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1、第二节第二节 三维晶格的振动三维晶格的振动本节主要内容本节主要内容: :2.1 2.1 色散关系色散关系2.2 2.2 波矢波矢q的取值和范围的取值和范围模型模型运动方程运动方程 试探解试探解色散关系色散关系波矢波矢q范围范围B-K条件条件波矢波矢q取值取值一维问题的处理步骤一维问题的处理步骤:2n-22n2n+12n+22n-1Mma aqntinAx1212e naqtinBx22e 2cos2)(222aqmMMmMmmM )(22Nnnxx aqa22 nxM2. nnnxxx212122 12. nxm 122222 nnnxxx 晶格振动的波矢数目晶格振动的波矢数目 = =晶体的原
2、胞数晶体的原胞数N，格波振动频率数目格波振动频率数目= =晶体的自由度数，晶体的自由度数，格波的支数格波的支数= =原胞内原子的自由度数。原胞内原子的自由度数。一维单原子链，设晶体有一维单原子链，设晶体有N个原胞。个原胞。原胞内原子的自由度数原胞内原子的自由度数=11支格波支格波晶体的自由度数晶体的自由度数=N频率数为频率数为N一维双原子链，设晶体有一维双原子链，设晶体有N个原胞。个原胞。原胞内原子的自由度数原胞内原子的自由度数=22支格波支格波晶体的自由度数晶体的自由度数=2N频率数为频率数为2N2.1 色散关系1.模型 设三维无限大的晶体设三维无限大的晶体,每个原胞中有每个原胞中有n个原子
3、，各原子的质个原子，各原子的质量分别为量分别为 原胞中这原胞中这n个原子个原子平衡时的相对位平衡时的相对位矢分别为矢分别为 。;,321nmmmm nrrrr,321 slrR 表示平衡时顶点位矢为表示平衡时顶点位矢为 的原胞内第的原胞内第s个原子的个原子的位矢；位矢；lR slu 表示顶点位矢为表示顶点位矢为 的原胞内的原胞内第第s个原子离开平衡位置在个原子离开平衡位置在 方向的位移。方向的位移。lRlRsr在简谐近似下，上式的右端是位移的线性代数式。，上式的右端是位移的线性代数式。 q .Rtisq .rRtislslAA ee ( =3,s=n)共有共有3n个方程个方程 slmu.s (
4、 =1,2,3；s=1,2,3,n) ssAm2可得到可得到3n 个个线性齐次方程。线性齐次方程。2. 运动方程和解运动方程和解试探解：试探解： slu )321()(AA,i,qqvii 这3支格波称为声学支格波。 其余的其余的(3n-3)支格波的频率比声学波的最高频率还要高称支格波的频率比声学波的最高频率还要高称之为之为光学支格波。2.2 波矢q的取值和范围设晶体有设晶体有N个原胞个原胞,原胞的基矢为：原胞的基矢为：;,321aaa沿基矢方向各有沿基矢方向各有N1、N2、N3个原胞个原胞,321NNNN As 有非零解有非零解,必须其系数行列式为零必须其系数行列式为零3n个个 的实根的实根
5、在在3n个实根中，其中有个实根中，其中有3个当波矢个当波矢q 0时时,11aNRl 22aNRl 1a2alR11aNRl 3322111)(alalaNl 22aNRl 3322211)(alaNlal 根据玻恩根据玻恩-卡门周期性条件：卡门周期性条件： sNllluslllusluslNllusllluslusllNlusllluslu33,213, 21,3, 2213, 21,32113, 21, q.RtilAslu e11aNRl 22aNRl 1a2alR2222 qaN3332 qaN1112 qaN qaNqRti)qRt( ill 22ee qaNqRti)qRt( ill
6、 33ee qaNqRti)qRt( ill 11ee 2111Nqa 2333Nqa 2222Nqa ( ( 1、 2、 3为整数为整数) )333222111NbNbNbq )(321为为倒倒格格基基矢矢、bbb波矢波矢 具有倒格矢的量纲，得出具有倒格矢的量纲，得出:q三维格波的波矢不是连续的而是分立的，其中三维格波的波矢不是连续的而是分立的，其中332211NbNbNb、为波矢的基矢，波矢的点阵亦具有周期性。为波矢的基矢，波矢的点阵亦具有周期性。(二维图示二维图示)22Nb11Nb每个波矢代表点占有的体积为：每个波矢代表点占有的体积为：cVNNNbNbNb33332211)2()2( 晶
7、体体积晶体体积正格子原胞体积正格子原胞体积波矢密度波矢密度：33)2()2(1ccVV )Kq.(RtishlAsl)q(u ehKqq cV3)2(波矢空间中单位体积的波矢数目。 将将 的取值限制在一个倒格子原胞范围内，此区间称为的取值限制在一个倒格子原胞范围内，此区间称为简简约布里渊区约布里渊区。q每个波矢代表点占有的体积为：每个波矢代表点占有的体积为： sl)q(uAq .Rtisl enNnNN3)33(3 晶格振动频率数目晶格振动频率数目:q3支声学波支声学波)(qA (3n-3)支光学波支光学波)(qO 晶格振动的波矢数目晶格振动的波矢数目 = =晶体的原胞数晶体的原胞数N，格波振
8、动频率数目格波振动频率数目= =晶体的自由度数晶体的自由度数mnN，晶体中格波的支数晶体中格波的支数= =原胞内原子的自由度数原胞内原子的自由度数mn。设晶体有设晶体有N个原胞个原胞,每个原胞有每个原胞有n个原子个原子, m支声学波，支声学波，m(n-1)支光学波，这里支光学波，这里m是晶体的维数，是晶体的维数，n是原胞中原子的数目。是原胞中原子的数目。波矢可取的数目：波矢可取的数目：NNVc 33)2()2( 例例2：金刚石结构有几支格波：金刚石结构有几支格波?几支声学波几支声学波?几支光学波几支光学波?设晶设晶体有体有N个原胞，个原胞，晶格振动模式数为多少晶格振动模式数为多少?答答:金刚石
9、结构为复式格子金刚石结构为复式格子,每个原胞有每个原胞有2个原子。个原子。, 2, 3 nm有有6支格波，支格波，3支声学波，支声学波，3支光学波。支光学波。振动模式数为振动模式数为6N。晶格振动的波矢数目晶格振动的波矢数目 = =晶体的原胞数晶体的原胞数N，格波振动频率数目格波振动频率数目= =晶体的自由度数晶体的自由度数mnN，晶体中格波的支数晶体中格波的支数= =原胞内原子的自由度数原胞内原子的自由度数mn。B3Nk 高温时与实验规律相吻合。高温时与实验规律相吻合。 TfNkCVDB3 xxTTfxxd1ee34023DD 43D1543 T3DB4512 TNkCV低温时，当低温时，当T D时，时， TD 由上式看出，在极低温度下，比热与由上式看出，在极低温度下，比热与T3成正比，这个规律成正比，这个规律称为德拜定律。温度越低，理论与实验吻合的越好。称为德拜定律。温度越低，理论与实验吻合的越好。