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1、鲁棒限制理论初步鲁棒限制理论初步一、反馈限制系统的基本结构一、反馈限制系统的基本结构做如下变换做如下变换 结构图化成 若不考虑传感器动态时，则 为常数，可选择 ，上结构图就变成单位负反馈的结构。定义：R：参考输入W：外扰动输入（常值或随机信号，对飞行器 为高斯白噪声或有色噪声）V：噪声输入（随机信号、有色噪声）Y:系统输出二、限制系统的性能指标描述(1)系统对常值扰动信号所允许的稳态误差，或 对随机扰动信号的滤波实力或误差(2)对多项式参考输入信号，如斜坡和阶跃信号 所允许的稳态跟踪误差(3)系统动态性能对模型参数变更的灵敏度(4)系统在阶跃参考输入或扰动输入时的动态 性能，如上升时间、超调量
2、、调整时间等(5)闭环系统的稳定性重点要探讨的是（1）和（3）三、例子：滚转速度限制系统飞机志向滚转时，则微分方程模型为：其中，为滚转角速度，是副翼偏角，外扰动（外扰动一般等效为滚转力矩，在此方程中 ，为转动惯量）。飞机滚转模型为：开环限制系统为设Hr=1，并且选择比例限制，则 设：R和 的稳态值分别为R=a，=b 则：的稳态解为 定义：从R到 的传递函数为 开环增益 设：则闭环限制系统其中 为开环传函或称回路传函设：Hr=Hy=1，则回路增益为，而在W的作用下（设R=0，V=0）而在V的作用下（设R=0，W=0）用迭加原理，可得设V的稳态值为c稳态解为 1.结论 a.若在常值扰动作用下，闭环
3、系统的误差比 开环系统小 倍，其中 是s=0时的回路增益 b.若在常值噪声作用下，闭环系统是无法克服 的，并且常值噪声几乎对输出的影响与输入 的影响是相当的 因此：（1）对传感器来说必需增加信噪比 （2）Hy应设计动态环节来抑制噪声计算实例若设 、a=1、b=0.17、开环系统 无扰动时 有扰动时 误差 或闭环系统 无扰动时 有扰动时 误差 或故闭环系统比开环系统的抗干扰实力提高了100倍以上。四、系统增益对参数不确定性的灵敏度1.开环系统：系统增益即开环增益 （s=0的值）参数的不确定性可表达为：飞机飞行时由初始状态A变更为 ,这样开环增益则从 变更为 则 考虑开环增益的相对变更误差定义为
4、且定义 为关于参数A从输入R到输出 的系统增益的灵敏度函数，开环系统的系统增益灵敏度为：2.闭环系统：系统的增益为当 时，为求则考虑到：（）故：（一个好的系统的灵敏度应足够的小）从而闭环系统的系统增益的灵敏度的定义为 与开环系统相比：在反馈子系统中，系统传函的增益（s=0）对受控对象参数的灵敏度是开环系统的 倍。计算实例：闭环系统表明若 变换10%，即 则系统增益 此时 仅取为10而开环系统因此：则 所以闭环系统的灵敏度仅为开环系统的0.0062倍，能极大地抑制参数的不确定性。五、抗噪声问题建立误差方程 则仿照灵敏度的定义定义灵敏度函数补充灵敏度函数则误差方程若设计D(s)，使 ，意味着（1）
5、（2）（1）可以做到（2）不行能，如何解决假定：（1）R和W并不是在全部频率范围内都有很大的 值，即R和W的变更是不一样的，变更的范 围也不同（2）可以设计Hy，使得V经过Hy后在低频段保持 有较小的值，即传感器只在对象变更时有 输出，类似高通滤波器。（3）设计D，使得 在R和W主频范围内很小，也可以使得T在高频范围内的重量很小，这样就可以获得。六、依据灵敏度函数定义的性能指数1.到目前为止，还是通过系统对简洁的阶跃或斜 坡输入信号的瞬态响应来描述系统的动态性能 （如二阶系统）。2.对于实际的输入信号，更为精确的描述是将信 号看成是有确定功率谱密度的随机过程。3.设u(t)是单变量随机过程。一
6、般而言，随机过 程的统计特性（平均值、均方差、相关函数和 频谱函数等）也是随时间变更的，这种过程称 为非平稳随机过程，但非平稳随机过程的处理 方法还没有成熟的方法。目前的应用中，往往 限于探讨平稳随机过程，即该过程的统计特性 不随时间变更，因此功率谱密度只探讨平稳随 机过程的特性。4.平稳随机过程u(t)的统计特性平均值定义为平稳随机过程 u(t)的平均值 或称高斯随机过程u(t)的均方差定义为U(t)的相关函数 在物理意义上，反映了随机过程u(t)在时间坐标轴上的先后相关程度。（1）若 则 （2）为偶函数（3）表明若间隔 无限增大，u(t)失去了先后相关性（4）为u(t)的特征时间 相关函数
7、 的Fourier变换即是相关函数的频谱函数其中：是时间频率，由于 ，则相关函数是频谱函数的Fourie逆变换因此 可见频谱曲线 与 轴范围的面积分就等于u(t)的方差 。而均方差 则表征了随机过程的功率或能量的大小。因此频谱函数 表征了随机过程的功率按频率 的分布。（频率 （）内功率的大小），故称 为功率谱密度。在飞行环境中，一般大气紊流均接受功率谱密度的形式来表示，只是接受空间频率作为自变量，空间频率 和时间频率 之间的变换如下 （为飞行器的速度）两种大气紊流模型 GJB185-86(1)德莱顿模型，解析函数，适合数学仿真(2)冯卡门模型，适合设计两种模型在高频段略有差异 为了简化分析，但
