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1、精品资料欢迎下载二次函数零点问题【探究拓展】探 究1： 设21,xx分 别 是 实 系 数 一 元 二 次 方 程02cbxax和02cbxax的 一 个 根 ， 且,0,2121xxxx求证：方程022cbxxa有且仅有一根介于21, xx之间 . 变式 1：已知函数f(x)ax24xb(a0，a、bR)，设关于x 的方程 f(x)0 的两实根为x1、x2，方程 f(x)x 的两实根为 、 . （1）若 | |1，求 a、 b的关系式；（2）若 a、 b 均为负整数，且| |1，求 f(x)的解析式；（3）若 1 2，求证： (x11)(x2 1)2c2b，求证：（1） a0 且 3ba34
2、；（2）函数 f(x)在区间 (0,2)内至少有一个零点；（3）设 x1、x2是函数 f(x)的两个零点，则2|x1x2|574. 变式 4：设函数2( )(0)f xaxbxc a且(1)2af. （1）求证：函数( )f x有两个零点；（2）设12,x x是函数( )fx的两个零点，求12xx的取值范围；（3）求证：函数( )f x的零点12,x x至少有一个在区间0,2内. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页精品资料欢迎下载探究 2：已知方程xbxabx212有两个不相等的实数根. （1）求ab的取值范围；（2
3、）求证：函数1)(2bxaxxf在区间1 , 1上是单调函数 . 变式：已知二次函数1)(2bxaxxf和bxabxxg21)(2（1）若)(xf为偶函数，试判断)(xg的奇偶性；（2）若方程xxg)(有两个不相等的实根，当0a时判断)(xf在1 , 1上的单调性；（3）若方程xxg)(的两个不相等的实根为21,xx，0)(xf的两实根为43,xx，求使得4213xxxx成立的a的取值范围 . 探究 3：二次函数2( )f xxaxa，方程( )0f xx的两根1x和2x满足1201xx（1）求实数a的取值范围； （ 2）试比较(0)(1)(0)fff与116的大小并说明理由变式：已知)()(
4、1)(babxaxxf，nm,是)(xf的零点，且nm，则nmba,从小到大的顺序为 _ 探究 4：已知a是实数，函数2( )223f xaxxa，如果函数( )yf x在区间 11，上有零点，求a的取值范围解析 1：函数( )yf x 在区间 -1，1上有零点，即方程2( )223f xaxxa =0 在-1，1 上有解 . a=0 时，不符合题意，所以a 0, 方程 f(x)=0 在 -1，1上有解 ( 1)(1)0ff或( 1)0(1)048 (3)01 1.1afafaaa15a或372a或5a372a或 a 1.所以实数a 的取值范围是372a或 a 1.精选学习资料 - - - -
5、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页精品资料欢迎下载点评：通过数形结合来解决一元二次方程根的分布问题. 解析 2：a=0 时，不符合题意，所以a0, 又2( )223f xaxxa =0 在-1，1上有解，2(21)32xax在-1，1上有解212132xax在 -1，1上有解，问题转化为求函数22132xyx-1，1上的值域；设t=3-2x ，x-1，1 ，则 23xt ， t1,5,21 (3)217(6)22tyttt，设2277( ). ( )tg ttg ttt，1, 7)t时，( )0g t，此函数g(t)单调递减，( 7,5t时，(
6、 )g t 0,此函数g(t) 单 调 递 增 ， y 的 取值 范 围 是73,1， 2( )223fxaxxa =0 在 -1 ， 1 上 有 解1a73,11a或372a. 点评 : 将原题中的方程化成212132xax的形式 , 问题转化为求函数22132xyx-1，1上的值域的问题,是解析2 的思路走向 . 变式 1：已知函数2( )243f xaxxa（1）求证：函数y = f(x) 的图象恒过两个定点（2）若 y = f(x)在（ 1，3）内有零点，求a 的取值范围（1）设2243yaxxa，即2(4)23ya xx令 x2 = 4，得 x = 2 或 2则函数 y = f(x)
7、 的图象恒过定点（2，7） ， （2， 1） （2） f( 2) = 7 0，f(2) = 1 0，抛物线开口向上，y = f(x)在（ 1，3）内有零点，当且仅当f(1) 0，或 f(3) 0则(1)243310faaa， 或(3)9643530faaa0 13a，或35a2）若 a 0即(1)243310faaa13a，结合 a 0，得 a 03）若 a = 0， y = f(x)的零点为32，在（ 1，3）内综合 1） ， 2） ，3） ，得 a 的取值范围为（ ，13）（35， ） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共
8、 8 页精品资料欢迎下载变式 2：已知函数2( )1f xaxbx（1）若( )0f x的解集是)3 , 1(，求实数ba,的值；（2）若a为整数，2ba，且函数( )f x在( 2, 1)上恰有一个零点，求a的值探究 5：已知函数mxmxxf4)4(2)(2，mxxg)(，若对于任意的实数x，)(xf与)(xg的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是_. 变式 1：已知函数f (x)2mx22(4m)xl，g(x)mx，若对于任一实数x，f (x)与 g (x)的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是. 8 ,0分析：问题可转化为数学符号语言：“已知函数f (x)2mx22(4 m)x
9、l，g(x)mx，xR，0fx或0g x” ，求实数 m 的取值范围 . 不难发现， 若利用上述解法3，采用对立转化法，即可设命题:qxR ，0fx或0gx；则命题:qxR ，00fxg x. 若命题q成立时：首先，当0m时，810fxxg x，存在实数x，使得不等式组成立. 其次，当0m时，函数 f (x)为开口向下的二次函数，g (x)为R上的减函数且值域为R， 必存在0 xR，使得函数00fx且00gx. 再者，当0m时， g(x)为R上的增函数且值域为R； 若存在实数x使0fx成立，即要有min0fx. 又2min2402mmfxm，解得8m或 02m；综上，若命题q 成立时：有2m或
