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1、余 弦 定 理(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.在ABC中,b=,c=3,B=30,则a=()A.B.2C.或2D.2【解析】选C.由余弦定理:b2=a2+c2-2accos B可得:3=a2+9-6a,解得:a=或2.2.(2019丹东高一检测)在ABC中,cos A=,AC=3AB,则sin C=()A.B.C.D.【解析】选A.因为cos A=,所以sin A=.又BC2=AB2+AC2-2ABACcos A=AB2+9AB2-2AB3AB=8AB2,BC=2AB,又=,所以sin C=sin A=.3.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos A=
2、,a=7,c=6,则b=()A.8B.7C.6D.5【解析】选D.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,所以49=b2+36-2b6,整理得5b2-12b-65=0,解得b=5或b=-(舍去).4.在ABC中,sin=,AB=1,AC=5,则BC=()A.2B.C.D.4【解析】选D.因为sin =,所以cos A=1-2sin2=1-2=-,因为AB=1,AC=5,所以由余弦定理可得:BC=4.5.(2019鹤岗高一检测)在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=bc,sin C=2sin B,则A=()A.B.C.D.【解析】选C.因为sin C=2sin
3、B,由正弦定理可得c=2b,代入a2-b2=bc可得a2=7b2.由余弦定理的推论可得cos A=.所以A=.6.(2019玉溪高一检测)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若abc=432,则=()A.B.C.D.【解析】选D.由题意=,abc=432,设a=4k,b=3k,c=2k,由余弦定理可得,cos C=,则=.二、填空题(每小题5分,共10分)7.设ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知A=,a=,c=,则b=_.【解析】由余弦定理可得a2=6=b2+5-2bcos ,解得b=或b=(舍去).答案:8.(2018浙江高考)在ABC中,角A,B,C所对的
4、边分别为a,b,c.若a=, b=2,A=60,则sin B=_,c=_. 【解析】由正弦定理=,得sin B=.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得c2-2c-3=0,则c=3或c=-1(舍去).答案:3三、解答题(每小题10分,共20分)9.在ABC中,已知sin C=,a=2,b=2,求边c.【解析】因为sin C=,且0C,所以C为或.当C=时,cos C=,此时,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=4,即c=2.当C=时,cosC=-,此时,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=28,即c=2.所以边c的长为2或2.10.已知a,b,c分别为ABC内
5、角A,B,C所对的边,cos C(acosB+bcos A)+c=0.(1)求角C.(2)若a=,b=2,求sin(B-C)的值.【解析】(1)由已知及正弦定理得cos C(sin Acos B+sin Bcos A)+sin C=0,所以cosCsin C+sin C=0,因为sin C0,所以cos C=-,因为0C0,所以a2+b2-c2-ab=0.(1)由余弦定理(1)式可化为a2+b2-(a2+b2-2abcos C)-ab=0,得cos C=,C=60.由正弦定理=,得sin A=,sin B=,所以sin Asin B=,所以=1,ab=c2,将ab=c2代入(1)式得,a2+b
6、2-2ab=0,即(a-b)2=0,a=b.又因为ab=c2,所以a2=c2,c=a=b,所以ABC是等边三角形.5.设ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=2,c=2,cos=,则b=()A.1B.C.2D.4【解析】选D.因为a=2,c=2,cos=,所以cos A=2cos2-1=2-1=,所以由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可得:(2)2=b2+22-2b2,可得:b2-3b-4=0,所以解得:b=4或-1(舍去).二、填空题(每小题5分,共20分)6.在ABC中,已知a=4,b=5,c=6,则sin A=_.【解析】由余弦定理得cos A=,因为A为ABC
7、一内角,所以sin A=.答案:7.(2019衡水高二检测)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,其外接圆的直径为d,且满足bcos A+acos B-4ccos C=0,则=_.【解析】由bcos A+acos B-4ccos C=0及余弦定理,得b+a-4ccos C=0,得+-4ccos C=0,得c-4ccos C=0,即c=0,所以cos C=,所以sin C=.由正弦定理,得=d,则=sin C=.答案:8.在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,BC边上的高与BC边长相等,则+的最大值是_.【解析】在ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,所以+=.因为由余弦
8、定理得a2=c2+b2-2bccos A,所以=.又因为在ABC中,BC边上的高与BC边的长相等,所以bcsin A=a2,即bcsin A=a2.所以=2sin A+2cos A=2sin2.则+的最大值为2.答案:29.已知锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b2=a(a+c),则的取值范围是_.【解析】由b2=a(a+c)及余弦定理可得c-a=2acos B,由正弦定理得sin C-sin A=2sin Acos B,因为A+B+C=,所以sin(B+A)-sin A=2sin Acos B,所以sin(B-A)=sin A,因为ABC是锐角三角形,所以B-A=A
9、,即B=2A.因为0B,A+B,那么:A,则=sin A.答案:三、解答题(每小题10分,共30分)10.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2bcos A=ccos A+acos C.(1)求角A的大小.(2)若a=,b+c=4,求bc的值.【解析】(1)根据正弦定理得2bcos A=ccos A+acos C,即2cos Asin B=sin Acos C+cos Asin C=sin(A+C)=sin B,因为sin B0,所以cos A=,因为0A180,所以A=60.(2)由余弦定理得7=a2=b2+c2-2bccos 60=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,把b+c=4代入得bc=3,故bc=3.11.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,2c=a+2bcos A.(1)求角B.(2)若c=7,bsin A=,求b.【解析】(1)由已知及正弦定理可得2sin C=sin A+2sin Bcos A,所以2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+2sin Bcos A,即2sin Acos B=sin A,因为sin A0,所以cos B=.又0Bba,故B=2A,即的值为2.