8、又不失一般性，可以认为这些信号是由某特定范围内的正弦信号合成的。比如常常描述的参考输入信号，它是一组具有不同频率的正弦信号的和，而各种频率的正弦信号的幅值|R|可由下图描述从图中可以看出：(1)由正弦信号重量组成的信号，始终到大于 后，幅值才微小可忽视。于是可以这样描 述性能指标：对于任何驱动频率 ，幅值为的正弦信号,系统误差的幅值应小于 。考虑单位反馈系统，则误差的频率响应为 （1）其中，s为灵敏度函数 （2）灵敏度函数也正是 的乃奎斯特图上的曲线 到（-1，0）点距离的倒数，因此 越大，表示 曲线到（-1，0）点的距离越小，曲线 越接近（-1，0）点。依据式（1），频域内的误差指标可表示为
9、 （3）为了使问题规范化，以及不必每次定义幅值R和误差限度 。定义频率的实数方程：则此（3）式可以写为 （4）若 ，则 ，带入(4）得到 （5）这个约束条件可以看作是稳态误差指标的延伸，只不过信号频率由 的一点变成了上述性能指数是动态性能指数的延长而已。七、鲁棒性指标 除了保证系统有良好的动态性能，还应考虑系统的鲁棒性，即在可预期的不确定性因素的影响下，受控对象的传函发生变更时，针对各个传函所做的设计仍是稳定的。为了描述这种不确定性，需首先定义不确定性。不确定性：主要是指对象的不确定性。理由：没有任何一个物理系统可以用精确的 数学模型代表。由于这一缘由，我们 必需了解建模误差对限制系统性能的
10、影响。1.对象的不确定性 不确定对象的建模的基本方法是用一个集合来代表对象模型，这个集合可以是结构化的或者非结构化的。结构化：系统中存在有限个不确定参数非结构化：系统在每个频率下其频率响应位于复 平面的一个集合内 一般来说，非结构化更为重要，因为它可以导出简洁而好用的设计理论。具体来说，考虑这样的不确定问题，即其中：是标称对象的传递函数的频率响应 是由于参数的不确定性或摄动造成 的实际对象模型 是一固定的、稳定的传递函数 是一可变的、稳定的传递函数，且 其中：，称为 的 范数。也代 表了 在Bode图上的峰值，也写为 ，称为 的上确界或 者最小上界。进一步假定在构成 中没有消掉 的任何不稳定的
11、极点，即 和 有相同的不稳定极点。这样的摄动 称为可容许的。由 及 得 与则：的模型的含义是 是偏离1的标准化的 对象摄动，或不确定性只能引起偏离1的标 准化的对象摄动。从而：因 ，则 可见 给出了不确定的范围。这个不等式在复平面描绘了一个圆，在每一个频率 ，都位于以1为圆心，以 为半径的圆内。这种不确定性也称为圆不确定性（或乘积圆状不确定性），是一种非结构性摄动的集合。一般状况下，是 的增函数，不确定性随频率的增加而增加。的主要目的是为了考虑相位不确定性，同时也可作为摄动幅值的尺度因子，在（0，1）内变更。例题：找寻设标准对象 ，实际传函通过将 代到集合 中并运用延迟因子 作为乘积摄动的表征
12、这样对 带入各式后得 在Bode幅频特性上，就可以找到 幅频特性的上确界 ，满足 （1）是稳定的 （2）在 内，是最小上确界 （明显只要 ，即 具有最 大的幅值），所以 可由 时确定，乘积摄动模型，并不适合全部状况，作为圆的不确定性集合，有时是一种太粗糙的近似，在这种状况下，依据乘积不确定性模型设计的限制器相对原有的不确定性模型（非圆）有可能太保守。其它一些不确定性模型的形式，在接受每一种模型时都要对 和 作适当的假设。八、鲁棒稳定性1.引入 范数后的性能指标表达 动态性能指标 ，明显对于 而言，要满足 则上述动态性能指标可写为 2.鲁棒稳定性鲁棒概念可做如下描述：假定对象传递函数属于一个集合
13、M，考察反馈系统的某些特性，如内稳定，给定一个限制器，假如集合M中的每一个对象都能保持这种特性并成立，则称该限制器对此特性是鲁棒的。因此鲁棒有三个因素：（1）限制器 （2）对象集合 （3）考察的特性 对设计来说有两个重要特性要考察 （1）稳定性，也称鲁棒稳定性 （2）动态性能，也称鲁棒性能鲁棒稳定性定义：一个限制器D，假如对集合中的每一个对象都能保证内稳定性，那它就是鲁棒稳定的。定理一：反馈子系统是内稳定的，当且仅当没有闭环极点 定理二：D能保证鲁棒稳定性的充分必要条件是3.鲁棒性能定义：存在一个限制器，使集合M中的每一个对 象都满足内稳定和一种特定的性能。一种特定的性能，一般接受动态性能描述
14、。称标称性能（即 ），而该性能存在的前提是反馈系统应是内稳定的 。若对象G摄动到 ，则灵敏度函数 摄动到 必需是容许的，即 ，明显上述鲁棒条件为 和 将函数 记为定理三：鲁棒性能的充分必要条件是图解上述定理做出b（s）作为输入，a（s）作为输出的传函，此时令R=0则即设 是一对象的，则有 回路最大增益为若要求对全部的 都有 由于 ，则由得出人有了学问，就会具备各种分析实力，明辨是非的实力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富学问，培育逻辑思维实力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培育文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的学问面。有很多书籍还能培育我们的道德情操，给我们巨大的精神力气，鼓舞我们前进。