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1、一些特殊曲线一些特殊曲线19 平行截面面积为已知的立体的体积。20 半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得 一圆柱楔。求其体积。21 求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正 劈锥体的体积。22 旋转体体积(y=f(x)绕x轴)23 旋转体体积(x=g(y)绕y轴）24 旋转体体积（柱壳法）25 旋转体的侧面积1817求由双纽线内部的面积。.元素法元素法1 1 化整为零化整为零2 2 以直代曲以直代曲 (以常代变以常代变)3 3 积零为整积零为整yxoy=f(x)ab.分法越细，越接近精确值分法越细，越接近精确值1.1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲
2、边梯形的面积曲边梯形的面积f(i).元素法元素法4 4 取极限取极限yxoy=f(x)令分法无限变细令分法无限变细.ab.分法越细，越接近精确值分法越细，越接近精确值1 1 化整为零化整为零2 2 以直代曲以直代曲 (以常代变以常代变)3 3 积零为整积零为整1.1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积.f(i)元素法元素法4 4 取极限取极限yxoy=f(x)令分法无限变细令分法无限变细.分法越细，越接近精确值分法越细，越接近精确值1 1 化整为零化整为零2 2 以直代曲以直代曲 (以常代变以常代变)3 3 积零为整积零为整1.1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面
3、积曲边梯形的面积.f(i)S=.S.ab2。0y x2.2.444解方程组：解方程组：得交点：得交点：(8,4)，(2,2)问题：选谁为积分变量？问题：选谁为积分变量？。3.3.xyo33得两切线的斜率为得两切线的斜率为故两切线为故两切线为其交点的横坐标为其交点的横坐标为。S =l1l2()d o +d r=()元素法元素法1 1 取极角取极角 为积分变量，为积分变量，其变化区间为其变化区间为 ,以圆扇形面积近似小以圆扇形面积近似小曲边扇形面积，得到曲边扇形面积，得到面积元素：面积元素：.4.4.曲边扇形的面积曲边扇形的面积曲边扇形的面积曲边扇形的面积dSS3 作定积分作定积分.r xa圆上任
4、一点所画出的曲线。圆上任一点所画出的曲线。5.5.旋轮线旋轮线一圆沿直线无滑动地滚动，一圆沿直线无滑动地滚动，x来看动点的慢动作来看动点的慢动作圆上任一点所画出的曲线。圆上任一点所画出的曲线。.一圆沿直线无滑动地滚动，一圆沿直线无滑动地滚动，5.5.旋轮线旋轮线2a2 a0yx ax=a(t sint)y=a(1 cost)t t 的几何意义如图示的几何意义如图示ta当当 t 从从 0 2，x从从 0 2 a即曲线走了一拱即曲线走了一拱a圆上任一点所画出的曲线。圆上任一点所画出的曲线。5.5.旋轮线旋轮线.一圆沿直线无滑动地滚动，一圆沿直线无滑动地滚动，x=a(t sint)y=a(1 cos
5、t)将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板6.6.旋轮线也叫旋轮线也叫摆线摆线单摆单摆单摆单摆x=a(t sint)y=a(1 cost)将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板.单摆单摆单摆单摆6.6.旋轮线也叫旋轮线也叫摆线摆线单摆单摆单摆单摆.6.6.旋轮线也叫旋轮线也叫摆线摆线x=a(t sint)y=a(1 cost)将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板两个旋轮线形状的挡板两个旋轮线形状的挡板,使摆动周期与摆幅完全无关。使摆动周期与摆幅完全无关。在在1717世纪，旋轮线即以此性质出名
6、，所以旋轮线又称世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线摆线。单摆单摆单摆单摆.6.6.旋轮线也叫旋轮线也叫摆线摆线x=a(t sint)y=a(1 cost)将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板x=a(t sint)BA答案是：答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。当这曲线是一条翻转的旋轮线。最速降线问题最速降线问题:质点在重力作用下沿曲线从固定点质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点滑到固定点B，当曲线是什么形状时所需要的时间最短？当曲线是什么形状时所需要的时间最短？y=a(1 cost)7.7.旋轮线是最速降线旋轮线是最速降线生活中见过这条曲线
7、吗？生活中见过这条曲线吗？x=a(t sint)BA答案是：答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。当这曲线是一条翻转的旋轮线。最速降线问题最速降线问题:质点在重力作用下沿曲线从固定点质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点滑到固定点B，当曲线是什么形状时所需要的时间最短？当曲线是什么形状时所需要的时间最短？y=a(1 cost).生活中见过这条曲线吗？生活中见过这条曲线吗？7.7.旋轮线是最速降线旋轮线是最速降线x=a(t sint)BA答案是：答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。当这曲线是一条翻转的旋轮线。最速降线问题最速降线问题:质点在重力作用下沿曲线从固定点质点在重力作用下沿曲线从固定点
