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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载二次函数零点问题【探究拓展】探 究1 ： 设x 1, x 2分 别 是 实 系 数 一 元 二 次 方 程ax2bxc0和ax2bxc0的 一 个 根 , 且x 1x 2,x 1x 20,求证：方程ax2bxc0有且仅有一根介于x 1, x 2之间 . 2变式 1：已知函数fx ax24xba0,a、bR,设关于 x 的方程 fx0 的两实根为x1、x2,方程 fxx 的两实根为 、. （1）如 | |1,求 a、 b 的关系式；（2）如 a、 b 均为负整数,且 | |1,求 fx的解析式；（3）如 12,求证： x11 x
2、2 12c2b,求证：（1） a0 且 3b a34；（2）函数 fx在区间 0,2内至少有一个零点；（3）设 x1、x2 是函数 fx的两个零点,就2|x1x2| 57 4 . 变式 4：设函数f x ax2bxc a0且f1a. 2名师归纳总结 （1）求证：函数f x 有两个零点；第 1 页,共 8 页（2）设x x 是函数f x 的两个零点,求x 1x 2的取值范畴；（3）求证：函数f x 的零点x x 至少有一个在区间0,2内. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 探究 2：已知方程abx1bx精品资料. 欢迎下载有两个不相等的实数根2x2（1）
3、求b 的取值范畴；a（2）求证：函数fxax2bx1在区间1,1上是单调函数 . 1bx1变式：已知二次函数fx ax2bx1和gxa2x2 b（1）如fx为偶函数,试判定gx的奇偶性；0时判定fx 在1,1上的单调性；（2）如方程gxx有两个不相等的实根,当a（3）如方程gxx的两个不相等的实根为x 1, x2,fx0的两实根为x3, x4,求使得x3x 1x2x4成立的 a 的取值范畴 . x0的两根1x 和2x 满意0x 1x 2探究 3：二次函数f x x2axa ,方程f x （1）求实数 a 的取值范畴； （ 2）试比较f0f1f0与1 16的大小并说明理由a ,b,m ,n从小到
4、大的顺变式：已知fx1xaxb ab,m,n是fx的零点,且mn,就序为 _ 探究 4：已知 a 是实数,函数f x 2ax22x3a ,假如函数yf x 在区间 11名师归纳总结 上有零点,求a 的取值范畴第 2 页,共 8 页解析 1：函数yf x 在区间 -1,1上有零点,即方程f x 2 ax22x3a =0 在-1 ,1 上有解 . a=0 时,不符合题意,所以a 0,方程 fx=0 在 -1 ,1上有解 f 1f10或af 10af10a01a5或a327或a5a327或 a 1.48 31 1.1a所以实数 a 的取值范畴是a327或 a 1.- - - - - - -精选学习资
5、料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载点评：通过数形结合来解决一元二次方程根的分布问题 . 解析 2：a=0 时,不符合题意,所以 a 0,又2f x 2 ax 22 x 3 a =0 在-1,1上有解,2 x 21 a 3 2 x 在-1,1上有解 1 2 x 1 在 -1,a 3 2 x22 x 11 上有解,问题转化为求函数 y -1 ,1 上的值域；设 t=3-2x ,x -1 ,1 ,就 2 x 3 t , t3 2 x21 t 3 2 1 71,5, y t 6,2 t 2 t2设 g t t 7 . t2 7,t 1, 7 时,g t 0,此函数 gt 单调递
6、减,t 7,5 时,g t 0,此函数t tgt 单 调 递 增 , y 的 取值 范 围 是 7 3,1 , f 2 ax 22 x 3 a=0 在 -1 , 1 上 有 解 1a 7 3,1 a 1 或 a 3 7 . 22 2点评 : 将原题中的方程化成 1 2 x 1 的形式 , 问题转化为求函数 y 2 x 1-1,1上的值域的问题 ,是解析a 3 2 x 3 2 x2 的思路走向 . 变式 1：已知函数 f x ax 22 x 4 a 3（1）求证：函数 y = fx 的图象恒过两个定点（2）如 y = fx在（ 1,3）内有零点,求 a 的取值范畴（1）设 y ax 22 x 4
