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1、第四篇 系 统 辨 识概 述 在实际工程问题中，为了设计和分析一个限制系统，或者为了分析一个对象的动态性质，都必需知道系统或对象的数学模型及其参数。在前面探讨线性系统理论、最优限制理论和最优估计理论时，假定系统的数学模型是已知的。明显，对于自动限制系统的设计探讨工作来说，建立对象的数学模型是必不行少的。有的系统的数学模型可用理论分析方法（解析法）推导出来，例如飞行器运动的数学模型，一般可依据力学原理较精确地推导出来。但是，当考虑飞行器运动模型的参数随飞行高度和飞行速度变更时，为了实现对飞行器运动的自适应限制，就要不断估计飞行器在飞行过程中的模型参数。有些限制对象，如化学生产过程，由于其困难性，
2、很难用理论分析方法推导数学模型。只能知道数学模型的一般形式及其部分参数，有时甚至连数学模型的形式也不知道。因此提出怎样确定系统的数学模型及其参数的问题，即所谓的系统辨识问题。既然有的系统很难用理论分析方法推导出数学模型，只有求助于试验方法。通过试验或系统的运行，得到有关系统模型的信息，经过计算处理，可得系统的数学模型。粗略地讲，系统辨识就是通过试验或运行所得数据，估计出限制对象的数学模型及其参数。较精确地说，系统辨识是依据对已知输入量的输出响应的观测，在指定的一类系统范围内，确定一个与被辨识系统等价的系统。系统辨识的大致过程是：选定和预料被辨识系统的数学模型的类型。试验设计：选择试验信号，记录
3、输入和输出数据。假如系统是连续运行的，不允许施加试验信号，则只好利用正常的运行数据来辨识。参数估计：选择估计方法，依据测量数据估计数学模型中的未知参数。模型验证：验证所确定的模型是否恰当地表示了系统。假如所探讨的系统模型合适，则系统辨识到此结束。否则，必需变更系统的模型结构，并且执行到，直到获得一个满足的模型为止。事实上，为了得到辨识系统的数学模型，往往须要把理论分析方法和系统辨识方法有机地结合起来。例如，通过对被辨识系统工作原理和动态过程的初步分析，用解析大致推导或估计出被辨识系统数学模型的结构型式，甚至包括某些参数及其变更范围，然后用系统辨识的方法将未知部辨别识出来。实践证明，这各相互结合
4、的方法，在工程设计中是最行之有效的。被辨识系统的数学模型，可以分成参数和非参数模型两类。参数模型 是由传递函数、微分方程或差分方程表示的数学模型。假如这些模型的阶和系数都是已知的，则数学模型是确定的。接受理论推导的方法得到的数学模型确定是参数模型。建立系统模型的工作，就是在确定的模型结构条件下，确定它的各个参数。因此，系统辨识的任务就是选定一个与实际系统相接近的数学模型，选定模型的阶，然后依据输入和输出数据，用最好的估计方法确定模型中的参数。非参数模型 是脉冲响应函数、阶跃响应函数、频率特性表示的数学模型。在这些数学模型中没有明显的参数。非参数模型可通过试验获得，而参数模型又可从非参数模型得到
5、。例如，可从脉冲响应或频率特性，用最小二乘法拟合的方法，得到传递函数。由于非和模型是通过试验获得的，因此事先不须要对模型结构作任何假定。对任何困难结构的系统都可用非参数模型。为了减小计算量，在选择数学模型时，应使模型的阶尽量低一些，参数尽量少一些。但是，必需保证这个模型能精确地描述系统。对于参数模型的参数估计问题，由于参数估计方法不同，可分为离线辨识和在线辨识两种模式。关于离线辨识，是在系统模型结构和阶数确定的状况下，将全部输入、输出数据记录下来，然后用确定的辨识方法，对数据进行集中处理，得到模型参数的估计。关于在线辨识，它的参数估计也是在系统模型结构和阶数确定的状况下进行的。当获得一批输入、
6、输出记录数据之后，用确定的辨识方法进行处理，得到模型参数的估计值。然后，随着新的输入、输出数据的到来，用递推算法不断修正参数的估值。假如这种递推估值过程进行得很快，那么就有可能获得确定精度的时变系统的参数估值，这种实力称为在线实时辨识。在实现自适应限制的过程中，所进行的参数辨识确定是在线辨识，例如在进行导弹的转弯限制。本篇主要探讨：线性系统的经典辨识方法；最小二乘法辨识；极大似然法辨识。离线辨识和在线辨识各有其特点。离线辨识的参数估计精度高，但要求计算机的储存量大。在线辨识的参数估计精度稍差，计算机的储存量小。第十三章 线性系统的经典辨识方法 线性系统的经典辨识包括频率响应法、阶跃响应法和脉冲
