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1、第四节 多元复合函数的求导法则本讲稿第一页，共十八页第四节第四节 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则教学内容教学内容 1 一元函数与多元函数符合的情形一元函数与多元函数符合的情形 2 多元函数与多元函数符合的情形多元函数与多元函数符合的情形考研要求考研要求 1 掌握多元复合函数一阶，二阶偏导数的求法；掌握多元复合函数一阶，二阶偏导数的求法；2 了解全微分的形式不变性。了解全微分的形式不变性。本讲稿第二页，共十八页一一 一元函数与多元函数复合的情形一元函数与多元函数复合的情形ztuv本讲稿第三页，共十八页若定理中若定理中 说明说明:例如例如:易知易知:但复合函数但复合函数偏导数连续偏导
2、数连续减弱为减弱为偏导数存在偏导数存在,则定理结论则定理结论不一定成立不一定成立.本讲稿第四页，共十八页上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为全导数全导数.本讲稿第五页，共十八页二二 多元函数与多元函数符合的情形多元函数与多元函数符合的情形本讲稿第六页，共十八页本讲稿第七页，共十八页三三 其他情形其他情形定理定理3.如果函数如果函数u=(x,y)在点在点(x,y)具有对具有对x及对及对y的偏导数的偏导数,函数函数v=(y)在点在点y可导可导,函函z=f(u,v)在对在对应点应点(u,v)具有连续偏导数
3、具有连续偏导数,则复合函数则复合函数z=f(x,y),(y)在点在点(x,y)的两个偏导数的两个偏导数存在存在,且有：且有：zxyuv本讲稿第八页，共十八页特殊地特殊地即即令令其中其中两者的区别两者的区别区区别别类类似似口诀口诀:分段用乘分段用乘,分叉用加分叉用加,单路全导单路全导,叉路偏导叉路偏导本讲稿第九页，共十八页为简便起见,引入记号例例4.设 f 具有二阶连续偏导数,求解解:令则本讲稿第十页，共十八页二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论 u,v 是自变量还是中间变量,则复合函数都可微,其全微分表达 形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.(实质）实质）本讲稿第十一页，共十八页例例1.设设解解:本讲稿第十二页，共十八页例例1.例例 6.利用全微分形式不变性再解例1.解解:所以本讲稿第十三页，共十八页解解本讲稿第十四页，共十八页例题2.求在点处可微,且设函数解:由题设(2001考研)本讲稿第十五页，共十八页本讲稿第十六页，共十八页本讲稿第十七页，共十八页内容小结内容小结1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如例如,2.全微分形式不变性不论 u,v 是自变量还是因变量,本讲稿第十八页，共十八页