8、A滑到固定点滑到固定点B，当曲线是什么形状时所需要的时间最短？当曲线是什么形状时所需要的时间最短？y=a(1 cost)生活中见过这条曲线吗？生活中见过这条曲线吗？7.7.旋轮线是最速降线旋轮线是最速降线.x=a(t sint)BA答案是：答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。当这曲线是一条翻转的旋轮线。最速降线问题最速降线问题:质点在重力作用下沿曲线从固定点质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点滑到固定点B，当曲线是什么形状时所需要的时间最短？当曲线是什么形状时所需要的时间最短？y=a(1 cost)生活中见过这条曲线吗？生活中见过这条曲线吗？滑板的轨道就是这条曲线滑板的轨道就是这条曲线7
9、.7.旋轮线是最速降线旋轮线是最速降线.xyoaa一圆沿另一圆一圆沿另一圆外缘外缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。8.8.心形线心形线 (圆外旋轮线圆外旋轮线)xyoa来看动点的慢动作来看动点的慢动作一圆沿另一圆一圆沿另一圆外缘外缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。.8.8.心形线心形线 (圆外旋轮线圆外旋轮线)axyoaa2a来看动点的慢动作来看动点的慢动作一圆沿另一圆一圆沿另一圆外缘外缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。.(圆外
10、旋轮线圆外旋轮线)8.8.心形线心形线xyo2ar=a(1+cos )0 2 0 r 2aP r一圆沿另一圆一圆沿另一圆外缘外缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。.(圆外旋轮线圆外旋轮线)8.8.心形线心形线xyoa a一圆沿另一圆一圆沿另一圆内缘内缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。9.9.星形线星形线(圆内旋轮线圆内旋轮线)xyoa a来看动点的慢动作来看动点的慢动作一圆沿另一圆一圆沿另一圆内缘内缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线
11、。.9.9.星形线星形线(圆内旋轮线圆内旋轮线)xyoa a一圆沿另一圆一圆沿另一圆内缘内缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。来看动点的慢动作来看动点的慢动作.9.9.星形线星形线(圆内旋轮线圆内旋轮线)xyoa a0 2 或或.P.一圆沿另一圆一圆沿另一圆内缘内缘无滑动地无滑动地滚动，动圆圆周上任一点滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。所画出的曲线。.9.9.星形线星形线(圆内旋轮线圆内旋轮线)0 xy一直线一直线沿沿圆周圆周滚转（无滑动）滚转（无滑动）直线上直线上一个定点一个定点的的轨迹轨迹10.10.圆的渐伸线圆的渐伸线a0 xy一直
12、线一直线沿沿圆周圆周滚转（无滑动）滚转（无滑动）直线上直线上一个定点一个定点的的轨迹轨迹.a10.10.圆的渐伸线圆的渐伸线再看一遍再看一遍0 xy.a一直线一直线沿沿圆周圆周滚转（无滑动）滚转（无滑动）直线上直线上一个定点一个定点的的轨迹轨迹10.10.圆的渐伸线圆的渐伸线0 xy.a一直线一直线沿沿圆周圆周滚转（无滑动）滚转（无滑动）直线上直线上一个定点一个定点的的轨迹轨迹10.10.圆的渐伸线圆的渐伸线a0 xMttaat(x,y)0 xy试由这些关系推出曲线的方程试由这些关系推出曲线的方程.一直线一直线沿沿圆周圆周滚转（无滑动）滚转（无滑动）直线上直线上一个定点一个定点的的轨迹轨迹10
13、.10.圆的渐伸线圆的渐伸线1.曲线关于曲线关于 y=x 对称对称2.曲线有渐进线曲线有渐进线 x+y+a=0分析分析3.令令 y=t x,得参数式得参数式故在原点，曲线自身相交故在原点，曲线自身相交.11.11.狄狄狄狄卡儿卡儿叶叶叶叶形形线线4.0 xyx+y+a=0曲线关于曲线关于 y=x 对称对称曲线有渐近线曲线有渐近线 x+y+a=0.11.11.狄狄狄狄卡儿卡儿叶叶叶叶形形线线0 xyPr.曲线在极点自己相交，与此对应的角度为曲线在极点自己相交，与此对应的角度为 =.距离之积为距离之积为a2的点的轨迹的点的轨迹直角系方程直角系方程12.双双纽纽纽纽线线0 xy.所围面积所围面积.由
14、对称性由对称性.12.例例 求求求求双纽线双纽线双纽线双纽线0rr=a 曲线可以看作这种点的轨迹：曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动动点在射线上作等速运动同时此射线又绕极点作等速转动同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线从极点射出半射线13.13.阿基米德螺线阿基米德螺线0r曲线可以看作这种点的轨迹：曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动动点在射线上作等速运动同时此射线又绕极点作等速转动同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线从极点射出半射线.13.13.阿基米德螺线阿基米德螺线r=a 0r曲线可以看作这种点的轨迹：曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速
15、运动动点在射线上作等速运动同时此射线又绕极点作等速转动同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线从极点射出半射线再看一遍再看一遍请问：动点的轨迹什么样？请问：动点的轨迹什么样？.13.13.阿基米德螺线阿基米德螺线r=a 0r.13.13.阿基米德螺线阿基米德螺线r=a 0rr=a.13.13.阿基米德螺线阿基米德螺线0rr=a.13.13.阿基米德螺线阿基米德螺线r这里这里 从从 0+8r=a 02 a每两个螺形卷间沿射线的距离是定数每两个螺形卷间沿射线的距离是定数.13.13.阿基米德螺线阿基米德螺线0r8当当 从从 0 r=a.13.13.阿基米德螺线阿基米德螺线r0.这里这里 从从
