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1、1如图，四棱锥的底面是平行四边形，,分别是棱的中点.（1）证明平面；（2）若二面角P-AD-B为，证明：平面PBC平面ABCD求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.【解析】试题分析：(1)证明线面平行，一般利用线线平行进行证明.本题条件中的中点较多，所以取PB中点M,利用中位线性质找寻平行条件.因为F为PC中点，故MF/BC且MF=BC.由已知有BC/AD，BC=AD.又由于E为AD中点，因而MF/AE且MF=AE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EF/AM,又AM平面PAB,而EF平面PAB,所以EF/平面PAB.，(2)证明面面垂直，关键在一个面内找出另一平面的垂线.经分析BE平面PBC
2、.这是因为通过计算可得BEPB, 又BC/AD,BEAD,从而BEBC,求线面角，关键是找面的垂线，由知BE平面PBC.所以EFB为直线EF与平面PBC所成的角，下面只需分别求出BE与EF的值即可.在三角形ABP中，可求得AM=,故EF=,又BE=1，故在直角三角形EBF中，所以，直线EF与平面PBC所成角的正弦值为证明(1)如图取PB中点M,连接MF,AM.因为F为PC中点，故MF/BC且MF=BC.由已知有BC/AD，BC=AD.又由于E为AD中点，因而MF/AE且MF=AE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EF/AM,又AM平面PAB,而EF平面PAB,所以EF/平面PAB.(2)连接
3、PE,BE.因为PA=PD,BA=BD,而E为AD中点，故PEAD,BEAD,所以PEB为二面角P-AD-B的平面角.在三角形PAD中，由，可解得PE=2.在三角形ABD中，由,可解得BE=1.在三角形PEB中，PE=2, BE=1, ,由余弦定理，可解得PB=，从而，即BEPB,又BC/AD,BEAD,从而BEBC,因此BE平面PBC.又BE平面ABCD，所以平面PBC平面ABCD,连接BF，由知BE平面PBC.所以EFB为直线EF与平面PBC所成的角，由PB=，PA=,AB=得ABP为直角，而MB=PB=,可得AM=,故EF=,又BE=1，故在直角三角形EBF中，所以，直线EF与平面PBC
4、所成角的正弦值为考点：线面平行判定定理，面面平行判定定理，直线与平面所成的角2如图，已知正方体的棱长为2，E、F分别是、的中点，过、E、F作平面交于G(l)求证：EG；(2)求二面角的余弦值；(3)求正方体被平面所截得的几何体的体积【解析】试题分析：（1）两平行平面都与第三个平面相交，则交线平行；（2）以为原点分别以为轴，建立空间直角坐标系，平面的法向量为，求出平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求二面角的余弦值（3）所求几何体是由正方体截去一个三棱台而得到， 所以，（1）证明：在正方体中，因为平面平面,平面平面平面平面（2）解：如图，以为原点分别以为轴，建立空间直角坐标系，则有设平面的法向量
5、为则由和得取得又平面的法向量为故所以截面与底面所成二面角的余弦值为（3）解：设所截几何体的体积为与相似，故考点：1、平面与平面平行的性质；2、空间直角坐标系；3、向量夹角公式；4、组合体的体积3如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，分别为，中点， （）求证：平面；（）求二面角的余弦值；（）在棱上是否存在一点，使平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由【解析】试题分析：（）证明线面平行，关键在于找出线线平行.本题条件含中点，故从中位线上找线线平行. ，分别为，中点，在中，是中点，是中点，所以又因为平面，平面，所以平面（）求二面角的大小，有两个思路，一是作出二面角的平面角，这要用到三垂线
6、定理及其逆定理，利用侧面底面，可得底面的垂线，再作DF的垂线，就可得二面角的平面角，二是利用空间向量求出大小.首先建立空间坐标系. 取中点由侧面底面易得面以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系再利用两平面法向量的夹角与二面角的平面角的关系，求出结果，（）存在性问题，一般从假设存在出发，构造等量关系，将存在是否转化为方程是否有解.证明：（）如图，连结因为底面是正方形，所以与互相平分 又因为是中点， 所以是中点在中，是中点，是中点， 所以又因为平面，平面，所以平面 4分（）取中点在中，因为， 所以因为面底面，且面面， 所以面因为平面所以又因为是中点，所以如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系因为
