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1、学习必备 精品知识点 函数的奇偶性 一、关于函数的奇偶性的定义 一般地，如果对于函数)(xf的定义域内任意一个x，都有)()(xfxf，那么函数)(xf就称偶函数；一般地，如果对于函数)(xf的定义域内任意一个x，都有)()(xfxf，那么函数)(xf就称奇函数；二、函数的奇偶性的几个性质 1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；3、可逆性：)()(xfxf)(xf是偶函数；)()(xfxf)(xf奇函数；4、等价性：)()(xfxf0)()(xfxf(|)()fxf x 1xfxf；)()(xfxf0)()(xfxf
2、1xfxf；5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。7、设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇（函数）偶偶偶（函数）奇奇偶（函数）偶偶偶（函数）奇偶奇（函数）8、多项式函数110()nnnnP xa xaxa 的奇偶性 多项式函数()P x是奇函数()P x的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数()P x是偶函数()P x的奇次项(即偶数项)的系数全为零.9、复合函数)(xgfy 的奇偶性 若函数)(),(),(xgfxgxf的定义域都是关于原点对称的,那么由)
3、(),(ufyxgu的奇偶性得到)(xgfy 的奇偶性的规律是:函数 奇偶性)(xgu 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数)(ufy 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 )(xgfy 奇函数 偶函数 偶函数 偶函数 即当且仅当)(xgu 和)(ufy 都是奇函数时,复合函数)(xgfy 是奇函数.三、函数的奇偶性的判断 函数奇偶性的因素有两个：定义域的对称性和数量关系。判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数四种情况。学习必备 精品知识点 判断函数奇偶性的方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查()fx是否与()f x、)(xf相等，判断步骤如下：1、定义域是否关
4、于原点对称；若定义域不对称，则为非奇非偶函数；若定义域对称，则有成为奇（偶）函数的可能 2、数量关系)()(xfxf哪个成立；判断分段函数的奇偶性 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断，在函数定义域中，对自变量 X的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数，分段函数不是几个函数，而是一个函数，因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系，首先要特别注意 X与X的范围，然后将它们代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较。四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定 命题 1：函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数
5、或偶函数的必要不充分条件。此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。命题 2：两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如()(1,1)f xx x，()(2,2)g xx x，可以看出函数()f x与()g x都是定义域上的函数，它们的差只在区间(1,1)上有定义且()()0f xg x，而在此区间上函数()()f xg x既是奇函数又是偶函数。命题 3：()f x是
6、任意函数，那么|()|f x与(|)fx都是偶函数。此命题错误。一方面，对于函数(),()0),|()|(),()0),f xf xf xf xf x不能保证 fxf x 或 fxf x ；另一方面，对于一个任意函数()f x而言，不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数(|)fx是偶函数。命题 4：如果函数()f x满足：f xfx，那么函数()f x是奇函数或偶函数。此命题错误。如函数2,(2,),(),(21,),x xn nNf xxxnnN从图像上看，()f x的图像既不关于原点对称，也不关于y轴对称，故此函数非奇非偶。命题 5：设 f(x)是定义域
7、关于原点对称的一个函数，则 F1(x)f(x)f(x)为偶函数，F2(x)f(x)f(x)为奇函数 此命题正确。由函数奇偶性易证。命题 6：已知函数()f x是奇函数，且(0)f有定义，则 00f。此命题正确。由奇函数的定义易证。性奇偶函数的定义域关于原点对称整体性奇偶性是函数的整体性质对定数偶函数既是奇函数又是偶函数非奇非偶函数设的定义域分别是那么在定义域都是关于原点对称的那么由的奇偶性得到的奇偶性的规律是奇偶学习必备 精品知识点 命题 7：已知()f x是奇函数或偶函数，方程()0f x 有实根，那么方程()0f x 的所有实根之和为零；若()f x是定义在实数集上的奇函数，则方程()0f
8、 x 有奇数个实根。此命题正确。方程()0f x 的实数根即为函数()f x与x轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知：若0()0f x，则0()0fx。对于定义在实数集上的奇函数来说，必有 00f。故原命题成立。五、关于函数按奇偶性的分类 全体实函数可按奇偶性分为四类：奇偶数、偶函数、既是奇函数也是偶函数、非奇非偶函数。六、关于奇偶函数的图像特征 一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；偶函数的图像关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y轴对称，那么这个函数是偶函数。图象法：如二次函数2yaxbxc成为偶函数，必须要使对称轴02bx
