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1、现代控制理论离散系现代控制理论离散系统统一一 线性离散系性离散系统状状态表达式的建立及表达式的建立及方程方程1 离散系统的特点离散系统的特点系统中的各个变量被处理成为只在离散时刻取值，其状态空间描述只反映离散时刻的变量组间的因果关系和转换关系，因而这类系统通常称为离散时间系统，简称为离散系统。2 线性离散系性离散系统的的动态方程可以利用系方程可以利用系统的的差分方程建立，也可以利用差分方程建立，也可以利用线性性连续动态方程的离散化得到方程的离散化得到（1）由差分方程建立动态方程 在经典控制理论中离散时间系统通常用差分方程或脉冲传递函数来描述。单输入单输出线性定常差分方程的一般形式为 考虑初始条
2、件为零时的z变换关系有对式两端取z变换加以整理，可得在N(z)/D(z)的串联分解中引入中间变量Q(z)uzy可以得到 设则利用z反变换关系动态方程为向量矩阵形式为简记为线性定常多输入多输出离散系统的动态方程为（2）定常连续动态方程的离散化已知定常连续系统动态方程在x(t0)及u(t)作用下的解为令则 在区间 内，常数，于是其解化为记故离散化状态方程为 式中 与连续系统状态转移矩阵 的关系为离散化系统的输出方程仍为二二线性定常离散事件系性定常离散事件系统的可控性与可的可控性与可观性性1 线性定常离散系性定常离散系统的可控性的可控性（1）定义：n阶线性定常离散系统 若存在控制序列 能将第 步的某
3、个状态在第 步到达零状态，及x()=0,其中 是大于 的有限数，那么就称此状态是能控的。若系统在第 步上的所有状态都是能控的，那么此系统是能控的，称为能控系统（2）可控性判据（2.1）设单输入线性定常系统的状态方程为状态方程的解为 根据可控性定义，假定k=n时，x(n)=0,将式两端左乘G-n则有记 称S1为nn可控矩阵。由线性方程组解的存在性定理可知，当矩阵s1的秩与增广矩阵S|x(0)的秩相等时，方程组有唯一解，否则无解。在x(0)为任意的情况下，使方程组有解的充分必要条件是矩阵S1满秩，即 rank S1=n或矩阵S1的行列式不为零 detS10或矩阵S1是非奇异的 由于满秩矩阵与另一满
4、秩矩阵Gn相乘其秩不变，故 交换矩阵的列，且记为S1其秩也不变，故有 由于此式避免了矩阵求逆，在判断系统的可控性时比较方便（2.2）对于多输入系统，设系统的状态方程为可控性判据通常使用2线性离散定常系统的可观性（1）可观性定义设离散系统为若对初始时刻 的任一非零初始状态都存在有限时刻 ,且可由 上的输出唯一的确定X0,则称此系统在时刻 是完全可控的（2）可控性判定设线性定常离散系统的状态方程为其解为不失一般性，可将动态方程简化为对应的解为将y(k)写成展开式（1）其向量矩阵形式为令 V1T称为线性定常系统的可观测性矩阵，为nqn矩阵，式（1）中含有n个独立方程，便可确定唯一的一组x1(0),x2(0)x3(0)。当独立方程个数大于n时，解会出现矛盾；当独立方程个数小于n时，便有无穷多解。故系统可观测性的充分必要条件为 由于rank V1T=rankV1,故线性定常离散系统的可观测性判据常表示为