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1、2018立体几何知识点汇总（1） 高三数学编写意图：立体几何是浙江高考的重点，大约分值占到25分左右，选 择题考察一道三视图问题，一道空间角度比拟问题，解答题放在第二大题, 19题，第一问一般都是考察线面和面面关系的证明，第二问考察线面角和 二面角，难度都不会太大，属于可全拿。1,三视图，一定要在长方体中还原成立体图，假如要不是常规立体图,2,、3,那就要试图分割成规那么的立体图，记住带“椎”的都要乘以三分之O4,棱锥，棱柱，球体，圆台，棱台的外表积和体积公式熟记5,立体几何证明线面平行:就是先找线和线平行。一般都是利用三角形中位线，平行四 边形性质，线线平行的传递。找面内的一条直线和直线平行
2、。要么就 是先证明面和面平行，先后在得出线面平行。面面平行:就是先找面和面平行。找一个面内的直线和另一个面内的两 条相交的直线都平行，通常也是利用三角形中位线和平行四边形性质，线 线平行相互传递求解。线面垂直:就是先找线和线垂直。找直线和平面内两条相交的直线 都垂直，一般利用直线在平面内都投影垂直于面内的直线，注意一些 梯形中隐含的垂直条件。面面垂直:就是先找线和面垂直。然后转化为线和线垂直。18.(此题总分值12分)如图(1),等腰直角三角形ABC的底边工3 = 4，点刀在线段4C (不含C点)上，与 JL工于总，现将/L4D5沿吸折腾必尸Z应的位置(如图(2)(1 )求证：PBLDE ;(
3、2)假设 PE 工 BE , AS = 1.酰在线段阱上找一点刎，使得CM平面?刃，求物/的长；乔二面角D-PC-B的余弦值.19 .如图，在四凝 P-ABCD中，丽ABCD是边长为1的疑，/BAD = 60根!1棱PA_L丽 ABCD ,E、F分别是PA PC的中点.(I )证明：PAII平面FBD ;(II )假设PAE ,在棱PC上是否存在一点M使得二面角E-BD-M的大小为60。.假设存在，求出PM的长，不存 在请说明理由.1& （此题12分）如图，在国锥尸。中，尸。=、回，园。的直径工3=2 ,点C在弧工8上，且/C4B = 3CT少为C的中点.I证明：工CJ_平面产8 ；n求直线0
4、C和平面PAC所成角的正弦值.19.（本小网总分值15分）如图，四棱维尸一/13C0中.底面718co是如 PA，平面/5C0,PA = AD = 2,乙BAD = 60.（1）求证*平面PBD工平面PAC： （2）求点A到平面PBD的距离： （3）求二面角APBD的余弦值.19.（本15分）在四$-488中，工衣8 f AB LAD fSA = AB=2CD = 2 fSB = 2AD = 2y2平面48 _L平面458,5为防的中点.(1 )求证：C8“平面私。;(2 )求证：加,平面以 ;(3 )求直线C下与平面工4c所成角的余弦值.【典型例题】(一)与角有关的问题例1. (1)如图，E
5、、F分别为三棱锥PABC的棱AP、BC的中点，PC=10, AB = 6, EF=7,那么异 面直线AB与PC所成的角为()A. 60B.45C. 30D. 120解：取AC中点G,连结EG、FG,那么EG /-PC, FG /7-AB=2=2J ZEGF为AB与PC所成的角 在AEGF中，由余弦定理，,EG2 +FG2 -EF2 52 + 32 -721cos Z EGF = 2 EGFG 2x5x32AB与PC所成的角为180。-120 =60选A(2)正四棱锥以棱长为1的正方体的某个面为底面，且与该正方体有相同的全面积，那么这一正 四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为()V13 口V26
6、15. C.U. 136326设正四棱锥的高为h,斜高为H=jh2+1? 解：VJ/7TAh2 + + I2 = 6 x I27.h2 =6.h2 =6V262.348。=些=/=近PB 叵 132(3)如图，在正方体ABCD-A|BGD中，P为AQ】上的一个定点，Q为A31上的任意一点，E、F为CD上任意两点，且EF的长为定值，有以下命题：点P到平面QEF的距离为定值；直线PQ与平面PEF所成的角为定值；二面角PEFQ的大小为定值；三棱锥PQEF的体积为定值其中正确命题的序号是 oAiB解：平面QEF即是平面ABCD上定点P到面A|B|CD的距离为定值对，错二面角PEFQ,即面PDF与面AB
