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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载探究三角形全等易错剖析全等三角形的判定和性质及其应用是中学几何的重点内容之一,也是中考所要考查的重 要内容之一同学们由于对概念、判定、性质的懂得不清或对问题的考虑不周密,往往会出 现各种错误下面列举常见的解题错误进行分析,期望能引起同学们的留意一、查找全等三角形的对应边和对应角时出错例 1如图 1,已知：ABC EFD, C=D,AE=BF, 指出其他的对应边和对应角；图 1 错解 对应边 BC 与 DF,AE 与 BF,对应角 DEF 和 ABC. 角；错解分析： 识图才能差, 不能看出两个三角形如何重合的,不能正确识别对应
2、边和对应正解 对应边 AB=EF,AC=ED,BC=DF；对应角 A= EEF, ABC= F. 例 2如图 2（1）所示,如ABC 中的 A=300, B=700,AC=17cm ；如图 2（2）所示,如DEF 的 D=700, E=800,DE=17cm ,那么ABC 与 DEF 全等吗？为什么？CE800A300700BF图 1（2）图 2（2）700D图 1（1）图 2（1）错解： ABC 与 DEF 全等在 DEF 中,由于 D=70 0, E=80 0,所以 F=180 0-D-E=180 0-70 0-80 0=30 0在 ABC 中,由于 A=30 0, B=70 0,所以 A
3、= F, B=D又由于 AC=17cm ,DE=17cm ,名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载所以 AC=DE 在 ABC 与 DEF 中,BAF 已证 , ABC DEF D（已证）,ACDE（已证）,错解分析： AC 是 B 的对边, DE 是 F 的对边,而 B F,所以这两个三角形不全 等正确解法： ABC 与 DEF 不全等由于相等的两边不是相等的两角的对边,不符合全等三角形的识别法练习 1：如图 3 所示,已知的对应边和对应角；ABE ACD , AEB ADC , B C,指出其他A
4、B D E C 图 3 二、利用三个角对应相等说明全等出错例 3 如图 4,CAB= DBA ,C=D,E 为 AC 和 BD 的交点 . ADB 与 BCA 全等吗 .说说理由 . 错解 ADB BCA. 由于 C=D, CAB= DBA , DAB=CBA, 所以 CBE DAE （AAA ）. 错解分析 两个三角形全等是对的,但说明的理由不正确 .三个角对应相等不能作为三角形全等的识别方法 .由于三个角对应相等的两个三角形不肯定全等 . 正解 CAB DBA. 由于 CAB= DBA, C=D,AB=BA 公共边 , 所以CAB DBAAAS. 图 4 练习 2：已知在两个直角三角形中,
5、有一对锐角相等,又有一组边相等,说明这两个三名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载角形是否全等 . 图 5 三、利用两边及一边对应相等说明全等出错 例 4 如图 6,已知 ABC 中,AB=AC,D 、E 分别是 AB 、AC 的中点, 且 CD=BE , ADC 与 AEB 全等吗？说说理由 . 错解 ADC AEB. 由于 AB=AC,BE=CD, BAE= CAD, 所以 ADC AEB （ SSA）. 错解分析错解在把 SSA 作为三角形全等的识别方法,实际上, SSA 不能作为三角形全等的识别
6、条件 .由于两边及一边对角相等的两个三角形不肯定全 等. 正解 ADC AEB. 由于 AB=AC,D 、E 为 AB 、AC 的中点,所以 AD=AE. 在 ADC 和 AEB 中, 所以 ADC AEB （SSS）. 图 6 由于 AB=AC,AD=AE,CD=BE, 练习 3：如图 7 所示, D 是 ABC 中 BC 边上一点, E 是 AD 上一点, EB=EC ,ABE= ACE ,求证： BAE= CAE. 图 7 四、利用部分当整体说明全等出错例 5如图 8,已知 AB=AC ,BD=CE, 试说明ABE 与 ACD 全等的理由 . 错解 :由于 AB=AC, 所以 B=C,