7、响应法。其中用得最多的是脉冲响应法。这是因为脉冲响应简洁获得，只要在系统的输入端输入单位脉冲信号，则在输出端可得脉冲响应的方法不影响系统的正常工作。事实上，用工程的方法产生志向的脉冲函数是难以实现的，所以在辨识中不用脉冲函数作为系统的输入信号，而用一种称之为M序列的伪随机信号作为试验信号，再用相关处理测试结果，可很便利地得到系统的脉冲响应。因此脉冲响应法得到广泛的应用。第一节 脉冲响应的确定方法相关法 伪随机测试信号是六十年头发展起来的一种用于系统辨识的测试信号，这咱信号的抗干扰性能强；为获得同样的信号量，对系统正常运行的干扰程度比其他测试信号低。目前已有用来做这种试验的专用设备。假如系统设备
8、有数字计算机在线工作，伪随机测试信号可用计算机产生。实践证明，这是一种很有效的方法，特殊对过渡过程时间长的系统，优点更为突出。用伪随机测试信号和相关法辨识线性系统时，可获得系统的脉冲响应。本节探讨相关的原理。一个单输入单输出的线性定常系统的动态特性，可用它的脉冲响应函数 描述，如图13-1所示。设系统的输入为 ，输出为 ，则 可用下式表示：设 是均值为零的平稳随机过程，则 也量均值为零和平稳随机过程。(13-1)对于 时刻，系统的输出可写为以 乘上式等号两边，再取数学期望，得到即式中设 ，则 式(13-2)就是著名的维纳霍夫方程。这个方程给出输入 的自相关函数 、输入 与输出 的相互关函数 和
9、脉冲响应函数 之间的关系。假如已知 和 ，便可确定脉冲响应函数 ，这是一个解积分方程的问题。一般说来，这个积分方程是很难的。(13-2)假如输入 是白噪声，则可很简洁求脉冲响应函数 。这时 的自相关函数为依据维纳霍夫方程可得或(13-3)这说明，对于白噪声输入，与 只差一个常数倍。这样，只要记录 与 之值，并计算它们的相互关函数 ，可马上求得脉冲响应函数 。用白噪声辨识系统的模型方块图如图13-2所示。当 是均值为零的白噪声，具有各态历经时间性，观测时间 充分大时，和 的相互关函数可按下式求得：假如对和进行等间隔采样，可得序列 。设采样周期为 ，有(13-4)则 这里，表示两个数值的采样间隔内
10、的周期个数，而前面的连续公式中的 是两个数值的采样时间间隔。假如在系统正常运行时进行测试，设正常输入信号为 ，由 引起的输出为(13-5)(13-6)(13-7)系统的输入由正常输入 和白噪声 两部分组成，输出由和 组成。模拟方块图如图13-3所示。由于 和 不相关，故 与 也不相关，积分器的输出为 。相关法的优点是不要求系统严格地处于稳定状态，输入的白噪声对系统正常工作的影响不大，对系统模型不要求验前学问。相关法的缺点是噪声的非平稳性分影响辨识的精度，以及要求较长的观测时间等。事实上，白噪声只不过是一个数学上的“抽象”，在自然界中严格的白噪声是不存在的，只能产生近似的白噪声。在数字计算机上产
11、生的伪随机二位式序列具有白噪声的特性，是一种近似的白噪声。这种伪随机二位式序列称为M序列。在相关法中用M序列和为测试信号。其次节 伪随机二式序列M序列的产生及其性质一、伪随机噪声一、伪随机噪声 设 是以T为周期的白噪声，即 在 时间内是白噪声，在此时间外仍是以T为周期重复的白噪声。明显，它的自相关函数为 ，其周期也为T。常称这种周期性白噪声 为伪随机噪声。用伪随机噪声输入被辨识的线性系统，自相关函数和相互关函数如下：式中(13-8)上式表明，仅需计算一个周期的积分。若把式(13-2)改写为则则(13-10)(13-9)由上式可知，适当选择T，使脉冲响应函数在 时衰减到零。那么，于是有(13-1
