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1、圆的方程小结复习湖南祁东育贤中学 周友良 湖南祁东一中 曾令军 1、圆的方程.（1）曲线与方程在直角坐标系中，如果某曲线上的 与一个二元方程的实数建立了如下关系：曲线上的点的坐标都是这个方程的解.以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点其坐标与方程的一种关系，曲线上任一点是方程的解；反过来，满足方程的解所对应的点是曲线上的点.注：如果曲线C的方程是f(x ,y)=0，那么点P0(x0 ,y)线C上的充要条件是f(x0 ,y0)=0 （2）圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是.几种特殊圆的
2、方程：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.与轴相切的圆方程 与轴相切的圆方程 与轴轴都相切的圆方程 （3） 圆的一般方程：给出方程：当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.当时，方程表示一个点.当时，方程无图形（称虚圆）.注：方程表示圆的充要条件是：且且.圆的直径或方程：已知（用向量可征）.（4）圆的参数方程：（为参数，几何意义是圆的圆心角）.（5）圆的切线方程圆的斜率为的切线方程是；过圆上一点的切线方程为：.若点(x0 ,y0)在圆上，则圆的切线方程为(x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特别地，过圆上一点的切线方程为.若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则，联立
3、求出k值，即可求出切线方程。（6）切点弦方程如图ABCD四点共圆，已知的方程 又以ABCD为圆为方程为 ，所以切点弦BC的方程即代入，相切即为所求切点弦AB方程（7） 点和圆的位置关系给定点及圆.在圆内；在圆上；在圆外。2、直线和圆的位置关系（1）利用几何特征判断 设圆：； 直线：； 圆心到直线的距离.时，与相切；若两圆相切，则相减为公切线方程.时，与相交；设有两个交点，则其公共弦方程为：.时，与相离. 若两圆相离，将相减，即为圆心的连线的中垂线方程.（2）代数特征判断方程组消去（或），整理得到关于（或）的一元二次方程，设其判别式为，于是有：与相切；与相交；与相离.例1.已知直线ax+by+c
4、=0（abc0）与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形（ ）A.是锐角三角形 B.是直角三角形 C.是钝角三角形 D.不存在答案：B解析：圆心坐标为（0，0），半径为1.因为直线和圆相切.利用点到直线距离公式得：d=1，即a2+b2=c2.所以，以|a|，|b|，|c|为边的三角形是直角三角形.评述：要求利用直线与圆的基本知识，迅速找到a、b、c之间的关系，以确定三角形形状.例2.若经过两点A（1，0）、B（0，2）的直线l与圆（x1）2+（ya）2=1相切，则a=_.答案：a=4解析：因过A（1，0）、B（0，2）的直线方程为：2xy+2=0.圆的圆心坐标为C
5、（1，a），半径r=1.又圆和直线相切，因此，有：d=1，解得a=4.评述：本题考查直线方程、直线和圆的位置关系及点到直线的距离公式等知识.例3.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2y22x2y10的两条切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为 答案：2解法一：点P在直线3x+4y+8=0上.如图79.设P（x， x），C点坐标为（1，1），S四边形PACB2SPAC2|AP|AC|AP|AC|AP|AP|2|PC|2|AC|2|PC|21当|PC|最小时，|AP|最小，四边形PACB的面积最小|PC|2（1x）2（12x）2|PC|min3 四边形
6、PACB面积的最小值为2解法二：由法一知需求|PC|最小值，即求C到直线3x+4y+8=0的距离，C（1，1），|PC|=3，SPACD=2.例4.设A（c，0），B（c，0）（c0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a0），求P点的轨迹.解：设动点P的坐标为P（x，y）由=a（a0），得=a，化简，得：（1a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1a2）+（1a2）y2=0.当a1时，得x2+x+c2+y2=0.整理，得：（xc）2+y2=（）2当a=1时，化简得x=0.所以当a1时，P点的轨迹是以（c，0）为圆心，|为半径的圆；当a=1时，P点的轨迹为y轴.评述：本题考
7、查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力.例5.设圆满足：截y轴所得弦长为2；被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为31，在满足条件、的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程。（1997年全国高考数学试题）解法一 设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|。由题设知圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角为90，圆P截x轴所得的弦长为r，故r2=2b2。又圆P截y轴所得的的弦长为2，所以有r2=a2+1。从而得2b2-a2=1。又点P(a，b)到直线x-2y=0的距离为d=，所以5d2=|a-2b|2=a2+4b2-4ab
8、a2+4b2 -2(a2+b2)=2b2-a2=1，当且仅当a=b时，上式等号成立，从而要使d取得最小值，则应有，解此方程组得或。又由r2=2b2知r=。于是，所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2。解法二 同解法一得d=，a-2b=d，得a2=4b2bd+5d2 将a2=2b2-1代入式，整理得2b24bd+5d2+1=0 把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即=8(5d2-1)0，得5d21。所以5d2有最小值1，从而d有最小值。将其代入式得2b24b+2=0，解得b=1。将b=1代入r2=2b2得r2=2，由r2=a2+1得a=1。综
9、上a=1，b=1，r2=2。由|a-2b|=1知a，b同号。于是，所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2。例6某检验员通常用一个直径为2 cm和一个直径为1 cm的标准圆柱，检测一个直径为3 cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？命题意图 本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能力 知识依托 圆锥曲线的定义，求两曲线的交点 错解分析 正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键 技巧与方法 研究所给圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程 解
10、设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O、A、B，问题转化为求两等圆P、Q,使它们与O相内切，与A、B相外切 建立如图所示的坐标系，并设P的半径为r,则|PA|+|PO|=(1+r)+(1 5r)=2 5点P在以A、O为焦点，长轴长2 5的椭圆上，其方程为=1 同理P也在以O、B为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为(x)2+y2=1 由、可解得，r=故所求圆柱的直径为 cm 例7、 已知M：轴上的动点，QA，QB分别切M于A，B两点，（1）如果，求直线MQ的方程；（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.解:（1）由，可得由射影定理，得 在RtMOQ中， ， 故， 所以直线AB方程是（2）连接MB，MQ，设由点M，P，Q在一直线上，得由射影定理得即 把（*）及（*）消去a，并注意到，可得说明：适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在。电子邮箱zyl,手机号码；电话；QQ： 湖南祁东育贤中学 周友良 湖南祁东一中 曾令军