7、 a 3,即 y a x 24 2 x 3令 x 2 = 4,得 x = 2 或 2就函数 y = fx 的图象恒过定点（2,7）,（2, 1）（2） f 2 = 7 0 ,f2 = 1 0,抛物线开口向上,y = fx在（ 1,3）内有零点,当且仅当 f1 0,或 f3 0就f1a24 a33a10, 或f39 a64 a35 a300 a1,或a3 532）如 a 0即f1a24a33 a10第 3 页,共 8 页a1,结合 a 0,得 a 0, ）33）如 a = 0, y = fx的零点为3,在（ 1,3）内2综合 1）, 2）,3）,得 a 的取值范畴为（,1 3）（3 5- - -
8、 - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 变式 2：已知函数f x ax2bx1精品资料欢迎下载（1）如f x 0的解集是3,1,求实数a,b的值；（2）如 a 为整数,ba2,且函数f x 在 2, 1上恰有一个零点,求a 的值探究 5：已知函数fx2x24mx4m,gxmx,如对于任意的名师归纳总结 - - - - - - -实数 x ,fx 与gx 的值至少有一个为正数,就实数m 的取值范畴是 _. 变式 1：已知函数f x2mx 224mxl,gxmx,如对于任一实数x,f x与 g x的值至少有一个为正数,就实数m 的取值范畴是. 08,分析：问题可转化为数学
9、符号语言：“ 已知函数f x2mx 224 mxl ,gxmx,xR,fx0或g x0” ,求实数 m 的取值范畴 . 不难发觉, 如利用上述解法3,采纳对立转化法,即可设命题q:xR ,fx0或gx0；就命题q:xR ,fx0. 如命题q 成立时：g x0第一,当m0时,fx08x1,存在实数x ,使得不等式组成立. g x其次,当m0时,函数 f x为开口向下的二次函数,g x为 R 上的减函数且值域为R ,必存在0xR,使得函数fx 00且gx 00. 再者,当m0时,gx为 R 上的增函数且值域为R ；如存在实数x 使fx0成立,即要有fminx0. 又fminx2 m4m20,解得m
10、8或 0m2；2m综上,如命题q 成立时：有m2或m8；即可知当命题q 成立时：m2,8.答案错了变式 2：设函数fxx2axa3,函数gxax2a,如存在x0R,使得fx00与gx00同时成立,就实数a 的取值范畴是 _ 挖掘题中隐含条件：存在x0R,使得fx00,从而对参数的范畴进行局部缩小；解析：由f x x2axa3知f0a3,f14,又存在x0R,使得f x00知a24a30即a2或a6,另g x ax2 a 中恒过2,0 ,故由函数的图象知：如a0时,f x x2axa3x23恒大于 0,明显不成立；第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如a0时,
11、a0x0af精品资料2,a欢迎下载g x0. 明显不成立；7f2a14,如a0时, x对1,另2解法 1（分别参数法）当2,a0时,或者当x0时,都有当fx0时x23a xf1,就有：当x1时,ax230 ；当x1时,a2 x30 ；x1x1a因此,如0xR,使得x 00与gx 00同时成立,就由上分析可知：只有当1x 02时,不等式x 023成立 . 12 x3,x1,2. 令tx1 0t1,h tt24,易求h t7. 就a7.x 0设函数h xx1t解法 2（数形结合法）由于gx0当a0 时,x2；当 a0 时,x2. 6 或a2；就：x在,2 上为减函如存在0xR,使得fx 00,就=
12、a24 a120,即a1 当a6时,由题意可知,x 02,fx 00. 二次函数对称轴xa 23, yf数,就f20,即a7. 0. 而二次函数对称轴xa0, yfx 在 0,上为增函数,又2 当a2时,x02,fx 02f14,因此x2,fx0,此情形下 a. 综上,a7. 解法 3（对立转化法）名师归纳总结 命题 p：如0xR,使得fx 00与g x 00同时成立 . 第 5 页,共 8 页就p：对xR,fx0或g x0成立 . 下讨论如命题p 成立时,参数a 的取值范畴：1 当a0时,xR,g x0恒成立,因此,a0适合题意 . 2 当a0时,g x0x2；就 ,2x|fx0,- - -