12、1)由此可得结论：若 是以T为周期的白噪声，T大于 衰减到的时间，则可依据式(13-9)求得 ，再代入式(13-3)求得系统的脉冲响应 。二、离散二位式白噪声序列二、离散二位式白噪声序列 由于离散白噪声比连续的白噪声简洁产生，所以在系统辨识试验中常用离散的白噪声序列。设随机序列 ，假如它们的均值为零，方差相同，且互不相关，即则此随机序列称为离散白噪声序列。假如这个序列中的每个随机变量只有1或-1两种状态，则称此随机序列为离散二位式白噪声序列。当序列 充分长时，即N充分大时，离散二位式白噪声序列具有以下三个概率性质：概率性质1：在序列中1出现的次数与-1出现的次数几乎相等。概率性质2：在序列中总
13、的游程个数平均为 个，1的游程与-1的游程大约各占一半。即大约为个 （N为奇数，表示序列的个数）。概率性质3：对于离散二位式无穷随机序列 ，它的相关函数为 若干个1（或若干个-1）的连续排列称为“游程”。一个游程中含有1或-1的个数称为游程长度。例如，一个周期长为15的二位式序列1,1,1,1,-1,-1,-1,1,-1,-1,1,1,-1,1,1-，游程总数为8，其中的游程长度为1的共有四个，占总游程数的1/2，游程长度为2的有两个，占总游程数的1/4，游程长度为3和4的都只有一个，各占总游程数的1/8，其中1与-1的个数分别为8和7，只相关1。概率性质2也可以具体地说成，长度为1的游程个数
14、约占总游程数的1/2，长度为2的游程个数占总游程数的1/4，长度为 的游程个数占总游程个数的 ，等等。三、三、M序列的产生方法序列的产生方法 离散二位式随机序列是依据确定的方式产生的，事实上是一种确定性序列。由于它的概率性质与离散二位白噪声序列的三条概率性质相像，故称为伪随机序列。伪随序列有很多种，下面只介绍M序列。这个电路的四级寄存器为 其中 的状态作模2相加，即10=1，01=1，11=0，00=0，然后反馈到 的输入端，假如全部寄存器初始状态都是1，第一个移位脉冲输入，使四个寄存器的状态变为0111,其次个移位脉冲输入，则寄存器的为0011，一个周期的变更规律为1111（初态)01110
15、0110001100001000010 假如一个四级移位寄存器以 的状态作模2相加，反馈到 的 输入端，如图 13-5所示。设全部寄存器的初始状态为1，则一个周期内四个寄存器的状态变更规律为1111（初态）0111001111001111，共产生六种不同状态。比较上面两种线路可知，由于反馈逻辑运算不同，两者获得的输出序列不相同，前者的周期长度是15，后者的周期长度是6。须要指出，各级寄存器的初始不能全为“0”。四级移位寄存器输出序列的最大周期长度，等于所能出现的各种组合状态（各级都是0的组合状态除外），共有组合状态 15种，也即输出序列的最大周期长度等于15。假如一个移位寄存器的输出序列的周期
16、长度达到最大周期长度，这个序列称为最大长度二位式序列或M序列。假如输出序列的周期比最大周期长度小，就不是M序列。级移寄存器产生的序列的最大周期长度为M序列的相关函数为 上式的证明见下面。当N很大时，M序列的相关函数与离散二位式白噪声序列的相关函数相接近，故可用它作为测试信号。假如线性系统输入连续型白噪声，输入与输出的相互关函脉冲响应函数只差一个常数倍。为了利用这一简洁结论，需将对时间离散的M序列改造成对时间连续的二电平M序列。仍旧由线性反馈移位寄存器产生M序列，若多位寄存器的输出状态是1、电平取 ；若输出状态是0，电平取 。通常取电压作为电平，表示幅值四、二电平M序列 移位脉冲间隔A是不变的，
17、电平确定值 也不变，它在每次脉冲起先时变号或不变号。由于上述M序列中1的数目比0的数目多一个，因此在一个序列周期中电平为 的脉冲数比电平为 的脉冲数多1个，所以在一个周期内，电平为的脉冲数为 ，电平为的脉冲数为 。一个周期序列的数学期望（直流电平）为(13-14)(13-15)下面不加推导地给出二电平M序列的自相关函数如图13-7所示。(13-16)是周期性变更的，周期为 。当 很小时，由图13-7可知，式(13-16)所示的 可以近似看成强度 的脉冲函数和常值 两部分组成，即 由式(13-16)，假如 ，则可得如式(13-13)所示的M序列的自相关函数。(13-17)五、二电平M序列的功率谱
