型如 a n 1 a n f n 类的通项公式, 且 f 1 f 2 f n 的和比较好求,我们可以采纳此方法来求 a n；即：a n a n a n 1 a n 1 a n 2 L a 2 a 1 1a n 2；【例 1】已知数列
2、 a n 满意 a 1 12 , a n 1 a nn 2 1n,求数列 a n 的通项公式；解：（1）由题知：a n 1 a n 2 1 1 1 1n n n n 1 n n 1a n a n a n 1 a n 1 a n 2 +a 2- a 1 a 1 1 1 1 1 1 1 13 1n 1 n n 2 n 1 1 2 2 2 n2、叠乘法： 一般地对于形如“ 已知 a1,且 a n 1 =f （n）（f （n）为可求积的数列） ” 的形式a n可通过叠乘法求数列的通项公式；即：a n a n a n 1 L a 2 a 1 n 2；a n 1 a n 2 a 1【例 2】在数列a n中
3、,1a =1, n+1a n 1 =na n,求 a n 的表达式；解：由 n+1a n 1 =na n 得 aa nn 1n n1,an = a 2a 3a a n = 1 2 3 n 1 1所以 a n 1a 1 a 1 a 2 a 3 a n 1 2 3 4 n n n3、构造法： 当数列前一项和后一项即 a n 和 an- 1的递推关系较为复杂时,我们往往对原数列的递推关系进行变形,重新构造数列, 使其变为我们学过的熟识的数列（等比数列或等差数列）；详细有以下几种常见方法；（1）、待定系数法：、一般地对于an =kan- 1 +mk、 m 为常数）型,可化为的形式an + =k an-
4、 1 + . 重新- 1 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数列常见题型总结构造出一个以 k 为公比的等比数列,然后通过化简用待定系数法求 ,然后再求 a n；【例 3】设 b0, 数列 a n 满意 a1=b,a n nba n 1 n 2a n 1 2 n 2 . 求数列 a n 的通项公式；解：a n ba n 1,得 n a n 1 2 n 1 1 2 n 1,n a n 1 2 n 1 a n ba n 1 b b a n 1设 n b n,就 b n 2 b n 1 1 n 2,a n b b（）当
5、b 2 时,b n 是以1 为首项,1 为公差的等差数列,2 21 1 1即 b n n 1 n ,a n 22 2 2（）当 b 2 时,设 b n 2 b n 1 ,就 b n 2b n 1 21,b b b令 21 1,得 1,b n 1 2 b n 1 1 n 2,b b 2 b 2 b b 2 b知 nb 1 是等比数列,b n 1 b 1 1 2 n 1,又 b 1 1,2 b 2 b 2 b b bn n nb n 1 2 n 1 1 2n b,a n nbn 2n b 2 b b 2 b 2 b b 2 b、对于 a n 1 pa n f n 其中 p为常数 这种形式 ,一般我
6、们争论两种情形：i、当 fn 为一次多项式时,即数列的递推关系为 a n 1 Aa n Bn C 型,可化为a n 1 1 n 2 A a n 1 n 1 2 的形式来求通项；【例 4】设数列 a n 中,a 1 1, a n 1 3 a n 2 n 1,求 a n 的通项公式；解：设 a n 1 A n 1 B 3 a n An B a n 1 3 a n 2 An 2 B A与原式比较系数得：2 A 2 A 1即 a n 1 n 1 1 3 a n n 12 B A 1 B 1令 b n a n n 1, 就b n+1 =3b 且b =a +1+1=3n 1 nb n 3 3 3b n 是
7、b =3为首项,公比 q=3的等比数列 n即: a n 3 n 1- 2 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数列常见题型总结ii 、当 fn为指数幂时,即数列递推关系为 a n 1 Aa n B C n（A、B、C 为常数,）型,可化为 a n 1 C n 1= A a n C n）的形式 . 构造出一个新的等比数列,然后再求 a n当 A=C时,我们往往也会实行另一种方法,即左右两边同除以 Cn +1,重新构造数列, 来求 a n；【例 5】设 a 为常数,且 a n 3 n 12 a n 1（n N *）,证
8、明：对任意 n1,a n 1 3 n 1 2 n 1 n 2 n a 05解：证明：设 a n t 3 n 2 a n 1 t 3 n 1 用 a n 3 n 12 a n 1 代入可得 t 15na n 3是公比为 2 ,首项为 a 1 3的等比数列,5 5na n 3 1 2 a 0 3 2 n 1（n N *）,5 5n n 1 n3 1 2 n n即：a n 1 2 a 05（2）、倒数法：一般地势如 a n a n 1、a n a n 1 a n 1 a n 等形式的递推数列可以用ka n 1 b倒数法将其变形为我们熟识的形式来求通项公式；【例 6】 .已知数列 a n 满意：a 1