16、0+8a.14.14.双曲螺线双曲螺线r0.当当 从从 0 8a.14.14.双曲螺线双曲螺线xyo15.15.2.S=1+cos 3r =3cos 由由 3cos =1+cos 得交点的坐标得交点的坐标S S2.16.10 xy令令 cos2 =0,由由 sin 0,联立后得交点坐标联立后得交点坐标.S=2.xyo17.17.1s1s2.sS=1+cos 求由求由双纽线双纽线0 xy.由对称性由对称性.18.a内部的面积。内部的面积。双纽线化成极坐标双纽线化成极坐标令令 r=0,S=4+.xA(x)dV=A(x)dxx已知平行截面面积为已知平行截面面积为 A(x)的立体的立体.aV以下是几个
17、例子以下是几个例子以下是几个例子以下是几个例子19.19.平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积b半径为半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的角的平面所截，平面所截，得一圆柱楔。求其体积。得一圆柱楔。求其体积。R oxy20.20.oyRxRR20.20.半径为半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的角的平面所截，平面所截，得一圆柱楔。求其体积。得一圆柱楔。求其体积。oyRxxyRR.y tan 问题：问题：问题：问题：还有别的方法吗？还有别的方法吗？还有别的方法吗？还有别的方法
18、吗？(x,y),截面积截面积A(x).半径为半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的角的平面所截，平面所截，得一圆柱楔。求其体积。得一圆柱楔。求其体积。20.20.oyRxRR 方法方法方法方法2 2 2 2.20.20.半径为半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的角的平面所截，平面所截，得一圆柱楔。求其体积。得一圆柱楔。求其体积。oyRxRR 方法方法方法方法2 2 2 2ABCD BCDC.截面积截面积S(y)(x,y)=2x=ytan.S(y).20.20.半径为半径为R的正圆柱体被通过其底的直
19、径并与底面成的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的角的平面所截，平面所截，得一圆柱楔。求其体积。得一圆柱楔。求其体积。hRxoyR21.21.求以半径为求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为高为h的正劈锥体的体积。的正劈锥体的体积。hRxoxA(x)A(x)V=.Ry21.21.求以半径为求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为高为h的正劈锥体的体积。的正劈锥体的体积。yxf(x)ab 曲边梯形：曲边梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 x轴旋转轴旋转22.22.求
20、旋转体体积求旋转体体积xf(x)abx.111111111.曲边梯形：曲边梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 x 轴旋转轴旋转22.22.求旋转体体积求旋转体体积V=x=g(y)yx0cd曲边梯形：曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d 绕绕 y轴轴23.23.求旋转体体积求旋转体体积x=g(y)yx0cd曲边梯形：曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d 绕绕 y轴轴.23.23.求旋转体体积求旋转体体积x=g(y)yx0cdy.23.23.求旋转体体积求旋转体体积.曲边梯形：曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d 绕绕 y轴轴abf(x)yx024.24
21、.求旋转体体积求旋转体体积 柱壳法柱壳法柱壳法柱壳法曲边梯形曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴xdxxabyx0内表面积内表面积.dx.24.24.求旋转体体积求旋转体体积 柱壳法柱壳法柱壳法柱壳法曲边梯形曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴dV=2 x f(x)dxf(x)byx0a.24.24.求旋转体体积求旋转体体积 柱壳法柱壳法柱壳法柱壳法曲边梯形曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴dV=2 x f(x)dxf(x)byx0a.24.24.求旋转体体积求旋转体体积 柱壳法柱壳法柱壳法柱壳法曲边梯形曲边梯形
22、y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴dV=2 x f(x)dxf(x)0y0 xbxadx.24.24.求旋转体体积求旋转体体积 柱壳法柱壳法柱壳法柱壳法曲边梯形曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴dV=2 x f(x)dxf(x)f(x)Yx0bdx0yz.a.曲边梯形曲边梯形 y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴24.24.求旋转体体积求旋转体体积 柱壳法柱壳法柱壳法柱壳法dV=2 x f(x)dxx=g(y)yx0cdx=g(y)绕绕 y 轴旋转轴旋转25.25.求旋转体侧面积求旋转体侧面积Ax=g(y)yx0cdx=g(y)绕绕 y 轴旋转轴旋转ydA=2 g(y)ds.(ds是曲线的弧微分是曲线的弧微分).故旋转体侧面积故旋转体侧面积25.25.求旋转体侧面积求旋转体侧面积Ads结束结束