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1、圆的方程复习课圆的方程复习课佛山禅城实验高中佛山禅城实验高中 赵文武赵文武知识知识要要点点一、圆的定义及方程一、圆的定义及方程定定义义平面内与平面内与 的距离等于的距离等于 的点的集合的点的集合(轨轨迹迹)限定条件限定条件标标准准方程方程圆圆心：心：()，半径，半径r0一般一般方程方程圆圆心：心：()，半径：半径：D2E24F0定点定点定定长长(xa)2(yb)2r2x2y2DxEyF0a，br二、点与圆的位置关系二、点与圆的位置关系圆的标准方程圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，圆心，圆心A(a，b)，半径，半径r，若点若点M(x0，y0)在圆上，则在圆上，则；若点若点M(x0，y0)在圆
2、外，则在圆外，则；若点若点M(x0，y0)在圆内，则在圆内，则.(x0a)2(y0b)2r2(x0a)2(y0b)2r2(x0a)2(y0b)2r)(d=r)(dr1+r2 O1O2=r1+r2 外切外切r1-r2O1O2r1+r2 相交相交O1O2=r1-r2 内切内切0O1O2r1+r2 O1O2=r1+r2 r1-r2O1O2r1+r2 O1O2=r1-r2 0O1O2r1-r2 六、共点圆系方程六、共点圆系方程:此圆系方程此圆系方程少少一个圆一个圆C2结论一：结论一：过圆过圆 上一点上一点 切线切线方程是方程是 yxO七、过圆上一点的切线方程：七、过圆上一点的切线方程：yxO(a,b)
3、结论二：结论二：yxO结论三：结论三：设切线方程为设切线方程为 yyo=k(xxo)(1)利用利用 _ 待定待定 k;(2)利用利用 _ 待定待定 k;圆心到切线的距离等于圆半径圆心到切线的距离等于圆半径联立方程组消去一元后判别式等于零联立方程组消去一元后判别式等于零注：此时切线一般有两条，故注：此时切线一般有两条，故 k 有二解，有二解，若只求出一解，需考虑若只求出一解，需考虑 _k 不存在不存在八、过圆外一点的切线方程：八、过圆外一点的切线方程：练习题练习题1.1.点（点（1,11,1）在圆（）在圆（xa）2 2+（ya）2 2=4=4的内的内部，则部，则a a的取值范围为的取值范围为()
4、解：因为（1a）2（1a）24,所以1a0,解得解得b1,所以所以实数数b的取的取值范范围是是(-,0)(0,1).(2)设圆C的方程是的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0.令令y=0,得得x2+Dx+F=0,这与与x2+2x+b=0是同一个方程是同一个方程,则D=2,F=b.令令x=0,得得y2+Ey+F=0,则关于关于y的方程的方程y2+Ey+F=0有且只有一个有且只有一个实数根数根b,则b2+Eb+b=0.又又b0,所以所以E=-1-b.所以所以圆C的方程的方程x2+y2+2x+(-1-b)y+b=0.(3)圆C的方程可化的方程可化为(x2+y2+2x-y)-b(y-1)=0.圆C经过
5、的定点是的定点是圆x2+y2+2x-y=0和直和直线y-1=0的交点的交点,所以所以经过定点定点(0,1),(-2,1).oABMxyy=xx-3y=034.如如图,圆O1和和圆O2的半径都等于的半径都等于1,O1O2=4,过动点点P分分别作作圆O1,圆O2的切的切线PM PN(M,N分分别为切点切点),使得使得 建立平面直角坐建立平面直角坐标系系,并求并求动点点P的的轨迹方程迹方程.解解:以以O1O2的中点的中点O为坐坐标原点原点,O1O2所在直所在直线为x轴,建立直建立直角坐角坐标系如系如图所示所示,则O1(-2,0),O2(2,0).由已知由已知 得得PM2=2PN2,因因为圆的半径的半
6、径为1,所以所以:PO21-1=2(PO22-1),设P(x,y),则(x+2)2+y2-1=2(x-2)2+y2-1,即即(x-6)2+y2=33.故所求故所求动点点P的的轨迹方程迹方程为(x-6)2+y2=33.35 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市风中心位于城市O（如图）的东偏南方向（如图）的东偏南方向300km的海面的海面P处，并以处，并以20km/h的速度向西偏北的速度向西偏北45方向移动方向移动.台风侵袭台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以并以10km/h的速的速度不断增
7、大度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？35解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.在t时刻：（1）台风中心P（）的坐标为此时台风侵袭的区域是其中若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有 即 答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.xyO11.36.在平面直角坐在平面直角坐标标系系中，已知中，已知圆圆和和圆圆（1）若直）若直线线过过点点，且被，且被圆圆截得的弦截得的弦长为长为，求直，求直线线（2）设设P为为平面上的点，平面上的点，满满足：存在足：存在过过点点P的无的无穷穷多多对对互相垂的直互相垂的直线线，它们分别与圆它们分别与圆和和圆圆相交，
8、且直相交，且直线线被被圆圆截得的弦截得的弦长长与直与直线线被被圆圆截得的弦截得的弦长长相等，相等，试试求所有求所有满满足条件足条件 的方程；的方程；的点的点P的坐标的坐标.xyO11.解：解：(1)或或，(2)P在以在以C1C2的中垂的中垂线线上，且与上，且与C1、C2等腰等腰直角三角形，利用几何关系直角三角形，利用几何关系计计算可得点算可得点P坐坐标标为为或或。知识探究：知识探究：直线与圆的方程在平面几何中的应用直线与圆的方程在平面几何中的应用 37.37.已知内接于圆的四边形的对角线已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边的距互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半离等于这条边所对边长的一半.ACBMDON 如图所示建立直角坐标系，设如图所示建立直角坐标系，设四边形的四个顶点分别为点四边形的四个顶点分别为点 A A(a(a，0)0)，B(0B(0，b)b)，C(cC(c，0)0)，D D(0(0，d)d)，那么，那么BCBC边的长为多少？边的长为多少？ABCDMxyoN思考思考:由上述计算可得由上述计算可得|BC|=2|MN|BC|=2|MN|，从从而命题成立而命题成立.你能用平面几何知识证明你能用平面几何知识证明这个命题吗？这个命题吗？ABCDMNE E