18、密度 对式(13-16)求富氏变换，可得二电平M序列的功率谱密度 为 式中 为狄拉克 函数，为基频。当 时，下降3dB，即 近似地下降3dB。的图形如图13-8所示。从式(13-18)可看出，M序列的功率谱密度与 成正比，与序列长度N成反比，在序列周期 确定条件下，与采样周期 成反比。第三节 用M序列辨识线性系统的脉冲响应利用M序列，由维纳霍夫程可得则(13-19)(13-20)上式中右边其次项不随 而变，记为常值则 因此，假如已经得到了 曲线，如图13-9所示，则将 向上平移 距离，即得到与 成比例的曲线 ，因 为已知量，故可得 曲线。(13-21)(13-22)现在计算 。设线性系统输入
19、为二电平M序列，输出信号 是平稳随机过程，且具有各态历经性。则相互关函数对 、接受阶梯近似，步长为 ，则(13-23)因 为M序列，其值为 ，故令 为正时取 ；为负值时取 ，即式中sign表示符号函数，于是 因此，只要有了 和 曲线，依据式(13-23)和式(13-25)，变更 值，便可求出 曲线。(13-24)(13-25)为了提高 的计算精度，可以多测几个M序列的周期。例如，测试 个周期，则 依据上面的算法，对应于不同的 值，每次只能计算出脉冲响应 的一个离散值，假如须要算N个离散值，则要求计算N次才能获得 的N个离散值。(13-26)(13-27)下面推导计算 的N个离散值的计算公式。由
20、连续的维纳霍夫方程(13-2)可得离散的维纳霍夫方程式中 。为了书写便利，在式(13-28)中，表示，表示，则得(13-28)(13-29)设则依据式(13-29)可得(13-30)(13-31)因此 通常，求逆矩阵很麻烦，但是对M序列来说，计算 比较简洁。由于 值为 依据式(13-16)得二电平M序列的相关函数为(13-32)(13-33)因此式(13-30)中的 矩阵为这个一个N阶方阵，其逆矩阵为(13-34)(13-35)把式(13-35)代入式(13-32)得由式(13-26)，可用下式表示：(13-36)即(13-37)式中 。参照上式，可写成下面形式：(13-38)式中于是，由式(
21、13-36)可得 用M序列做试验时，利用式(13-39)在计算机上离线计算，一次可求系统脉冲响应的N个离散值 。这种算法的缺点是数据的存储量大。为了减小数据的存储量，可接受递推算法。下面介绍递推算法。(13-39)设进行了 次观测，。由 次观测值得到的 用来表示，则(13-40)上式为相互关函数的递推公式。可依据过去的数据求得 及新的观测数据 及 ，按式(13-40)递推地算出 。由式(13-36)得考虑到式(13-40)，得到脉冲响应的递推公式即(13-41)按递推公式(13-41)进行计算，可从 及新的观测数据得到 。所以，利用式(13-41)可对脉冲响 应进行在线辨识。随着观测数据的增加
22、，的精度不断增加。最终，应用前面的分析结果，归纳出用M序列辨识线性系统脉冲响应的步骤。二电平M序列是线性反馈移位寄存器的输出，可从计算机干脆获得，也可以事先将M序列存入限制计算机，试验时逐步给出。M序列的一些参数，如和必需事先选定。这是试验前应做的准备工作。具体步骤如下：估计系统过渡过程时间 和最高工作频率 （或截止频率），使M序列的有效频带覆盖辨识系统的重要工作频区，应满足 选择M序列的参数 。一般选取 ，则(13-42)(13-43)假如选得太大，则由图13-7可见，的三角形底部太宽，M序列与周期白噪声的自相关函数相差悬殊；如 选得太小，当值受到信噪比或线性范围的限制，T确定时，则由式(1
23、3-18)可知，的幅值太小。若系统频带较宽，则M序列在主要频区内有效功率下降。在可能的状况下，适当加大a，可进一步削减 ，以提高M序列的有效频带宽度。通常基本电平的幅值 的大小，可以依据被辨识系统的线性范围和允许的信噪比来确定。若取得大一些，抗干扰性能增加一些，但 选得过大，会造成系统的非线性失真。例13-1 设被辨识系统的 ，试求M序列的 和N值。解 由式(13-42)和式(13-43)取 应当指出，对于那些 较小的被辨识系统（如飞行器），若按上述方法选择 和N值，可能N值太小。假如选 ，由式(13-43)在这种状况下，可以提高N值，若选 ，M序列的一个周期为 。例如，被辨识系统的 ，由式(
