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1、四节多元复合函数求导法则 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望一、链锁法则引入：复合函数怎样求它的偏导数？问：若上面三个函数都是具体函数，那么，它们的复合函数也是具体函数，当然，我们会求它的偏导数。但是，若上面三个函数中至少有一个是抽象函数，那么，它们的复合函数也是抽象函数，它的偏导数又怎么求？这是一个新问题，要求出这样一个函数的偏导数，还需要新的公式。这就是下面要研究的多元函数的求导法则（或链锁法则）。定理1 设函数 及 都在点t可导，函数z=f(u,
2、v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数 在点t可导，且有1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形 按照多元复合函数不同的复合情形，分两种情形来讨论：将上式两边同时除以 ，得证：这时的对应增量为获得增量由第三节定理2 的证明过程，我们可得到由此，函数z=f(u,v)相应地其中，令取极限，得，即即=如果函数 都在点 t 可导，函数z=f(u,v,w)在对应点(u,v,w)具有连续偏导数，则复合函数 在点 t 的导数存在，且有注2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2 如果函数 及 在点(x,y)具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数
3、 在点(x,y)的两个偏导数存在，且有已知对y的偏导数，在点(x,y)具有对x及函数 z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，现在，将 y 取定为常数，则由定理1得+得复合函数对 x 的偏导数存在，且有同理，将 x 取定为常数，则可得（4）式.此即（3）式.为了掌握复合函数的求导法则，可画复合函数结构示意图，由示意图可清楚地看出哪些是中间变量，哪些是自变量，以及中间变量和自变量的个数，公式(3)、(4)的示意图如下：zuvxy在点(x,y)的两个偏导数都存在，且可用下列公式计算：设 都在点(x,y)具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v,w)在对应点(u,v,w)有连续偏导数，则
4、复合函数注(1)求下列函数的复合函数的导数或偏导数(3)(2)解(1)+=+=+(2)+=+=(3)+相同,但所表示的意思不同!必须加以区别!对自变量 x的偏导数对中间变量 x的偏导数为了避免混淆,一般地,将对中间变量的偏导数记为将对自变量的偏导数记为例如上面的(3)可写为:+=+=+注意：这里 与 是不同的，是把复合函数 中的y看作常数而对x的导数,是把 f(u,x,y)中的 u 及y看作常数而对x的导数.与 也有类似的区别.由复合函数求导法则得解：=+=+例2解：+=+=+=+=例3解：+=+解：+=+解注例6 设 ，f 具有二阶连续偏导数,求这里下标1表示对第一个中间变量u求偏导数，下标
5、2表示对第二个中间变量v求偏导数.解同理有因所给函数由w=f(u,v)及u=x+y+z，v=xyz复合而成，所以根据复合函数求导法则，有=+根据复合函数求导法则，有+=+=+仍是 x,y,z的复合函数，+=+()+=+例7 设u=f(x,y)的所有二阶偏导数连续，把下列表达式转换为极坐标系中形式.解=由（1）式得这样，可看作由复合而成.得两式平方后相加，得根据复合函数求导法则，得=+=再求二阶偏导数，得=+=+同理可得两式相加，得二、全微分形式不变性:设函数 具有连续偏导数，则有全微分若u、v又是x、y的函数,，且这两个函数也具有连续偏导数,则复合函数的全微分为所谓全微分的形式不变性是指:无论z是自变量 u、v的函数或中间变量 u、v的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质叫做全微分的形式不变性.=+证=+例8 用全微分形式不变性解下题:解:将du、dv代入，得即作作 业业P822,4,6,8,9,11,12(1),13.