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1、1、三维晶格振动一、三维简单晶格的振动第个原子的位矢:Rl l1a1 l2 a2 l3a3l-lll0带入运动方程得：lab mw2dab Ab 0 a，b1，2，3b lab Cab l l eiq Rl Rl l ma l Aa ei wt qRl 设格波解：其中可以解得w与q的三个关系式，对应于三维情况沿三个方向的振动，即三支声学波：一支纵波，两支横波。推广：对于复式晶格，若每个原胞中有s个原子，由 运动方程可以解得3s个w与q的关系式（即色散 关系式），对应于3s支格波，其中3支为声学波 （一支纵波，两支横波），3(s 1)支为光学波。mw 111213l21l mw2l23l31l3
2、2l mw2久期方程 0lll22332二、布里渊区对于第j支格波，设有两个波矢q 和q所描述的晶 格振动状态完全相同，有j l A ei wj qt qRl A ei wj q t qRl 上式对于任意时刻t和任意的格矢Rl都成立，有：ei wj q t wj qt ei q q Rlei wj q wj q t C 1 wj q wj q ei q q Rl C 1 q q Rl 2p hj j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j jj jj有 q-qGn ，（由于Rl为任意格矢）即：wj(q Gn)=wj(q)在q空
3、间中，wj(q)是以倒格矢Gn 为周期的周期函数，仍可将波矢q限制在简约区或第一布里渊区中。由于 G R 2phGn为倒格矢，h为整数n lq Gn 1 G 布里渊区边界面方程n将原点取在简约区的中心，在布里渊区边界面上周期对应的两点间应满足关系：q q Gn q q Gn q222 2Gnq q0 n2q G G 0G 2 nn nG布里渊区的边界面是倒格矢的垂直平分面。布里渊区的几何作图法：v 根据晶体结构，作出该晶体的倒易空间点阵，任取一 个倒格点为原点；v 由近到远作各倒格矢的垂直平分面；v 在原点周围围成一个包含原点在内的最小封闭体积，即为简约区或第一布里渊区。简约区就是倒易空间中的
4、WignerSeitz原胞。22133可以证明，每个布里渊区的体积均相等，都等于第一布里渊区的体积，即倒格子原胞的体积Wb 。sc a sc 2pa4p由8个111面和6个 100面围成的14面体正格子 格常数 倒格子 格常数 简约区由6个100面 围成的立方体由12个110面 围成的正12面体afcc a bccbcc a fcc4pafcc 晶格的简约区bcc 晶格的简约区三、周期性边界条件设N1、N2和N3分别为晶体沿三个基矢方向的原胞数，晶体的总原胞数为：N N1 N2 N3 。周期性边界条件：第j支格波：mj Rl mj Rl Na aa a1,2,3 A ei wjt q Rl A
5、 ei wjt q Rl Naaa e iq Na aa 1q Na aa 2pha ha=整数j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j jj jj令 q h1b1 h2 b2 h3b3 q Na aa h1b1 h2b2 h3b3 Na aa 2pha Na 2p ha aa bb 2pdabhha a 1,2,3Na q b1 b2 b31 2 3h1 h2 h3N N Nh1,h2,h3 整数aVNva 晶体体积在q空间中，波矢q的分布密度 r q const.简约区中波矢q的取值总数r(q)WbN晶体的原胞数b1 b2 b3 b 1 8p 3 8p 3在q空间中，每一个q的取值（状态）所占的空间为：N1 N2 N3 N N va Va bv 8p 3简单晶格：每个原胞中只有一个原子，每一个q的取值对应于三个声学波（1个纵波，2个横波）。晶格振动格波的总数3N晶体的自由度数。复式晶格：若每个原胞中有s个原子，每一个q的取值对应于3个声学波和3(s-1)个光学波。晶格振动格波的总数 33(s-1)N=3sN=晶体的自由度数晶格振动波矢的总数 晶体的原胞数晶格振动格波的总数 晶体的自由度数