7、，所以，则，于是，因为面，所以是平面的一个法向量设平面的一个法向量是 因为所以即令则 所以由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为 10分（）假设在棱上存在一点，使面设，则 由（）可知平面的一个法向量是因为面，所以于是，即又因为点在棱上，所以与共线因为，所以所以，无解故在棱上不存在一点，使面成立 14分考点：线面平行判定定理，利用空间向量求二面角4如图甲，O的直径AB2，圆上两点C、D在直径AB的两侧，且CAB，DAB.沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙)，F为BC的中点，E为AO的中点根据图乙解答下列各题： (1)求三棱锥CBOD的体积；(2)求证：CBDE；(3)在上
8、是否存在一点G，使得FG平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由【解析】(1)C为圆周上一点，且AB为直径，C，CAB，ACBC，O为AB的中点，COAB，AB2，CO1.两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB，CO平面ABD，CO平面BOD.CO就是点C到平面BOD的距离，SBODSABD1，VCBODSBODCO1.(2)证明：在AOD中，OAD，OAOD，AOD为正三角形，又E为OA的中点，DEAO，两个半圆所在平面ACB与平面ADB互相垂直且其交线为AB，DE平面ABC.又CB平面ABC，CBDE.(3)存在满足题意的点G，G为的中点证明如下：连接O
9、G，OF，FG，易知OGBD，AB为O的直径，ADBD，OGAD，OG平面ACD，AD平面ACD，OG平面ACD.在ABC中，O，F分别为AB，BC的中点，OFAC，OF平面ACD，OGOFO，平面OFG平面ACD.又FG平面OFG，FG平面ACD.5如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知AD4，BD4，AB2CD8.(1)设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD；(2)当M点位于线段PC什么位置时，PA平面MBD?(3)求四棱锥PABCD的体积【答案】（1）见解析（2）M点位于线段PC靠近C点的三等分点处时（3）24.【解析】(1)证明：
10、在ABD中，AD4，BD4，AB8，AD2BD2AB2.ADBD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，BD平面PAD.又BD平面MBD，平面MBD平面PAD.(2)当M点位于线段PC靠近C点的三等分点处时，PA平面MBD.证明如下：连接AC，交BD于点N，连接MN.ABDC，四边形ABCD是梯形AB2CD，CNNA12.又CMMP12，CNNACMMP，PAMN.MN平面MBD，PA平面MBD，PA平面MBD.(3)过点P作POAD交AD于O，平面PAD平面ABCD，PO平面ABCD.即PO为四棱锥PABCD的高又PAD是边长为4的等边三角形，PO42.在R
11、tADB中，斜边AB上的高为2，此即为梯形ABCD的高梯形ABCD的面积SABCD212.四棱锥PABCD的体积VPABCD12224.6如图四棱锥中，底面是平行四边形，平面是的中点，.（1）试判断直线与平面的位置关系，并予以证明；（2）若四棱锥体积为 ，求证：平面.【答案】（1）参考解析；（2）参考解析【解析】试题分析：（1）由题意判断直线与平面的位置关系，这类题型要转化为直线EF与平面内一条直线平行或则相交，所以转化为平面内两条直线的位置关系.通过作出直线EG即可得到直线EF与直线CG是相交的，即可得到结论.（2）平面与平面垂直关键是要转化为直线与平面的垂直，通过研究底面平行四边形的边的大小即可得到BD垂直于BC.即可得到结论.试题解析：（1）直线与平面相交.证明如下：过作交于,由底面是平行四边形得， 相交，故直线与平面相交. （2）解：过B作 四棱锥体积为平面 , 平面考点：1.线面的位置关系.2.面面的位置关系.3.空间想象力.