7、QD所成的角，且平面角NPDA1为定 值，对因为A|B/DC,且EF为定值，Soef为定值又P点到平面QEF的距离为定值，.Vp_QEF为定值，；.对综上，正确。例2.图是一个正方体的外表展开图，MN和PQ是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN, PQ画出来，并就这个正方体解答以下各题：（1）求MN和PQ所成角的大小；（2）求四面体MNPQ的体积与正方体的体积之比；（3）求二面角MNQP的大小。图解：（1）如图，作出MN、PQ图PQNC,又MNC为正三角形NMNC = 60。PQ与MN成角为60。 MQ(2)Vm_npq = Vq_pmn=|sapmn=T 2sapmn MQ = S P
8、MDN e MQ 66=_ v .6 Y正方体即四面体MNPQ的体积与正方体的体积之比为1： 6 (3)连结MA交PQ于O点，那么MOJ_PQXNPlffi PAQM, ANP1MO,那么 MO_L面 PNQ 过 O 作 OE_LNQ,连结 ME,那么 ME，NQ /. ZMEO为二面角MNQP的平面角 在 RtANMQ 中，ME NQ=MN MQ 设正方体的棱长为aV2-a a 46r V2ME = 尸= a,又MO =aJ3a 325a在RtAMEO中，sin ZMEO =独 =ME V6 2a 3A ZMEO-60即二面角MNQP的大小为60。例3.如图，四棱锥PABCD, PB1AD,
9、侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱 形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120。(1)求点P到平面ABCD的距离；(2)求面APB与面CPB所成二面角的大小。解：(1)作POJL平面ABCD,垂足为O,连结OB、OA、OD, OB与AD交于点E,连结PEpFVAD1PB, A AD OB (根据)VPA=PD, AOA=OD于是OB平分AD,点E为AD中点A PE AD ZPEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角AZPEB = 120 , ZPEO = 60又PE = ,PO = PEsin60。= VJ 亘二 22即为P点到面ABCD的距离。(2)由ABCD为菱形
10、，及4PAD为边长为2的正三角形PA=AB = 2,又易证PBJ_BC故取PB中点G, PC中点F那么 AGJ_PB, GFBC又 BCJ_PB, GFJ_PBZAGF为面APB与面CPB所成的平面角 GFBCAD, AZAGF= n -ZGAE连结GE,易证AEL平面POB又PE = BE = JJ, G为PB中点/. ZPEG = - ZPEB = 602AGE = PE cos 60 = x = J22在 RtAAGE 中，AE = -AD = 12Z. tan ZGAE =些=正 AE 2ZGAE = arctan 2A ZAGF-arctanV3所以所求二面角的大小为兀-arctan
11、?x轴平行于DA(2)解法2：如图建立直角坐标系，其中0为坐标原点,P(0, 0,B(0,手P(0, 0,B(0,手0)PB的中点G的坐标为(0,3V34又A (1,亘，0) ， C ( -2,0)22由此得到61=(1,亘，,病=(0, 史， 4422,BC= (-2, 0, 0)于是GA PB = 0, BC PB = 0,：.GA PB , BCPB ) GA、BC的夹角。为所求二面角的平面角2V772V77f f于是COS0 =GA BCIGAI |BC|所求二面角大小为兀-arccos2V77(二)与距离有关的问题例4. (1)在AABC中，AB = 9, AC=15, ZBAC=1
