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1、离散系统状态空间法一、离散系统的状态空间描述完全离散的系统，其输入量、中间传递的信号、输出完全离散的系统，其输入量、中间传递的信号、输出量等都是离散信息；量等都是离散信息；局部离散的系统，其输入量、受控对象所传送的信号、局部离散的系统，其输入量、受控对象所传送的信号、输出量等都是连续信息。唯有系统中的计算机传送处输出量等都是连续信息。唯有系统中的计算机传送处理离散信号，这时，连续部分在采样点上的数据才是理离散信号，这时，连续部分在采样点上的数据才是有用信息，故需将连续部分别散化；有用信息，故需将连续部分别散化；为探讨便利，不论完全或局部的离散系统，均假定采为探讨便利，不论完全或局部的离散系统，
2、均假定采样是等间隔的；在采样间隔内，其变量均保持常值样是等间隔的；在采样间隔内，其变量均保持常值一、离散系统的状态空间描述经典限制理论中，线性离散系统的动力学方经典限制理论中，线性离散系统的动力学方程是用标量差分方程或脉冲传递函数来描述程是用标量差分方程或脉冲传递函数来描述的。线性定常离散系统差分方程一般形式为的。线性定常离散系统差分方程一般形式为式中式中 表示表示 时刻，时刻，为采样周期；为采样周期；为为 时刻的输出量，时刻的输出量，为时刻为时刻 的输入量；的输入量；是与系统特性有关的常系数。是与系统特性有关的常系数。一、离散系统的状态空间描述初始条件为零时，离散函数的初始条件为零时，离散函
3、数的z z变换关系为变换关系为对式对式(1)(1)进行进行z z变换，整理为变换，整理为 G(z)G(z)称为脉冲传递函数称为脉冲传递函数一、离散系统的状态空间描述G(Z)称为脉冲传递函数。显见G(z)与在形式上是相同的，故连续系统动态方程的建在形式上是相同的，故连续系统动态方程的建立方法，对离散系统是同样适用的立方法，对离散系统是同样适用的引入中间变量引入中间变量Q(z)Q(z)，则有，则有一、离散系统的状态空间描述定义如下一组状态变量：定义如下一组状态变量：于是于是一、离散系统的状态空间描述利用利用z z反变换关系反变换关系可得可得一、离散系统的状态空间描述其矢量其矢量-矩阵形式为矩阵形式
4、为一、离散系统的状态空间描述简记为简记为式中式中G G为系统矩阵，为系统矩阵，h h、G G是能控标准形。由是能控标准形。由此可见此可见 离散系统状态方程描述了离散系统状态方程描述了(k+1)T(k+1)T时刻的状态与时刻的状态与 kTkT时刻的状态、输入量之间的关系；时刻的状态、输入量之间的关系；离散系统输出方程描述了离散系统输出方程描述了 kTkT时刻的输出量与时刻的输出量与 时刻的状态、输入量之间的关时刻的状态、输入量之间的关进一步可推广到进一步可推广到MIMOMIMO系统（系统（G,H,C,DG,H,C,D）1010例例 离散系统的差分方程为离散系统的差分方程为试写出该离散系统的一个状
5、态空间描述试写出该离散系统的一个状态空间描述 。解解解解 由差分方程写出相应的脉冲传递函数由差分方程写出相应的脉冲传递函数 ：于是干脆写出它的一个状态空间描述（标准于是干脆写出它的一个状态空间描述（标准I I型）为型）为这里这里 ，二、连续系统的时间离散化1、离散化的必要性计算机所须要的输入和输出信号是数字式的，时间上是离散的；当采样周期极短时，离散系统可近似地用连续系统特性来描述2、离散化方法：(采样器+保持器)二、连续系统的时间离散化零阶保持器：零阶保持器：将离散信号将离散信号r*(t)转为阶梯信号转为阶梯信号u(t)采样器：采样器：将连续信号将连续信号r(t)调制成离散信号调制成离散信号
6、r*(t)。二、连续系统的时间离散化3、三点基本假设离散方式是一般的周期性采样采样是等间隔进行的，采样周期为T；采样脉冲宽度远小于采样周期，因而忽视不 计；在采样间隔内函数值为零值采样周期T的选择满足香农采样定理离散函数可以完满地复原为连续函数的条件为 或 ，其中 为采样频率，为连续函数频谱的上限频率保持器为零阶保持器二、连续系统的时间离散化4、连续时间系统的离散化模型离散化模型为离散化模型为：其中：其中：线性定常系统：线性定常系统：二、连续系统的时间离散化4、连续时间系统的离散化模型推导过程：干脆从定常系统非齐次状态方程的解中进行离散化推导过程：干脆从定常系统非齐次状态方程的解中进行离散化设
7、设 代入上式中得到：代入上式中得到：二、连续系统的时间离散化4、连续时间系统的离散化模型于是可得于是可得1717例例例例：请建立下列连续时间系统当采样周期为请建立下列连续时间系统当采样周期为T时的离散化模型。时的离散化模型。解解解解：先求连续系统的状态转移矩阵先求连续系统的状态转移矩阵：所以：所以：二、连续系统的时间离散化5、近似离散化模型离散化方程的近似形式为：用差商代替微商其中：G(T)、H(T)、C、D为常矩阵：推导过程：仿导数定义，即用三、线性离散系统的运动分析1、递推法(迭代法)适合于线性定常和时变系统适合于线性定常和时变系统给定给定k=0k=0时的初始状态时的初始状态x(0)x(0