10、8m；即可知当命题q成立时：2,8m.答案错了变式 2：设函数3)(2aaxxxf，函数aaxxg2)(，若存在Rx0，使得0)(0 xf与0)(0 xg同时成立，则实数a的取值范围是 _ 挖掘题中隐含条件：存在Rx0，使得0)(0 xf，从而对参数的范围进行局部缩小；解析：由2( )3f xxaxa知03,14faf，又存在0Rx，使得0()0f x知2430aa即2a或6a，另( )2g xaxa 中恒过2,0，故由函数的图象知：若0a时,2( )3f xxaxa23x恒大于 0，显然不成立。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4
11、页，共 8 页精品资料欢迎下载若0a时，0720aaf若0a时，x对12a，另14f，显然不成立。解法 1（分离参数法）20 xa当，时，或者当20 xa，时，都有0g x. 当0fx时231xa x，则有：当1x时，231xax0；当1x时，231xax0 ；因此，若0 xR，使得00fx与00gx同时成立，则由上分析可知：只有当012x时，不等式20031xax成立 . 设函数231xh xx，1,2x. 令1 01txt，24h ttt，易求7h t. 则7.a解法 2（数形结合法）由于0gx02ax当时，；02ax当时，. 若存在0 xR，使得00fx，则2=4120aa，即62aa或
12、；则：1当6a时，由题意可知，02x，00fx. 二次函数对称轴32ax，yfx在,2上为减函数，则20f，即7a. 2当2a时，02x，00fx. 而二次函数对称轴02ax，yfx在0,上为增函数，又14f，因此2x，0fx，此情形下a. 综上，7a. 解法 3（对立转化法）命题 p：若0 xR，使得00fx与00g x同时成立 . 则p：对xR，0fx或0g x成立 . 下研究若命题p 成立时，参数a的取值范围：1当0a时，xR，0g x恒成立，因此，0a适合题意 . 2当0a时，0g x2x；则(,2|0 xfx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
13、 - - - -第 5 页，共 8 页精品资料欢迎下载2.12220af，即 47a；2.20220a，即 04a；因此有 07a. 3当0a时，0g x2x；则2,)|0 xfx，有2220af，即0a；因此，0a. 综上，当7a时，p 成立；那么，命题p 成立时，7a. 变式 3： 设函数3)(2aaxxxf， 函数axxg)(， 若不存在Rx0， 使得0)(0 xf与0)(0 xg同时成立，则实数a的取值范围是_ 评注：（1）含参曲线的特征观察（定点？平行直线系？切线构成的包络线？）（2）充分挖掘题中的隐含条件，从而对参数的范围进行局部缩小；变式 4：函数)2)(2()(mnxmnxnx
14、f，4121)(xxg，对,Rx有0)(xf或0)(xg成立 .若annm32，则实数a的取值范围是_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页精品资料欢迎下载变式 5：已知)3)(2()(mxmxmxf，22)(xxg，若同时满足条件：Rx，0)(xf或0)(xg； x( -, -4), )(xf0)(xg，则 m 的取值范围是 _ 2-4- ，分析：对于条件，仍然采用对立转化法，分析命题:p “xR，0fx且0g x”. 又当1x时，函数0g x，则只要存在实数1,)x使0fx成立即可 . 首先，当0m时，0fx，则
15、0m适合；其次，当0m时，二次函数fx开口向上，则总存在实数x使0fx成立 . 再者，当0m时，二次函数fx开口向下，即要有max0fx；又此时二次函数对称轴方程为3302mx，则max11240fxfmmm，解得4m；因此，命题p 成立时，0m或4m；那么条件成立时，4,0m；对于条件，当4x时，0g x，则可知存在4x，0fx；并且4,0m.可分如下两种情形： (1)2434( 4)0mmf，解得4,2m；(2)2434( 4)0mmf，解得 m；综上可知，当条件都成立时，4, 2m. 探究 6： 设2( )(0)f xaxbxc a， 方程( )f xx 的两个根是1x 和2x ， 且1
16、0 x，211xxa. 又若10tx ，试比较( )f t 与1x 的大小 . 【解】因为1x 、2x 是方程2axbxcx 的两个根，所以121bxxa，12cx xa，2111axbxcx . 因此22111( )()()f txatbtcaxbxc11111()()()()ba txtxb txa txtxa. 由122121110btxtxtxxxaaaa，及0a，10tx，得1( )0f tx. 所以，当10tx 时，有1( )f tx . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页精品资料欢迎下载探究 7：实数,
17、 ,a b cR，函数cbxaxxg23)(2，0cba，且满足0)1 ()0(gg. （1）求ca的取值范围；（2）设 a为常数， 且 a 0，已知函数)(xg的两个零点为x1，x2 ，令cxbxaxxf23)(且11(,()A xf x，22(,()B xf x，求证：6,92)()(1212aaxxxfxf. 探究 8：设函数2|( ),2xf xaxaRx（1）当2a，求函数)(xf的零点；222,222,262,0（2）当0a时，求证：函数)(xf在,0内有且仅有一个零点；（3）若函数)(xf有四个不同的零点，求实数a的取值范围 . 1a变式 1：若关于x 的方程|x|x 1kx2有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围是_4k变式 2：已知函数231xyaxx有三个零点，则实数a 的取值范围是（0，3）【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页