13、 - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2.1a2,即 4a7；精品资料欢迎下载22.2f20,即 0a4；因此有 0a7. 0a2203 当a0时,fg x0x2；就 2,x|fxa220,即a0；因此,a0. 000,有2p 成立时,x0R,使得fx00与gxf综上,当a7时,p 成立；那么,命题a7. x变式 3：设函数x2axa3,函数gxxa,如不存在同时成立,就实数 a 的取值范畴是 _ 评注：（1）含参曲线的特点观看（定点？平行直线系？切线构成的包络线？）（2）充分挖掘题中的隐含条件,从而对参数的范畴进行局部缩小；名师归纳总结 变式 4：函数gfx nx
14、n2m xn2 m,gx 1x1,对xR ,有第 6 页,共 8 页24fx0或x0成立 .如mn23 na,就实数 a 的取值范畴是 _. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 变式 5：已知fx mx2m xm3 精品资料2x欢迎下载xR,fx0或,gx 2,如同时满意条件：g x 0； x -,-4, f x g x 0,就 m 的取值范畴是 _ - ,2分析：对于条件,仍旧采纳对立转化法,分析命题 p “x R,f x 0 且 g x 0” . 又当 x 1 时,函数 g x 0,就只要存在实数 x 1, 使 f x 0 成立刻可 . 第一,当 m
15、 0 时,f x 0,就 m 0 适合；其次,当 m 0 时,二次函数 f x 开口向上,就总存在实数 x 使 f x 0 成立 . 再者,当 m 0 时,二次函数 f x 开口向下,即要有 f max x 0；又此时二次函数对称轴方程为3 m 3x 0,就 f max x f 1 m 1 2 m m 4 0,解得 m 4；2因此,命题 p 成立时,m 0 或 m 4；那么条件成立时,m 4,0；对于条件,当 x 4 时,g x 0,就可知存在 x 4,f x 0；并且 m 4,0 .可分如下两种2 m 4 2 m 4情形： 1 m 3 4,解得 m 4, 2；2 m 3 4,解得 m；f 4
16、 0 f 4 0综上可知,当条件都成立时,m 4, 2 . 探究 6：设 f x ax 2bx c a 0,方程 f x x 的两个根是 1x 和 x ,且 x 1 0, 2 x 1 1. 又如 0 t x ,a名师归纳总结 试比较f t 与1x 的大小 . ax2bxcx 的两个根,x 10b a. a0,tx 10,得f t x 10. 所以,当第 7 页,共 8 页【解】由于1x、x 是方程所以x 1x2ba1,x x 2c,2 ax 1bx 1cx . a因此f t x 1at2btc2 ax 1bx 1c a tx 1tx 1b tx 1a tx 1t由tx 1bt1x2t1x2x
17、11x 2,及aaaa0tx 时,有f t x . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 探究 7：实数a b cR,函数gx3 ax2精品资料c,a欢迎下载0,且满意g0g1 0. （1）求c a的2 bxbc取值范畴；（2）设 a 为常数, 且 af 0,已知函数gx的两个零点为x1,x2 ,令fxax3bx2cx且A x 1,f x 1,B x 2,f x 2,求证：x2fx 12a,a. x 2x196R探究 8：设函数f x |x|ax2,ax2（1）当a2,求函数fx的零点；0 ,226,222,222k4（2）当a0时,求证：函数fx在0 ,内有且仅有一个零点；（3）如函数fx有四个不同的零点,求实数a 的取值范畴 . a1变式 1：如关于 x 的方程|x|kx 2 有四个不同的实数根,就实数x 1k 的取值范畴是 _变式 2：已知函数yx3x1ax有三个零点,就实数a 的取值范畴是（0,3）2【专题反思】你学到了什么？仍想连续讨论什么？名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页