12、20 ,它所在平面外一点P到AABC三个顶点的距离都是14,那么点P到平面ABC的距离是()A. 13 B. 11C.9D. 7解：设点P在AABC所在平面上的射影为OACVPA=PB=PC, AO 为AABC 的外心ABC 中，AB = 9, AC = 15, ZBAC=120ABC= V92 +152 - 2x9xl5xcosl20 = 21由，一二 2R, ：.R = =sin A八 J32 x2PO = W 一(7行=7(2)在直三棱柱ABC ABG中，AB = BC = VI, BB =2, NABC =90, E、F分别为AAGB1的中点，沿棱柱的外表从E到F两点的最短路径的长度为
13、 OB解：（采用展开图的方法）将平面B|BCC|沿B|B旋转使两矩形AABB1与B|BCC|在同一平面内连接EF,那么EF为所求的最短路径ClClA B C图Bj F Ci1BiV22F如图展开，EF =如图展开，EF =比拟这三种方式展开，可见沿外表从E到F的最短路径长度为VI o2点评：此类试题，求沿外表运动最短路径，应展开外表为同一平面内，那么线段最短。 应比拟其各种不同展开形式中的不同的路径，取其最小的一个。（3）在北纬45。圈上有甲、乙两地，它们的经度分别是东经140。与西经130。，那么甲、乙两地的球面距离是（）但必须注意的是,设地球半径为R,A. 7tR B. TtR24解:解:
14、由题意 NAO|B = 360-(140+130) = 90 （Oi为小圆圆心）又由题意OA=OB =112那么AOAB中，AB = RAOB为正三角形（O为球心）6,点到面的距离点到面的垂线段的距离，用等体积法求解，更为容易，有线面垂直 的椎体，更容易求点到面的距离。7,线面角做面的垂线，找出直角三角形的一条边8,二面角找出二个面的公共边长，在公共边长任意一点引出垂直于公共边长 的直线。jr，ZAOB =3，A、B两点球面距离为二R3选D例5.如图，四棱锥PABCD,底面ABCD是矩形，PA，平面ABCD, E、F分别是AB、PD中点。 (1)求证：AF平面PEC；(2)假设AD = 2,
15、CD = 2V2 ,二面角PCDB为45 ,求点F到平而PEC距离。解：G为PC中点，连结FG、EG又F为PD中点AFG /-CD9 又AE /-CD =2= 2，FG AE四边形AEGF为平行四边形AFEG,又EG u 面PEC, AFz 面PECAF平面PEC(2) VCDAD, XPAlffi ABCDAAD为PD在面ABCD上射影ACDPDZPDA为二面角PCDB的平面角，且NPDA=45那么4PAD为等腰直角三角形AAF1PD,又 CD_L平面 PADACDAFAAFlffi PCD作 FHJ_PC 于 H,那么 AFJLFH又 EGAF, AEG1FH，FH，面PEC, AFH为F
16、到面PEC的距离在 RtAPEG 中，FH PG=PF FG.FH=产=1J厅+厅方法2：(体积法)TAF面PEC,故只要求点A到面PEC的距离d 由 Va-pec = Vp_AEc 即 77 apec，d = _ SAAEC , PA 易证AF_L面PCD, EG_L面PCDA EG PC Q2= -PC EG = -j22 +2 +22 X V2 =272AAEC=AE xBC = -xV2x2 = V2* *0APEC PA VIx2 APEC（三）对命题条件的探索例6. （1）如图矩形ABCD中，AB = 3, BC = a,假设PAJ_平面ABCD,在BC边上取点E,使PEDE,那么
17、满足条件E点有两个时，a的取值范围是（）PB a E CA. a 6C. 0 a 6D. 0 a 2AB=6，选A（2）如图，在三棱柱ABCABC中，点E、F、H、K分别为AC、CB AB、BC的中点，G为4ABC的重心，从K、H、G、B，中取一点作为P,使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，那么P为（）A. K B.HA. K B.HC.G分析：从题目中的“中点”条件，联想到“中位线”。而平面PEF中，EF为定直线，连BC那么F为BC中点故AACB中，EFABn AB平面PEF, A，B，平面PEF考虑到假设P为K点，那么还有AA BB CC都平行于FK即它们也都平行于平面PEF,不合题意。
