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1、单元综合检测(一)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在ABC中，a3，b4，sin B，则sin A等于()A.B.C. D.解析：由正弦定理，解得sin A.答案：A2在ABC中，ACB，BC，AC4，则AB等于()A. B3C. D.解析：由余弦定理，得AB.答案：A3在ABC中，A60，b6，c10，则ABC的面积为()A15 B15C15 D30解析：由Sbcsin A610sin 6015.答案：B4在ABC中，若a2，b2，A30，则B等于()A60 B60或120C30 D30或150解析：在ABC中，由正弦定
2、理，解得sin B，故B为60或120，故选B.答案：B5ABC为钝角三角形，a3，b4，cx，C为钝角，则x的取值范围是()Ax5 B5x7C1x5 D1x7解析：由已知条件可知x34且3242x2，5x7.答案：B6在ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是()Ab10，A45，C70Ba30，b25，A150Ca7，b8，A98Da14，b16，A45解析：A中已知两角与一边，有唯一解；B中，ab，且A150，也有唯一解；C中ba，且A98为钝角，故解不存在；D中由于bsin 45ab，故有两解答案：D7在ABC中，已知b2ac且c2a，则cos B等于()A. BC. D.解析：
3、b2ac，c2a，b22a2，cos B.答案：B8已知锐角三角形的边长分别为1,3，a，则a的取值范围是()A(8,10) B(2，)C(2，10) D(，8)解析：由此三角形为锐角三角形结合余弦定理的推论，可得解得8a210，故2a.答案：B9在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b，c3，B30，若加一个条件，使ABC唯一，则可加的条件是()AA60BA150CABC是钝角三角形DABC是锐角三角形解析：由正弦定理，得，得sin C，则C60或C120，由此可得A90或A30，则当ABC是钝角三角形时，A30，确定唯一的ABC.答案：C10有一长为1 km的斜坡，它的倾斜
4、角为20，现高不变，将倾斜角改为10，则斜坡长为()A1 km B2sin 10 kmC2cos 10 km Dcos 20 km解析：如图所示，ABC20，AB1 km，ADC10，ABD160.在ABD中，由正弦定理，得ADAB2cos 10(km)答案：C11在ABC中，A，AC4，BC2，则ABC的面积为()A2 B2C4 D4解析：由正弦定理，得sin B1，所以B，C，SACBCsin C42sin 2.答案：B12在ABC中，AC，BC2，B60，则BC边上的高等于()A. BC. D.解析：由余弦定理得：AC2BC2AB22ABBCcos B，即AB22AB30，故AB3，所以
5、ADABsin B.故选B.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13在等腰ABC中，已知sin Asin B12，底边BC10，则ABC的周长是_解析：由正弦定理得BCACsin Asin B12.又BC10，AC20，ABAC20.ABC的周长是10202050.答案：5014在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a1，c，A，则b_.解析：由，得sin C，C或.当C时，B，b2；当C时，B，b1.综上所述，b2或1.答案：2或115已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足(abc)(bca)3bc，则A_
6、.解析：由已知得(bc)2a23bc，b2c2a2bc，cos A.又A(0，)，A.答案：16在ABC中，若SABC12，ac48，ca2，则b_.解析：由SABCacsin B得sin B，B60或120.由余弦定理得，b2a2c22accos B(ac)22ac2accos B22248248cos B，b252或148，即b2或2.答案：2或2三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(10分)在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a4，b5，c.(1)求C的大小；(2)求ABC的面积解析：(1)依题意，由余弦定理得cos C
7、.0C180，C120.(2)SABCabsin C45sin 120455.18(12分)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2b2c2ab，且2cos Asin Bsin C，试判断ABC的形状解析：由正弦定理得，由2cos Asin Bsin C，有cos A.又由余弦定理得cos A，即c2b2c2a2，a2b2，ab.又a2b2c2ab，2b2c2b2，b2c2，bc，abc，ABC为等边三角形19(12分)在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a2(bc)2bc.(1)求角A；(2)若c2，求b的值解析：(1)由a2(bc)2bc得：a2b2c2bc，c
8、os A，又0A，A.(2)，sin C1.C，B.c2，b2sin B2sin 1.20(12分)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A，b2a2c2.(1)求tan C的值；(2)若ABC的面积为3，求b的值解析：(1)由b2a2c2及正弦定理得sin2Bsin2C，cos 2Bsin2C.又A，即BC，cos 2Bcossin 2C2sin Ccos C，2sin Ccos Csin2C，解得tan C2.(2)由tan C2，C(0，)，得sin C，cos C，又sin Bsin(AC)sin，由正弦定理得cb.又A，SABCbcsin A3，bc6，b3.21(
9、12分)在锐角ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a2csin A.(1)求角C的大小；(2)若c，且ABC的面积为，求ab的值解析：(1)由a2csin A及正弦定理得，.因为sin A0，所以sin C.因为ABC是锐角三角形，所以C.(2)因为c，C，由面积公式可得absin ，即ab6.由余弦定理可得a2b22abcos 7，即a2b2ab7.将代入变形得(ab)225.又因为a0，b0，所以ab5.22(12分)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上(1)求渔船甲的速度；(2)求sin 的值解析：(1)依题意，BAC120，AB12，AC10220，BCA.在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC12220221220cos 120784，解得BC28.所以渔船甲的速度为14海里/小时(2)在ABC中，因为AB12，BAC120，BC28，BCA.由正弦定理，得，即sin .