7、在 ABE 和 ACD 中, 由于 AB=AC, B=C,BD=CE, 所以 ABE ACD （SAS）. 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 错解分析学习必备欢迎下载,这不符合三角形全等的识别错解在把三角形边上的一部分当作说明的条件方法 . 正解 ABE 与 ACD 全等 . 由于 AB=AC, 所以 B=C, 由于 BD=CE, 所以 BD+DE=CE+DE, 即 BE=CD. 图 8 在 ABE 和 ACD 中, 由于 AB=AC,B=C,BE=CD,所以 ABC ACF（SAS）. 练习 4：如图 9 所示,已
8、知在 Rt DAB 是否全等？Rt ABC 和 Rt DAB 中, AC DB ,判定 Rt ABC 与A D C 图 9 B 五、利用减法运算说明全等出错例 6 如图 10,已知 AC 、BD 相交于点 0, A= B, ACD= BDC ,AD=BC. 试说明AOD BOC. 错解 在 ADC 和 BCD 中,由于 A=B, ACD= BDC ,DC=CD ,名师归纳总结 所以ADC BCD （AAS ）,所以ADC- DOC= BCD- DOC ,即 A0D B0C. 第 4 页,共 9 页错解分析错解在将等式的性质盲目地用到三角形全等中,实际上, 三角形全等是不能依据等式的性质说明的.
9、 正解在 ADO 和 BCD 中, A= B, AOD= BOC ,AD=BC ,所以AOD BOCAAS. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载图 10 练习 5：如图 11,点 E、F 在 BC 上,BE=CF,AB=DC, B=C,AF 与 DE 相等吗 . 图 11 六、 仅据图形的直观印象就视为条件来参加证明出错 例 7 如图 12,在 ABC 中,AD 是它的角平分线, BD=CD ,DE、DF 分别垂直于 AB 、AC ,垂足为 E、 F求证： BE=CFA 错证一： 认为 DE=DF ,并以此为条件,在 Rt BDE 与
10、 Rt CDF 中,由于 DE=DF ,BD=CD ,BEDFC所以 Rt BDE Rt CDF（HL ）图2所以 BE=CF （全等三角形的对应边相等）图 12 错证二： 认为 ADBC,并以此为条件,通过证明ABD ACD ,得 AB=AC 再由Rt AED Rt AFD ,得 AE=AF ,从而得到： BE=CF错证分析： 错证一中认为DE=DF ,并直接作为条件应用,因而产生错误；错证二中,认为 AD BC,没有经过推理, 而直接作为条件应用,因而也产生错误产生上述错误的原因是审题不清,没有依据题设,结合图形找证题方法,推论过程不符合全等的判定方法正确证法： 在 AED 和 AFD 中
11、,DEA DFA 垂直的定义 ,BAD CAD 角平分线的定义 ,AD AD 公共边 , AED AFD （AAS ）DE=DF （全等三角形的对应边相等）在 Rt BDE 与 Rt CDF 中,名师归纳总结 BDCD 已知,Rt BDE Rt CDF（HL ）第 5 页,共 9 页DEDF 已证,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载练习 6：如图 13 所示,已知 1 2, 3 4,AB 与 AD 相等吗？为什么？A 1 2 B D C 3 4 七、观看图形显现重复或遗漏出错 图 13 例 8 如图 14 所示,在等边ABC 中, D
12、、E、F 分别为 AB 、BC、CA 上一点（不是中点）,且 AD=BE=CF ,图中全等三角形组数为（）. .3 组 .4 组 .5 组 .6 组错解： A. 图 14 错解分析 没有敏捷运用所给条件,只是直接运用了已知条件就做出判定 .全等三角形共 有 6 组 , 分 别 是 ： ABE CAD , ABE BCF , CAD BCF , ABF CAE , ABF BCD , CAEBCD. 正解： C. 点评对这类问题平常学习要多观看多总结,充分地用上所给条件,逐步找出全部的全等三角形 . 练习 7：如图 15 所示,在 ABC 中,AB=AC ,BDAC 垂足为 D,A=40 ,求