18、同理P也不能为H点，假设P为B点时,EF与BA共面也不符合题意（这时只有一条棱平行于平面PEF）, 可见只能取G点。应选C例7.如图，是棱长为1的正方体ABCD-A|B|GD（1）线段A上是否存在一点P使得A|BJ_平面PAC ?假设存在，确定P的位置；假设不存在 说明理由。（2）点P在线段A上，假设二面角CAPB的大小是arctan2,求P点位置；(3)Q点在对角线BQ上，使A平面QAC,求BQQDAiDiBC解：（1）（用反证法）假设BA1，面PAC,那么A|B_LACAGAC,易知A与AQi成60即A】B与AC成60角，与AB_LAC矛盾AB不垂直于平面PAC工不存在点P满足题目条件（2
19、）过 B 作 BH_LAP 于 H,连 CH由于CBJ_面ABBA,故CH_LAP即NBHC是二面角CAPB的平面角，tan ZBHC =2BH即任=2BH即在RtABHA中，叫=, AB 2，NBAH=30/ A ACC I, PBABT7 AC 1在AABP中，=,又AB = 1sin 30 sin 1052+ V22(3)由于ABDC,，AB面D|AC点Q是直线BQ与面D|AC的交点下面求Q点的位置。设ACnBD = O,显然AQOD s aqD|B|B。二 BQ1QD- DO=2AiDiBC(四)对命题结论的探索例8. （1）正方体ABCD-A|B|GD中，点P在侧面BCCB1及其边界
20、上运动,并且总保持APLBDi，那么动点P的轨迹是（）A.线段BQB.线段BQC. BB1中点与CG中点连成的线段D. BC中点与BQ中点连成的线段Di CiDi CiA B分析：从条件APJ_BDi出发，可知AP必在过A点且与BDi垂直的平面BAC上点P必在BiC上选A（2）如图，斜三棱柱ABCAiBiCi中，ZBAC = 90 , BCiAC,那么Ci在底面ABC上的射影H必在（）B.直线BC上D. AABC内部A.直线AB上C.直线CA上解：连结ACiVAC1AB, X ACIBCiAAClffi ABCi又ACu面ABC,，面ABC上面ABG且AB为交线那么C在面ABC上的射影必在交线
21、AB上 ，选A例 9.在四面体 ABCD 中，ABBC, ABBD, BCCD,且 AB = BC=1。（1）求证：平面CBD,平面ABD；（2）是否存在这样的四面体，使二面角CADB的平面角为30 ?如果存在，求出CD的长；如 果不存在，请找出一个角0 ,使得存在这样的四面体，使二面角CADB的平面角为0。ACD解： VAB1BC, ABBD，AB，平面BCD,又AB u 面ABD面ABD上而CBD(2)设CD = x,在面CBD内作CEJ_BD于E由(1)知平面ABD上而BCD,且BD为交线CE_L平面ABD作 EFLAD 于 F,连结 CF,那么 CF_LADNCFE为“二面角” CAD
22、B的平面角，且NCFE = 30。又在 RtABCD 中，CE BD=CB CDCE =CE =Vx2 + 1 vx2 + 1又TCDLBC,又BC为AC在面BCD上射影 A CD AC那么在 RtAACD 中，CF AD = AC - CD在 D + AEULb /E 口 CE 7x2 +1 Vx2 +21任RtACEF 中，sin ZCFE =-=/=CF ”x 殍席口 2Vx2 + 2解出x2=3,无实数解。故不存在这样的四面体，使二面角CADB的平面角为30又 sin ZCFE =&+21+”。41F，ZCFE e71, V4兀,2故。可以取45。90之间的任意角。点评：此题是一道存在
23、性的探索问题。常常假定结论成立，再判断它与条件是否符合。【模拟试题】一.选择题。LPA、PB、PC是从P引出的三条射线，两两成60 ,那么PC与平面PAB所成角的余弦值是（）1V3V3A. 2B. 2C. 32.在边长为1的菱形ABCD中，ZABC = 60 , 角BACD的余弦值为（）j_2A. 3B. 21V3V3A. 2B. 2C. 32.在边长为1的菱形ABCD中，ZABC = 60 , 角BACD的余弦值为（）j_2A. 3B. 2V6D. 3将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD=1,那么二面2尬V3C. 3D. 23.三棱锥的三条侧棱两两垂直,3.三棱锥的三条侧棱两两垂直,底面上一