8、)及随意时刻及随意时刻 u(k)u(k)，由迭代，由迭代法法三、线性离散系统的运动分析1、递推法(迭代法)解的表达式的状态轨迹是状态空间中一条离散轨迹线。与连续系统状态的解相像。解的第一部分只与系统的初始状态有关，是由起始状态引起的自由运动重量。其次部分是由输入的各次采样信号引起的强迫重量，其值与限制作用u的大小、性质及系统结构有关在输入引起的响应中，第k个时刻的状态只取决于全部此刻前的输入采样值，与第k个时刻的输入采样值无关三、线性离散系统的运动分析1、递推法(迭代法)与连续时间系统比照，在离散时间系统中 状态转移矩阵定义为 ，有利用状态转移矩阵，解可写成：利用状态转移矩阵，解可写成：三、线
9、性离散系统的运动分析2、Z变换法离散系统的状态方程：离散系统的状态方程：对上式两边进行对上式两边进行Z Z变换：变换：对上式两边进行对上式两边进行Z Z反变换反变换三、线性离散系统的运动分析2、Z变换法比较递推法和比较递推法和Z Z变换法，由解的唯一性变换法，由解的唯一性2424求该离散系统在单位阶跃输入下状态方程的解。求该离散系统在单位阶跃输入下状态方程的解。例例例例 ：式中：式中：给定初始状态为：给定初始状态为：已知定常离散时间系统的状态方程为已知定常离散时间系统的状态方程为 解解解解：1）迭代法）迭代法由于输入为单位阶跃函数，所以：由于输入为单位阶跃函数，所以：2525由于输入为单位阶跃
10、函数，所以有：由于输入为单位阶跃函数，所以有：2 2）Z Z变换法变换法x(k)的的Z变换为：变换为：将将G、H、U(z)、x(0)代入代入x(k)的的Z变换式有变换式有:2626整理得：整理得：上式上式Z反变换有：反变换有：四、离散系统的能控性和能观测性1、离散系统的能控性对于n阶线性定常离散系统若存在限制序列u(0),u(1),u(l-1)(ln)能将某个初始状态x(0)=x0在第l步上到达零态，即x(l)0，则称此状态是完全能控的。假如系统的全部状态都是能控的，则称系统是状态能控的四、离散系统的能控性和能观测性1、离散系统的能控性离散系统的能控性判据：线性定常离散系统离散系统的能控性判据
11、：线性定常离散系统状态完全能控的充分必要条件是其能控性判状态完全能控的充分必要条件是其能控性判别矩阵别矩阵满秩满秩即：即：四、离散系统的能控性和能观测性2、离散系统的能观测性对于n阶线性定常离散系统假如依据有限个采样周期内测量的y(0)，y(1)，y(l)，可以唯一地确定出系统的随意初始状态x0，则称x0为能观测状态。假如系统的全部状态都是能观测的，则称系统是状态能观测的四、离散系统的能控性和能观测性2、离散系统的能观测性离散系统的能观测性判据：线性定常离散系离散系统的能观测性判据：线性定常离散系统状态完全能观测的充分必要条件是其能观统状态完全能观测的充分必要条件是其能观测性判别矩阵测性判别矩
12、阵满秩满秩即：即：四、离散系统的能控性和能观测性3、采样周期对离散化系统能控性和能观测性的影响思索：对于线性连续定常系统，离散化后其状态能控性和能观测性是否发生变更3232 例例例例：已知连续系统：已知连续系统：是状态完全能控且能观测的。请写出其离散化方程，并确定使相是状态完全能控且能观测的。请写出其离散化方程，并确定使相应的离散化系统能控且能观测的采样周期应的离散化系统能控且能观测的采样周期T的范围。的范围。解解解解：先求连续系统的状态转移矩阵：先求连续系统的状态转移矩阵：所以：所以：要使系统状态能控，则能控判别阵的行列式非零，即：要使系统状态能控，则能控判别阵的行列式非零，即：要使系统状态
13、能观测，则能观测判别阵的行列式非零，即：要使系统状态能观测，则能观测判别阵的行列式非零，即：联立上联立上2式可知，要使离散化后系统能控且能观测，式可知，要使离散化后系统能控且能观测，T必需满足：必需满足：四、离散系统的能控性和能观测性3、采样周期对离散化系统能控性和能观测性的影响对于线性连续定常系统假如是不能控和不能观测的，则其离散化后的系统也必是不能控和不能观测的对于线性连续定常系统假如是能控和能观测的，则其离散化后的系统不确定是能控和能观测的离散化后的系统能否保持能控和能观测性，取决于采样周期T的选择五、线性定常离散系统稳定性分析仿线性连续系统，先给出正定对称矩阵仿线性连续系统，先给出正定
14、对称矩阵Q Q，从以下方程中解出，从以下方程中解出实对称阵实对称阵P P，然后验证，然后验证P P是否正定，是则系统是李氏渐近稳定的。是否正定，是则系统是李氏渐近稳定的。五、线性定常离散系统稳定性分析线性定常离散系统的状态方程为线性定常离散系统的状态方程为则系统在平衡点则系统在平衡点Xe=0Xe=0处渐近稳定的充要条件处渐近稳定的充要条件是：对于随意给定的对称正定矩阵是：对于随意给定的对称正定矩阵Q Q，都存，都存在对称正定矩阵在对称正定矩阵P P，使得，使得且系统的李雅普诺夫函数是且系统的李雅普诺夫函数是3737试用李氏其次法确定系统在平衡点试用李氏其次法确定系统在平衡点 为渐近稳定的为渐近稳定的k值范围。值范围。依据依据 得：得：解解解解：取：取：例例例例：已知线性离散时间系统状态方程为：已知线性离散时间系统状态方程为：其中：其中：3838依据赛尔维斯特法则：假如依据赛尔维斯特法则：假如P正定，则正定，则 ，即：，即：k2，所以系统渐近稳定的，所以系统渐近稳定的k值范围为值范围为0k2解得：解得：