13、DBC. 图 15 练习参考答案：名师归纳总结 1、错解 ：对应边有： AB 与 AD , AE 与 AC, BD 与 CE,对应角有：BAD CAE 第 6 页,共 9 页误区点击： 此题错误的缘由是观看图形的才能太差,未能精确地将两个全等三角形分别- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载出来,并正确地找出其对应元素；全等三角形的对应边、对应角是严格对应的,对应边所对的角是对应角,对应角所对的边是对应边,公共边是对应边,公共角是对应角；正解 ：由于 B C, AEB ADC ,所以另一组对应角为BAE 与 CAD 由于 B 和 C 的对边
14、分别是 AE 与 AD, AEB 与 ADC 的对边分别是 AB 与 AC 所以对应边分别是：AB 与 AC ,AE 与 AD ,BE 与 CD. 2、错解：这两个三角形全等【错解分析】对“ ASA” 全等识别法中 “对应边相等 ”没有懂得,错把边相等当成对应边相等 . 正解：这两个三角形不肯定全等.如下列图, Rt ABC 和 Rt EDC,在 Rt EDC 中, CD=AB , 1= 2, C= C=90 ,明显 ABC 与 EDC 不全等 . 3、错解：在AEB 和 AEC 中, AEB AEC . BAE= CAE. 错解分析 此题错在判定AEB AEC 时,用了 “ 边边角 ” 的判
15、定法,这是不正确的,由于有两条边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不肯定全等 . 正解：在BEC 中, BE=CE , EBC= ECB. ABE= ACE , ABC= ACB. AB=AC. 在 AEB 和 AEC 中,名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 AEB AEC. BAE= CAE. 4、错解 ：在 Rt ABC 与 Rt DAB 中 ACDB ,AB BA ,所以 Rt ABC Rt DAB （HL ）误区点击 ：在推理过程中,说明 两个三角形全等的对应元素只有一个,等判定中的 “
16、HL”；Rt ABC Rt DAB 时,虽然也列举了两个条件,但 全等条件不足, 同时也是没有真正懂得直角三角形全正解 ：Rt ABC 与 Rt DAB 不全等；5、错解 在 ABF 和 DCE 中 ,AB=DC, B=C, BE=CF, ABF DCESAS, AF=DE. 错解分析没有看图形 ,而只看文字条件,错用三角形的边,来参加三角形全等的推导. 6、错解： 在 ABC 与 ADC 中,由于 1 2,3 4,ACAC ,依据 “ AAS“ 可 得 ABC ADC ,所以 AB AD ；误区点击： 上述推理过程,没有仔细结合图形来分析,错把角来参加证明,读题不细、审题不清是造成错误的直接
17、缘由；3、 4 作为三角形的内正解 ：由于 3 是 ABC 的外角, 4 是 ADC 的外角,所以 ACB 180 3, ACD 180 4,又由于 3 4,所以 ACB ACD ,在 ABC 与 ADC 中,ACAC , 1 2, ACB ACD ,所以 ABC ADC （ASA ）,所以 AB AD. 7、错解： ABC 中 AB=AC , A=40 , ABC= （180-40 ）2=70 . 又 BDAC 垂足为 D,名师归纳总结 DBC=1 ABC=352. “三线 ”都重合 .其实在不是等边三角的等第 8 页,共 9 页错解分析误认为在等腰三角形中每条边上的腰三角形中,只有底边上的“ 三线 ”才是重合的 . 正解：在 ABC 中, AB=AC , A=40 ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 ABC= ACB= （180 40） 70. 又 BDAC 垂足为 D,名师归纳总结 DBC=90-ACB=90-70 =20 . 第 9 页,共 9 页- - - - - - -