24、13-42)可得 另外，考虑到数字计算机的采样速率比较高，数字计算机的步长 可能会小于M序列的步长 ，这时可令 式中 ，取正整数。对于动态响应比较快的被辨识系统，适当提高N值，取 ，在计算相互关函数时，可以得到更多的被辨识系统输出信号的采样值，从而更充分地反映输出响应的基本特征，提高辨识精度。用电子计算机产生M序列或者把储存在限制机内存的M序列逐步输出。计算相互关函数 。由 求系统的脉冲响应函数 。接受M序列辨识系统的优点是：第一，试验可以在正常工作状态下完成，不须要断开系统；其次，测量时可以避开其他噪声的影响。第四节 由脉冲响应求传递函数一、连续系统传递函数一、连续系统传递函数 任何一个单输
25、入单输出系统都可用差分方程表示。假如系统输入为 函数，则输出为脉冲响应函数 。因 函数只作用于 时刻，而在其它时刻系统的输入为零。系统从 时刻起有响应。若采样间隔为 ，设系统用下列 阶差分方程来表示：式中 为待定的个常数。(13-44)依据式(13-44)，时间依次延迟 ，可写出 个方程：联立求解上述 个方程，可得差分方程的 个系数 。任何一个线性定常系统，若其传递函数 的特征方程的根为 ，则其传递函数可用下列分式表示：设 为待求的系统传递函数，其中 和 为待求的 个未知数。求式(13-45)的拉氏反变换，可得脉冲响应函数：就是说，线性系统的脉冲响应函数可用一组指数函数 的线性组合来表示。(1
26、3-45)(13-46)下面写出时刻 的脉冲响应函数：将式(13-44)中的 换成 ，并将式(13-46)和式(13-47)代入其中，得(13-47)(13-48)要使上式成立，应令各方括弧内之值为零，即令 ，则 个方括号可用一个式子表示，即设则有(13-49)(13-51)(13-50)(13-52)下面求 。依据式(13-46)、式(13-47)和式(13-51)可得解上述方程组可得 。把求得的 和 代入式(13-45)，便得所求的系统传递函数 。例13-2 设原系统具有三阶传递函数：其脉冲响应为 。设采样间隔 的前4个值如下所示：0.0 1.0 2.0 3.00.0 0.1924 0.2
27、122 0.1762相应的联立方程为 解之得 按式(13-50)得 解之得 则系统极点为 因此脉冲响应为 令 和1，得 解之得 因而所求的传递函数为所求得的传递函数与真实传递函数特别接近。二、离散系统的脉冲传递函数设系统脉冲传递函数为依据脉冲传递函数的定义可得式中 为采样间隔。因而有(13-54)将式(13-54)左边的分母的多项式人分别乘其等号的两边得 令上式等号两边 同次项的系数相等，当 的次数从0至 ，可得下列矩阵方程：当 的次数从 至 ，可得(13-55)(13-56)上式左边由 组成的 方阵为Hankel矩阵，其秩为 ，所以方程(13-56)有解。可求得脉冲传递函数中分母的各未知数
28、。把求得的 代入式(13-55)，可求得脉冲传递函数分子中的各未知系数 。从而得到脉冲传递函数 。已知离散系统的传递函数脉冲传递函数 ，可利用采样系统理论中有关 变换方法，设 ，代入 表达式，经过换算也可求得连续系统的传递函数 。例13-3 若已知线性系统为三阶，即结构参数 ，设采样间隔 为0.05s，系统的脉冲响应的采样值 为00.050.100.150.200.250.30012345607.1570399.4910778.5638895.9305062.8459720.144611试求系统的传递函数 和 。解 设脉冲传递函数的形式为将 至 的数值代入式(13-56)，得解上式后得 把上述的 至 及 代入式(13-55)，解得 ，。于是脉冲传递函数 为 的三个特征值为对应于 的特征值，由 可干脆解出利用 变换求出