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1、函数的奇偶性一、关于函数的奇偶性的定义一般地，如果对于函数)(xf的定义域内任意一个x，都有)()(xfxf，那么函数)(xf就称偶函数；一般地，如果对于函数)(xf的定义域内任意一个x，都有)()(xfxf，那么函数)(xf就称奇函数；二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；3、可逆性：)()(xfxf)(xf是偶函数；)()(xfxf)(xf奇函数；4、等价性：)()(xfxf0)()(xfxf(|)( )fxf x1xfxf；)()(xfxf0)()(xfxf1xfxf；5、奇函数的图像关
2、于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。7、设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇（函数）偶偶偶（函数）奇奇偶（函数）偶偶偶（函数）奇偶奇（函数）8、多项式函数110( )nnnnP xa xaxa的奇偶性多项式函数( )P x是奇函数( )P x的偶次项 (即奇数项 )的系数全为零 . 多项式函数( )P x是偶函数( )P x的奇次项 (即偶数项 )的系数全为零 . 9、复合函数)(xgfy的奇偶性若函数)(),(),(xgfxgxf的定义域都是关于原点对称的,那么由)(),(uf
3、yxgu的奇偶性得到)(xgfy的奇偶性的规律是 : 函数奇偶性)(xgu奇函数奇函数偶函数偶函数)(ufy奇函数偶函数奇函数偶函数)(xgfy奇函数偶函数偶函数偶函数即当且仅当)(xgu和)(ufy都是奇函数时 ,复合函数)(xgfy是奇函数 . 三、函数的奇偶性的判断函数奇偶性的因素有两个：定义域的对称性和数量关系。判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四种情况。判断函数奇偶性的方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查()fx是否与( )f x、)(xf相等，判断步骤如下：1、定义域是否关于原点对称；若定义域不对称，则为非奇非偶函数；若定义域对称，则
4、有成为奇（偶）函数的可能2、数量关系)()(xfxf哪个成立；判断分段函数的奇偶性判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断，在函数定义域中，对自变量X的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数，分段函数不是几个函数，而是一个函数，因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系，首先要特别注意X 与 X 的范围，然后将它们代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较。四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定命题 1：函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对
5、称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。命题 2：两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如( )( 1,1)f xx x，( )( 2,2)g xx x，可以看出函数( )fx与( )g x都是定义域上的函数，它们的差只在区间( 1,1)上有定义且( )( )0f xg x，而在此区间上函数( )( )f xg x既是奇函数又是偶函数。命题 3：( )f x是任意函数，那么|( ) |fx与(|)fx都
6、是偶函数。此命题错误。一方面，对于函数( ),( )0),|( )|( ),( )0),f xf xf xf xf x不能保证fxfx或fxfx；另一方面，对于一个任意函数( )f x而言，不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数(|)fx是偶函数。命题 4：如果函数( )f x满足：fxfx，那么函数( )f x是奇函数或偶函数。此命题错误。如函数2,(2 ,),( ),(21,),xxn nNf xxxnnN从图像上看，( )f x的图像既不关于原点对称，也不关于y轴对称，故此函数非奇非偶。命题 5：设 f(x)是定义域关于原点对称的一个函数，则F1(x)
7、f(x)f(x)为偶函数，F2(x)f(x)f(x)为奇函数此命题正确。由函数奇偶性易证。命题 6：已知函数( )f x是奇函数，且(0)f有定义，则00f。此命题正确。由奇函数的定义易证。命题 7：已知( )f x是奇函数或偶函数，方程( )0f x有实根，那么方程( )0fx的所有实根之和为零；若( )f x是定义在实数集上的奇函数，则方程( )0f x有奇数个实根。此命题正确。方程( )0f x的实数根即为函数( )f x与x轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知：若0()0f x，则0()0fx。对于定义在实数集上的奇函数来说，必有00f。故原命题成立。五、关于函数按奇偶性的分类全体实函
