《高二物理竞赛一维双原子链(复式格)的振动课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高二物理竞赛一维双原子链(复式格)的振动课件.ppt（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、一维双原子链(复式格)的振动 一维双原子链(复式格)的振动1. 运动方程和解 (1) (1) 模型模型: :一维无限长原子链，原子质量为一维无限长原子链，原子质量为m m和和M M，且且m m M M。相邻原子间距均为相邻原子间距均为a，恢复力系数为恢复力系数为 。( (晶格常量为晶格常量为2 2a ) )2 2n2 2n-1-12 2n+1+12 2n+2+22 2n n-2-2 mM质量为质量为M的原子编号为的原子编号为2n-2 、2n、2n+2、质量为质量为m的原子编号为的原子编号为2n-1 、2n+1、2n+3、例例1. 求由求由5个原子组成的一维单原子晶格的振动频率。设原子质个原子组
2、成的一维单原子晶格的振动频率。设原子质量为量为m，恢复力常数为恢复力常数为 (只考虑近邻原子间的相互作用只考虑近邻原子间的相互作用)。由玻恩由玻恩-卡门周期性边界条件卡门周期性边界条件:Nxx 111e iNaqsNaq 2 naqtinAx e解解:设最近邻原子间的恢复力系数为设最近邻原子间的恢复力系数为 ，则，则:将试探解代入振动方程得色散关系将试探解代入振动方程得色散关系: 11. nnnnxxxxnmx 2sin2aqm S为整数为整数saq52 2525 saqa 2525 s2,1,0,1,2 sa,a,a,aq545205254 123425122sin,2sin,0,.55mm
3、 2sin2aqm 模型模型运动方程运动方程 试探解试探解色散关系色散关系波矢波矢q范围范围一维无限长原子链，一维无限长原子链，m，a， 晶格振动波矢的数晶格振动波矢的数目目=晶体的原胞数晶体的原胞数B-K条件条件波矢波矢q取值取值 11. nnnnxxxxnmx naqtinAx e2sin2aqm aqa Nnnxx n-2nn+1n+2n-1ammoa a m2 x2nx2n-1x2n+1x2n+2x2n-2考虑到只有两个最近邻原子，则有：考虑到只有两个最近邻原子，则有： 1221222. nnnnnxxxxMx nnnxxx212122 (2)方程和解方程和解 nnnnnxxxxmx2
4、12221212. 122222 nnnxxx knkknnxxmx . aqntinAx1212e nxM2. nnnxxx212122 12. nxm 122222 nnnxxx naqtinBx22e 其他原子位移可按下列原则得出其他原子位移可按下列原则得出:(1)同种原子周围情况都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅同种原子周围情况都相同，其振幅相同；原子不同，其振幅不同。不同。(2)相隔一个晶格常数相隔一个晶格常数2a的同种原子，相位差为的同种原子，相位差为2aq。2222eaq)n(tnBx aqntinAx1212e 2.色散关系e2eee)2() 12() 12()2(2naqt
5、iaqntiaqntinaqtiBAABM e2eee) 12()2()22() 12(2aqntinaqtiaqntiaqntiABBAm BABMiaqiaq 2ee2 ABAmiaqiaq 2ee2 nxM2. nnnxxx212122 12. nxm 122222 nnnxxx aqntinAx1212e naqtinBx22e 上式看成是以上式看成是以A、B为未知数的线性齐次方程；为未知数的线性齐次方程； 0cos2202cos222 BaqAmBMAaq 若若A，B不全为零，必须其系数行列式为零，即不全为零，必须其系数行列式为零，即:0cos222cos222 aqmMaq 212
6、222cos2aqmMMmMmmMA 212222cos2aqmMMmMmmMo 2cos2)(222aqmMMmMmmM 光学支格波光学支格波声学支格波声学支格波 :o :A0cos222cos222 aqmMaq 04)(2cos422422 MmmMaq0)cos1(4)(22224 aqMmmM )cos1(44)(2)(2212222aqmMMmMmmM )cos1(4)(2)(22122aqmMMmMmmM cos42)(222aqmMmMMmMmmM 2cos2)(22aqmMMmMmmM (1)色散曲线色散曲线)()(qq qaq )(aqa22 212222cos2aqmMM
7、mMmmMA 212222cos2aqmMMmMmmMo :0时时 q 2)(2max mMMmo0min A :2时时aq mo 2min MA 2max 折合质量折合质量o qa2 a2 2O m 2A M 2由玻恩由玻恩-卡门边界条件，设晶体有卡门边界条件，设晶体有N个原胞，则：，则：,)(22Nnnxx ,Naqi1e2 (2)波矢波矢q的取值的取值 aqNntinaqtiAA 22ee 22NsN aqa22 sNaq (共有共有N个值个值) 一维双原子链，每个原胞有两个原子，晶体的自由度数是一维双原子链，每个原胞有两个原子，晶体的自由度数是2N 。 由由N个原胞组成的一个原胞组成的
8、一维维双原子链，波矢的数目为双原子链，波矢的数目为N，频率的频率的数目为数目为2N，格波格波(振动模式振动模式)数目为数目为2N。22 (),Naqs s为整数晶格振动波矢的数目晶格振动波矢的数目= =晶体的原胞个数晶体的原胞个数晶格振动频率晶格振动频率( (振动模式振动模式) )的数目的数目= =晶体中原子的自由度数晶体中原子的自由度数3.声学波和光学波 ,2211)2cos(2则则aqaq aMmvp 2,2aqMmA 212222cos2aqmMMmMmmMA 在长波近似的情况下，声学支格波与弹性波的情况类似。在长波近似的情况下，声学支格波与弹性波的情况类似。(1)当波矢当波矢q 0时时
9、, 212222cos2aqmMMmMmmMA 21222)(42aqmMmMMmMmmM 2122)(41aqMmmMMmMmmM 22)(21aqMmmMMmMmmM 2)(2aqMmmMmM aqMmA 2aMmvp 2qvp (2)相邻原子的振幅之比相邻原子的振幅之比对于声学支格波对于声学支格波:22)cos(2AAmaqBA , 02,2, 0)cos(2 AAmMaq 所所以以22cos2 maqBA aqa22 0 ABA 声学支格波，相邻原子都是沿着同一方向振动的声学支格波，相邻原子都是沿着同一方向振动的。 0cos2202cos222 BaqAmBMAaq 0, cos1; 0, AqaqAB