9、a，即0b；若二次函数2yaxbxc成为奇函数，必须要使0ac；当0b 时，二次函数是非奇非偶函数。奇函数对称区间上的单调性相同，偶函数对称区间上的单调性相反。七、关于函数奇偶性的简单应用 函数的奇偶性是函数的重要性质之一，也是每年高考的重点和热点内容之一，利用函数的奇偶性可求函数值、比较大小，求函数的解析式，讨论函数的单调性，求参数的值等。现分别举例说明如下：1、利用奇偶性求函数值【例 1】已知8)(35bxaxxxf且10)2(f，那么)2(f 。【例 2】设f（x）是定义在 R 上的偶函数，若当x 0 时，f（x）=log3（1+x），则f（2）=_ _。【例 3】)(xf是定义在 R
10、上的奇函数,则)0(f=_；若有3)2(f，则)2(f_；若7)5(f；则)5(f_；【例 4】已知函数121)(xaxf)(Rx,若)(xf为奇函数，则a_；2、利用奇偶性比较大小【例 5】已知偶函数)(xf在0,上为减函数，比较)5(f，)1(f，)3(f的大小。【例 6】若)(xf是 R 上的偶函数，且在0，+）上是增函数，则下列各式成立的是：（）)1()0()2(.fffA )0()1()2(.fffB)2()0()1(.fffC )0()2()1(.fffD 性奇偶函数的定义域关于原点对称整体性奇偶性是函数的整体性质对定数偶函数既是奇函数又是偶函数非奇非偶函数设的定义域分别是那么在定
11、义域都是关于原点对称的那么由的奇偶性得到的奇偶性的规律是奇偶学习必备 精品知识点【例 7】如果奇函数)(xf在区间3,7上是增函数且最大值为5，那么)(xf在区间3,7 上是（）A增函数且最小值是5 B增函数且最大值是5 C减函数且最大值是5 D减函数且最小值是5【例 8】，为偶函数，试比较的大小关系。【例 9】为偶函数，若，求取值范围。3、利用奇偶性求解析式【例 10】已知)(xf为偶函数，当01x 时，()1f xx，当10 x 时，求)(xf的解析式。【例 11】若)(xf是定义在（-，0）（0，+）上的奇函数，当x0 时，)1()(xxxf，求当0 x时，函数)(xf的解析式。【例 1
12、2】设)(xf是定义在 R上的奇函数,且当132)(02xxxfx时，试求函数)(xf的解析式。4、利用奇偶性讨论函数的单调性【例 15】若3)3()2()(2xkxkxf是偶函数，讨论函数)(xf的单调区间。5、利用奇偶性求参数的值【例 16】定义在 R上的偶函数)(xf在)0,(是单调递减，若)123()12(22aafaaf，则a的取值范围是如何？【例 17】设定义在2,2 上的奇函数 f(x)在区间0,2 上单调递减，若 f(1 m)f(m)，求实数 m 的取值范围 6、利用奇偶性证明不等式 性奇偶函数的定义域关于原点对称整体性奇偶性是函数的整体性质对定数偶函数既是奇函数又是偶函数非奇
13、非偶函数设的定义域分别是那么在定义域都是关于原点对称的那么由的奇偶性得到的奇偶性的规律是奇偶学习必备 精品知识点【例 18】求证)0(221xxxx 7、函数奇偶性的判定问题【例 19】判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|x1|；（2）f（x）=（x1）xx11；（3）f（x）=2|2|12xx；（4）f（x）=).0()1(),0()1(xxxxxx（5）xxxf2)21()(2【例 20】判断下列函数的奇偶性2211(0)2()11(0)2xxg xxx 【例 21】判断函数f(x)x33x2xx33x2x的奇偶性 【名师点拨】分段函数的奇偶性应分段证明 f(x)与 f(x)的
14、关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性也可根据图象判定 8、奇偶函数的图象问题【例 22】下面四个结论中，正确命题的个数是 偶函数的图象一定与 y轴相交 奇函数的图象一定通过原点 偶函数的图象关于 y轴对称 既是奇函数，又是偶函数的函数一定是 f（x）=0（xR）()A.1 B.2 C.3 D.4 【提高练习】1.已知定义域为R的偶函数)(xf在),0(上为减函数，且有0)2(f，则满足0)(xf的x的集合为_；2.已知函数)(xfy 为 R上的奇函数，若1)2()3(ff，则)3()2(ff_；3.已知偶函数)(xf在区间 4,2上为减函数且有最大值为 5，则)(xf在
15、区间 2,4上为_函数且有最_值为_；若是奇函数)(xf在区间 4,2上为增函数且有最小值为 5，则)(xf在区间 2,4上为_函数且有最_值为_。性奇偶函数的定义域关于原点对称整体性奇偶性是函数的整体性质对定数偶函数既是奇函数又是偶函数非奇非偶函数设的定义域分别是那么在定义域都是关于原点对称的那么由的奇偶性得到的奇偶性的规律是奇偶学习必备 精品知识点 4.若函数22()log(2)af xxxa是奇函数，则a 5.已知函数)127()2()1()(22mmxmxmxf为偶函数，则m的值是（）A.1 B.2 C.3 D.4 6.若偶函数)(xf在1,上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A)2
16、()1()23(fff B)2()23()1(fff C)23()1()2(fff D)1()23()2(fff 7.函数()yf x是 R上的偶函数，且在(,0上是增函数，若()(2)f af,则实数a的取值范围是（）A.2a B.2a C.22a D.2a 或2a 8.已知)1lg()1lg()(xxxf（1）判断函数的奇偶性；（2）判断)(xf的单调性并证明。9.若f（x）=1222xxaa为奇函数，求实数a的值.性奇偶函数的定义域关于原点对称整体性奇偶性是函数的整体性质对定数偶函数既是奇函数又是偶函数非奇非偶函数设的定义域分别是那么在定义域都是关于原点对称的那么由的奇偶性得到的奇偶性的规律是奇偶