9、 1, a n1 3 a n 1解：原式两边取倒数得：a n a n 1设b = 1 , 就b -b n-1 =3, 且b = 1a nbn 1 n 1 3 3 n 2 即 a na n 1,求 a n 的通项公式；3 a n 1 11 3 1a n 1b n 是b = 1 为首项,公差 d=2的等差数列313 n 2（3）、对数法：当数列an和 an- 1的递推关系涉及到高次时,形如：p an= man- 1q（其中m、p、q 为常数）等,我们一般采纳对数法,等式两边分别取对数,进行降次,再重新构造数列进行求解；- 3 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学
10、习资料 - - - - - - - - - 数列常见题型总结2【例 7】如数列 a 中,a =3 且 a n 1 a n（ n 是正整数）,就它的通项公式是 a = 解 由题意知 a 0,将 a n 1 a n 2两边取对数得 lg a n 1 2 lg a n,即 lg a n 1 2,所lg a n以数列 lg a n 是以 lg a = lg 3 为首项,公比为 2 的等比数列,lg a n lg a 1 2 n 1 lg 3 2 n 1,即 a n 3 2 n 1. （4）、特点方程法、一般地对于形如已知a 1m a2m an+2=A an+1 +B an A、 B 是常数）的二阶递推
11、数列,我们可以实行两种方法来求通项；法一：可用特点方程的方法求解：c 1p、q 时,有：a nc 1pnc2n q ,其中 c1 与 c2我们称方程： x2-Ax-B=0 为数列的特点方程（i）当方程有两个相异的实根（或虚根）由已知a 1m a2m 2,确定；nc 2n p ,其中 c1 与 c2 由已知a 1m a2m 2,（ii ）当方程有唯独的实根p 时,有a n确定；法二： 可构造成an2x 1an1x2an1x 1an,就a n1x a 为等比数列,进而求通项公式,这种方法过程较为纷杂；【例 8】已知a 1 =2, a 2 =3,a n22 an1an,求通项公式；解法一：特点方程的
12、根为 1,所以 an = c1 n+c2 1 nc 1 c 2 2由：得 c1 = c2 = 1,所以 an = n + 1；2 c 1 c 2 3解法二：设 a n 2 x 1 a n 1 x 2 a n 1 x 1 a n ,可得 x 1 = x 2 = 1,于是 an+1an 是公比为 1 的等比数列, an+1an = 1,所以 an = n + 1；、一般地势如：a n 1 a a n b（a、 b、c、d 为常数）c a n d可得到相应的特点方程：x ax b,再将其变为 cx 2 d a x b 0,通过该方程的根cx d的情形来重新构造数列；（i）假如方程 cx 2 d a
13、x b 0 有两个相异的实根,就有数列 a n p 是以 a 1 p 为a n q a 1 q首项,a cp为公比的等比数列；a cq（ii ）假如方程 cx 2 d a x b 0 有两个相同的实根,就数列 1 是以 1 为首a n p a 1 p- 4 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数列常见题型总结项,2c 为公差的等差数列；a d【例 9】已知数列 a n 满意 a 1 2, a n a n 1 2 n 2,求数列 a n 的通项 a 2 a n 1 1解 ： 其 特 征 方 程 为 x x 2, 化
14、简 得 2 x 22 0, 解 得 x 1 1, x 2 1, 令2 x 1a n 1 1 a n 1ca n 1 1 a n 1由 a 1 2, 得 a 2 4,可得 c 1,5 3数 列 a n 1 是 以 a 1 1 1 为 首 项 , 以 1 为 公 比 的 等 比 数 列 ,a n 1 a 1 1 3 3a n 1 1 1 n 1,a n 3 nn 1 nna n 1 3 3 3 1三 、当题中给出的是 Sn 和 a n 的关系时,我们一般通过作差法结合 an = Sn Sn1 这个通用公式对原等式进行变形,消掉Sn 得到an和 an+1的递推关系,或消掉an得到 Sn 和 Sn1
15、的递推关系,然后重新构造数列求通项公式；【例 10】已知数列a n的前 n 项和为S ,且满意：1aa a0,a n1rS nnN*,rR r1求数列a n的通项公式；解：（I）由已知a n1rSn,可得a n2rS n1,两式相减可得a n2an1r S n1S nran1,即a n2r1 an1,又a2ra1ra 所以 r=0 时,数列 a n为： a, 0, , 0, ；当r0,r1时,由已知a0,所以an0（n* N ）,于是由an2r1 a n1,可得a n2r1nN,an1a.a 2,a 3,L,a nL成等比数列,当 n2时 ,anr rn 12综上,数列 an的通项公式为a n
16、a nn21,2r rn 1a n- 5 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数列常见题型总结【例 11】已知各项均为正数的数列a 的前 n 项和满意S n1,且6S nan1 an2 ,nN*求a 的通项公式；解：由a 1S 11a 11 a12 ,解得 a11 或 a12,由假设 a 1S11,因此 a1 2；6又由 an+1Sn+1- Sn1 6 an11 an121an1 an2 ,6得 an+1- an-30 或 an+1-an 因 an0,故 an+1-an 不成立,舍去；因此 an+1- an-30；从而 an是公差为3,首项为2 的等差数列,故a n的通项为an3n-2；- 6 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页