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1、n2n2x0 x0 x0 x0 x0un2un1unun1un2n1nn1aaaaamx0um 一一维维晶晶格格振振动动一、一、一一维单维单原子链晶原子链晶格格振振动动1 1、一一维维单单原原子子链链模模型型正离子密区 负离子疏区正离子疏区 负离子密区正离子密区 负离子疏区正离子疏区 负离子密区正离子密区 负离子疏区压缩膨胀膨胀压缩膨胀长纵波（波长比原子间距大很多倍）波传播方向波传播方向- -+- -+- -+- -+- - -+- - -晶格振动- -+- -+- - -+- - -+- -+- -+- - - -+- -+- -+- -+离子围绕平衡位置上下振动，形成横波。波传播方向- -
2、+- -+- -+- -+- -+- -+例二:横波：原胞中两个原子沿同一方向振动，等效于原胞中原子质心振动。横波：原胞中两个原子相对振动，原子质心不动。波传播方向波传播方向+-V 电子 VV 电子V晶晶格格振动振动对于晶体特性的影对于晶体特性的影响响例、对于晶体电学特性的影响：假设：假设：1 1、N N个同个同种种原原子子构成构成一一维维布拉布拉菲菲格格子，子，晶晶格格常常数数a；2 2、原子质、原子质量量m ；nx na03 3、第第 n 个个原原子子的的平平衡衡位置位置（格格点位点位置）置）；nx(t) x0 unn4 4、一一定定温温度度下下，第，第 n 个个原原子子偏离平偏离平衡衡位
3、位置的置的位位移移: :un una,t un5 5、在在 t 时刻，时刻，第第 n 个个原原子子的的瞬瞬时时位位置置: :nx (t) x x0 u (t) x0 u na unnnnnn一维一维单单原原子链动力学方子链动力学方程程第 n、m 个原子的瞬时位置：mm ma ux(t) x x0 u(t) x0 ummmmm在 t 时刻，两个原子之间的相互作用势能：mnmnnmmnnnmmmnmn la umn x ux x x) (x u u )0 (x x0 u0 (x0 u )0l 1,2 2202) xmn xmn 0mnmnmnmnumnxumnx0m n0m n1 2 ) (x)
4、(x u假设温度不高，原子围绕格点位置微小振动，两原子间相对位移远小于两原子间 unmnmn平衡距离，um n um x0 la ，则可将两原子相互作用势能函数在两原 x0 x0mn子平衡间距 x0作泰勒级数展开：NUn (xm xn )m(n)得到第n 个原子受到其它原子的总相互作用势能：Nmnnm(n)0U 0(x)Nmnnu xUn U m(n) 2mn 02012 2 NmnmnnnU Um(n)u 2012mnx0mnmnxf ( ) 0（两个原子处于平衡位置时，相互作用力等于零。）第 n 个原子受到其它原子的总相互作用势能表达式： Nmnmnnnu Unfn m(n)u22 u 1
5、 n m(n)2 u 1 N(u u )2 mnmnN mn (um un ) m(n)第 n 个原子振动而偏离平衡位置时受到其它原子的总作用力：得到第 n 个原子的动力学方程（牛顿第二定律Nm(n)dt 2d 2umn (um un ) m n n 1,2,3, N ）：F maNnmnmm(n)dt 2d 2u(u u )m n 一维一维单单原原子链动力学方程的近似处子链动力学方程的近似处理理 简谐近似简谐近似假设温度不高，原子围绕格点平衡位置弹性振动，位移与弹性力成正比关系:f k x则第 n 个原子的动力学方程简化为：n2x0 x0 x0 x0 x0un2un1unun1un2n1nn
6、1n2aaaaamx0umd 2un 2un )un ) (un1un1(un1(un1m un ) dt 2假定 n 1 n1 ，动力学方程简化为： 最近邻最近邻近近似似只考虑第 n 个原子最近邻两个原子的相互作用势能及作用力，uN n un由周期性边界条件，一维原子链中所有原子的动力学方程都表示为：nd 2u dt 2m un1 2un )n1 (un1 un ) (un1 un ) (u 周期周期性边界条件近性边界条件近似似设想将长度为L Na 的一维原子链围成环形，则原子链端点原子的运动状态与链 内原子的运动状态完全一样，并且有边界条件：n 1,2,3,N ,代表联立的 N 个线性齐次方程组 连续连续介质近似下的一维单原子介质近似下的一维单原子链链动力学方程的动力学方程的解解分析分析：一定温度下，原子围绕格点位置谐振。由于原子之间存在相互作用力，每 个原子的振动必然影响到其它原子，从而将原子的振动传递到整个晶体中，形成在晶 体中传播的波（格波格波）。正离子密区 负离子疏区正离子疏区 负离子密区正离子密区 负离子疏区正离子疏区 负离子密区正离子密区 负离子疏区压缩膨胀膨胀压缩膨胀长纵波（波长比原子间距大很多倍）波传播方向波传播方向