24、点到三个侧面的距离分别是2, 3, 6,那么这个点到三棱锥顶点的距离是（）a. VTTa. VTTC. 7D.4.A、B、C是球面上的三点，且AB = 6, BC = 8,AC = 10,球 心O到平面ABC的距离为万,那么球的外表积为（）A. 36kb. 72兀那么球的外表积为（）A. 36kb. 72兀C. 144ti d. 288兀5 . ZXABC边上的高线为AD, BD = a, CD = b ,且avb,将AABC沿AD折成大小为。的二面角Bcos。= 3ADC,假设b ,cos。= 3ADC,假设b ,那么三棱锥ABCD的侧面4ABC是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角
25、形D.形状与a, b的值有关的三角形6 .有一塔形几何体由假设干个正方体构成，构成方式如下图，上层正方体的下底面的四个顶点是下层正 方体上底面各边的中点，最底层正方体的棱长为2,且该塔形的外表积（含最底层正方体的底面积） 超过39,那么该塔中正方体的个数至少是（）A. 4A. 4B.5C. 6二.填空题。D. 77.如图，在三棱锥PABC中，PA = PB = PC = BC,NBAC = 且，那么PA与底面ABC所成角的大小为当四面体的体积最大时，直线8.如图，矩形ABCD中，AB = 4, BC = 3,沿AC把ADAC折起,AD与平面ABG所成角的正弦值是oDC9.如图，正方体ABCD
26、AB|GD棱长为1, M、N分别为BCDC中点，那么点c到截面MNDB的距离是Di N C1AB三.解答题。10 .如图，正三角形ABC的边长为3,过其中心G作BC边的平行线，分别交AB、AC于Ci ,将 AABG沿BG折起到AABG的位置，使点A】在平面BB|C上的射影恰是线段阮的中点m,求:(1)二面角abc-m的大小；(2)异面直线Afi与CG所成角的余弦值。AiAiACB11 .如图，正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB = JI, AF=1, M是线段EF的中点。(1)求证：AM平面BDE；(2)求二面角ADFB的大小；(3)试在线段AC上确定一点P,使得PF与BC所
27、成的角是60。（一）平行与垂直关系的论证由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系; 高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。1 .线线、线面、面面平行关系的转化:allyallyP Uy= a /?评面平行性质公理4 ) (a/bfb/c =a / /c)2 .线线、线面、面面垂直关系的转化:【试题答案】一.选择题。1 .C2. A3.C4.C5.C6.C提示：假设有n个正方体构成，其外表积由二局部组成： (1)俯视图、外表只有一个正方形，其边长为2。(2)侧面那么由4n个正方形构成，且各层(从下往上看)正方形面积构成一个
28、首项为4,公比为, 的等比数列。=4 + 4 + 414 + 4 化)+4 仕；+4(1广39外表积L 一=8 + 4 - 3912An的最小值为6二.填空题。717. 371ZBAC =提示：由题意，P点在面ABC上的射影H是aABC外心，2 ,.H为BC中点)48. 529. 3J-Q h = S c C提示:x 1 x 1 x 12 r o AMBD q ABCD 即33Q 11 _，BCD _ _ 11 Lmbd i2三.解答题。10. (1)连结 AM,AQAi.ABC为正三角形，M为BC边中点A、G、M 三点共线,AMBCVBjCBC,于GgpA1GB1C1.NA|GM是二面角A1
29、 BC1-M的平面角点Ai在平面BBiCiC上的射影为M.AjMXMG, NAMG = 90在RtAGM 中，由 ag = 2GM得 NAGM = 60。即二面角Ai - BiCi- M的大小是60(2)过Bi作B|PGC交bc于p,那么/AIBP为异面直线AB与CG所成的角由PB|C是平行四边形得：B1P = C1C = 1 = BP, PM = BM-BP = -, AR=ABI=21121 11.AM_LBC, NAMP = 90AjP2 = AM +PM2PfAAA.M=A.G - sin60 = V3 =- 在 RtA%GM 中，ii22在 RtAAMP 中22 +1-2=52 2