8、数可按奇偶性分为四类：奇偶数、偶函数、既是奇函数也是偶函数、非奇非偶函数。六、关于奇偶函数的图像特征一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；偶函数的图像关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。图象法：如二次函数2yaxbxc成为偶函数，必须要使对称轴02bxa，即0b；若二次函数2yaxbxc成为奇函数，必须要使0ac；当0b时，二次函数是非奇非偶函数。奇函数对称区间上的单调性相同，偶函数对称区间上的单调性相反。七、关于函数奇偶性的简单应用函数的奇偶性是函数的重要性质之一，也是每年高考的重点和热点内容之
9、一，利用函数的奇偶性可求函数值、比较大小，求函数的解析式，讨论函数的单调性，求参数的值等。现分别举例说明如下：1、利用奇偶性求函数值【例 1】已知8)(35bxaxxxf且10)2(f，那么)2(f。【例 2】设f（x）是定义在R 上的偶函数，若当x0时，f（x）=log3（1+x），则f（ 2）=_ _ 。【例 3】)(xf是定义在R 上的奇函数 ,则)0(f=_ ；若有3)2(f，则)2(f_；若7)5(f；则)5(f_；【例 4】已知函数121)(xaxf)(Rx,若)(xf为奇函数，则a_；2、利用奇偶性比较大小【例 5】已知偶函数)(xf在0,上为减函数，比较)5(f，)1 (f，)
10、3(f的大小。【例 6】若)(xf是 R 上的偶函数，且在0，+ ）上是增函数，则下列各式成立的是：（）) 1()0()2(.fffA)0() 1()2(.fffB)2()0()1(.fffC)0()2()1 (.fffD【例 7】 如果奇函数)(xf在区间3,7上是增函数且最大值为5，那么)(xf在区间3, 7上是（）A增函数且最小值是5 B增函数且最大值是5C减函数且最大值是5 D减函数且最小值是5【例 8】，为偶函数，试比较的大小关系。【例 9】为偶函数，若，求取值范围。3、利用奇偶性求解析式【例 10 】已知)(xf为偶函数，当01x时，( )1f xx，当10 x时，求)(xf的解析
11、式。【例 11 】若)(xf是定义在（ -，0）（0，+ ）上的奇函数，当x0 时，)1 ()(xxxf，求当0 x时，函数)(xf的解析式。【例 12 】设)(xf是定义在 R上的奇函数 ,且当132)(02xxxfx时，试求函数)(xf的解析式。4、利用奇偶性讨论函数的单调性【例 15 】若3)3()2()(2xkxkxf是偶函数，讨论函数)(xf的单调区间。5、利用奇偶性求参数的值【例 16 】定义在 R 上的偶函数)(xf在)0,(是单调递减，若)123()12(22aafaaf，则a的取值范围是如何？【例 17 】设定义在 2,2 上的奇函数f(x) 在区间 0,2 上单调递减，若f
12、(1 m)f(m) ，求实数 m 的取值范围6、利用奇偶性证明不等式【例 18 】求证)0(221xxxx7、函数奇偶性的判定问题【例 19】 判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|x1|；（2）f（x）=（x1）xx11；（3）f（x）=2|2|12xx；（4）f（x）=).0()1(),0()1(xxxxxx（5）xxxf2)21()(2【例 20】判断下列函数的奇偶性2211(0)2( )11(0)2xxg xxx【例 21 】判断函数f(x)x33x2xx33x2x的奇偶性【名师点拨】分段函数的奇偶性应分段证明f(x)与 f(x) 的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时
13、，才能判断其奇偶性也可根据图象判定8、奇偶函数的图象问题【例 22】下面四个结论中，正确命题的个数是偶函数的图象一定与y 轴相交 奇函数的图象一定通过原点偶函数的图象关于 y轴对称 既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（xR）( )A.1 B.2 C.3 D.4 【提高练习】1.已知定义域为R的偶函数)(xf在),0(上为减函数，且有0)2(f，则满足0)(xf的x的集合为 _ ；2.已知函数)(xfy为 R 上的奇函数，若1)2()3(ff，则)3()2(ff_；3.已知偶函数)(xf在区间4 ,2上为减函数且有最大值为5，则)(xf在区间2,4上为_ 函数且有最 _值为 _；若是
14、奇函数)(xf在区间4,2上为增函数且有最小值为 5，则)(xf在区间2,4上为_ 函数且有最 _值为_ 。4.若函数22( )log (2)afxxxa是奇函数，则a5.已知函数)127()2() 1()(22mmxmxmxf为偶函数，则m的值是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 46.若偶函数)(xf在1,上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A)2() 1()23(fff B )2()23()1(fffC)23()1()2(fff D )1()23()2(fff7.函数( )yf x是 R 上的偶函数，且在(,0上是增函数，若( )(2)f af,则实数a的取值范围是（）A.2a B.2a C.22a D.2a或2a8.已知)1lg()1lg()(xxxf（1）判断函数的奇偶性；（2）判断)(xf的单调性并证明。9.若f（x）=1222xxaa为奇函数，求实数a的值.