30、1 8在AAB|P中，由余弦定理cos /ARP =cos /ARP =A|Bj +Bp -A.P2 2 A1B1 BjP-异面直线A31与CG所成的角为811.解：（1）记AC与BD交于点O,连结0E0、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，四边形AOEM是平行四边形AMOE, OEu平面BDE, AM(Z平面BED，AM 平面 BDE(2) VAB1AF, AB1AD, ADAAF = A二AB，平面 ADF,作 AS_LDF 于 S,连 BS 由三垂线定理，得BS_LDFZBSA是二面角ADFB的平面角= AB = VI在 RtASB 中，3/. tan ZASB = ZASB =
31、60二面角ADFB的大小为60(3)设CP = t ( la三垂线定理、逆定喙PAla,AOPO线线JL在Q内射影aOA = aLPOalPO = alAOa,b u aab = OLLa,/A-b线面垂直判定1 = a a = a-Y面面垂直定义a(3= /,且二面角。一/一,成直二面角=al/33.平行与垂直关系的转化:线面垂直判定2面面平行判定2面面平行性质3之面面线面垂直性质2应用中常用于“反 证法”或“同一法”4 .应用以上“转化”的基本思路一一“由求证想判定，由想性质。”5 .唯一性结论：过直线外一点，有且只有一条直线与己知直线平行, 过空间一点，有且只有一条直线与己知平面垂直 过
32、空间一点，有且只有一个平面与己知直线垂直1. 三(1) 0 w类角的定义：异面直线所成的角9 ：0（2）直线与平面所成的角：0 WOW90。（3）二面角：二面角的平面角。，0 9 180（定义法）（定义法）（三垂线定理法）（垂面法，乩棱？）2.三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”IP：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；（3）指出所求作的角；（4）计算大小。如图，在菱形3中，平面38 ,且四边形工DNM是平行四边形.（I）求证：AC LBN ;（II）当点与在工B的什么位置时，使得加平面肱5c ,并加以证明.19.(此题总分值15分)正方体工友少一451G3中，瓦尸分别是
33、棱工2次的中总求证：(1 )班平面CB。;(2 ) 4CJ_平面CACLB24 .如图，在四棱锥尸中，PCABCD t ABH DC , DC AC.(1 )求证：0c JL平面取C ；(2 )求证：平面凡43_L平面R4c ；(3 )设点与为工B的中点，在棱FB上是否存在点F，使得R4平面CM ?说明理由.16.(此题总分值12分)如图，在四棱锥产-488 中，底面488 是正方形，根!I棱2D，底面工8C。PD = DC = 2 ,总是FC的中点，作班交处于点F.(1 )证明：PAH平面；(2 )证明：尸8_L平面跌23.在如下图的几何体中,少是血7的中点，EF/fDB.(1 )工B =
34、BC , AE = EC，求证：ACSB ;(2 )6笈分别是国7和履的中点，求证：平面工8C.20.(此题总分值8分)如图,在二棱柱ABC- 431cl中，。/分别为工尻BC的中点，点F在侧棱用1上，且_L*D求证:(1 )直线平面4GF ;(2 )与少，平面AC1？.,(本小题总分值10分)如图，在几何体P-ABCD中，平面ABCD，平面PAB，四边形ABCD为矩形1PAB为正三角形，假设AB=2 ,AD = 1 ,E.F分别为AC , BP中点.(I)求证EFII平面PCD ;(1)求直线DP与平面AB CD所成角的正弦值.20.（本小10 分）四瓶P-ABCD 中，丽ABCD台角雕 rADllBC ABBC rAB=AD = l rBC = 2又PBJL平面ABCD,且PB = 1 ,点E在棱PD上，且庭_LPZ).(I )求异面直线PA与CD所成的角的大小；(n )求证:BE JL平面PCD ;(m )求二面角A-PD-B的大小.17.(此题总分值12分)如图，在三棱锥产-工SC中，&4SC是等边三角形，少是工C的中点，PA = PC，二面角产一工C-B的大小为60.(1 )求证：平面产BO _L平面R4c ；(2 )求43与平面PAC所成角的正弦值.