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1、.普陀区 2016-2017 学年第一学期高三数学质量调研2016.12一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前 6 题得 4 分、后 6 题得 5 分，否则一律得零分. 1若集合 ， ，则 . R,|2yxAR,sin|xyBBA2. 若 ， ，则 .53sin2cot3. 函数 （ ）的反函数 .xxf2log1)(1)(1xf4. 若 ，则 .505 aa 521a5. 设 R，若 表示焦点在 轴上的双曲线，则半焦距的取值范围是 .k12kxyy6. 设 R，若函数 是偶函数，则 的单调递增区间是 .m1)(32mxf
2、)(xf7. 方程 的解 .log59log22xx 8. 已知圆 : （ ）和定点 ，C02kyyR1,P若过 可以作两条直线与圆 相切，则的取值范围是 .P9. 如图，在直三棱柱 中，1CBA， ， 若 与平面 所成的角为 ，90ABC1BCA116则三棱锥 的体积 为 .110.掷两颗骰子得两个数，若两数的差为 ，则 出现的概率的最大值为 d2,0（结果用最简分数表示）.11. 设地球半径为 ，若 、 两地均位于北纬 ，且两地所在纬度圈上的弧长为RAB45，则 、 之间的球面距离是 （结果用含有 的代数式表示）.42 R.12. 已知定义域为 的函数 满足 ，且 时， ；R)(xfy)(
3、2(xff1x21)(xf函数 ，若 ，则 ，函数 零点的个数是 .0,1,lg)(x)gfF0,5F二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分.13.若 ，则下列不等关系中，不能成立的是（ ）.ba0)A(1Bab1C31bD2ba14.设无穷等比数列 的首项为 ，公比为，前项和为 .则“ ”是“ ”na1nS1q1limnS成立的（ ）充分非必要条件 必要非充分条件 )( B充要条件 既非充分也非必要条件CD15. 设 是直二面角，直线在平面 内，直线在平面 内，且、与均不垂直
4、，则（ l ）与可能垂直，但不可能平行 与可能垂直，也可能平行)A( B与不可能垂直，但可能平行 与不可能垂直，也不可能平行CD16. 设是两个非零向量、的夹角，若对任意实数， 的最小值为，则下列判断正确的bta是（ ）若 确定，则唯一确定 若 确定，则唯一确定)A(aB若确定，则 b唯一确定 若确定，则 唯一确定CDa三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分已知 R，函数a|)(xaf.（1）当 时，解不等式 ；axf2)(（2
5、）若关于的方程 在区间 上有解，求实数的取值范围.0xf1,18. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分已知椭圆 ： （ ）的左、右两个焦点分别为 、 ， 是椭圆上位12byax0a1F2P于第一象限内的点， 轴，垂足为 ,且 ， ，PQ621F935arcos21P的面积为 .21FP3（1）求椭圆 的方程；（2）若 是椭圆上的动点，求 的最大值, MM并求出 取得最大值时 的坐标.Q.19. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯，经测定
6、其密度为 ，总重量.73/cmg为 .其中一个螺帽的三视图如下图所示（单位:毫米） .85kg（1）这堆螺帽至少有多少个；（2）对上述螺帽作防腐处理，每平方米需要耗材 0.11 千克，共需要多少千克防腐材料（结果精确到 ）01.20. （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 6 分.已知数列 的各项均为正数，且 ，对于任意的 ，均有na1a*Nn， .1412nanblog2n（1）求证： 是等比数列，并求出 的通项公式；（2） 若数列 中去掉 的项后，余下的项组成数列 ，求 ；nnanc1021c（3）设 ，数列 的前项
7、和为 ，是否存在正整数 （ ），1nnbdndnTmn使得 、 、 成等比数列，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.1Tm.21. （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 8 分.已知函数 ,若存在实数 、（ ），使得对于定义域内的任意实数，均)(xfym0有 成立，则称函数 为“可平衡”函数，有序数对)(kfm )(xf称为函数 的“平衡”数对.k,)(xf（1）若 ，判断 是否为“可平衡”函数，并说明理由；xfsin（2）若 R， ，当变化时，求证： 与 的“平衡”数对相a02)(xfxag2)(同；（3）若 、
8、 R，且 、 均为函数 的“平衡”数对.1m2,14,2mxf2cos)(当 时，求 的取值范围.40x21.普陀区 2016-2017 学年第一学期高三数学质量调研评分标准一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分） 1-6:：4 分； 7-12：5 分。1 . 2. . 3. （ ）. 4. 31. 5. . 6. .,02471x2c,07. 1. 8. 或 . 9. . 10. . 11. . 12. .k06213R15二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）题号 13 14 15 16答案 B B C D三、解答题17.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第
9、1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分【解】（1）当 时， ，所以 （*）1a|)(xfxf)(x|1若 ，则（*）变为， 或 ，所以 ； 0x 0)(021若 ，则（*）变为， ，所以12xxx由可得，（*）的解集为 。,（2） ，即 其中 0)(xf02|1xaxa121,2令 = ，其中 ，对于任意的 、 且 g2,1,221x则 2121)(xxx21x由于 ，所以 ， ， ，所以21014012x所以 ，故 ，所以函数 在区间 上是增函21x0)(21xg)(xg,数.所以 2g，即 ,故 9)(x31g329)(xg,18. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第
10、1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分【解】（1）在 中，由21FP935arcos1得 935cos216sin21FP因为 的面积为 ， ,所以 .21FP2123sin1121FP解得 2 分在 中，由余弦定理得，3，所以 ,故 ，21212122 cosFP 22于是 ,故 4 分，由于 ，所以 ,42PFa3a3c3b故椭圆 的方程为 13yx（2）设 ，根据题意可知 ，故 ,由于 ,所0, 23201yF20y0y以 0y7 分，将 代入椭圆方程得， ，解得 ，由于0y1x0x，所以 ，故 的坐标为 8 分 令 ，则 ,所以0x20xQ,2yM,132y4322y， 22y
11、xMQ743x3582其中 11 分，所以当 时， 的最大值为 ，3 2MQ3816故 的最大值为 13 分，此时点 的坐标为 . 120,19. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.【解】设正六棱柱的底边边长为，高为，圆孔的半径为，并设螺帽的表面积为 ，根据表S三视图可知， ， ， ，则（1）设螺帽的体积为 ,则 ，其中12a0h5rVh底底S26sin63高 ，螺帽的体积 ， 个10h1051V25103268.7.（2） 26sin6raaS表 ha225312106 10（千克）.05376 答：这堆零件至少有 252 个，防
12、腐共需要材料 千克。 520. （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 6 分.【解】（1）由 得 ，由于412nnaa221nna0na故 ，即 ，所以1nn )(1nn 1n故数列 为等比数列，且 ，所以na21a2a（2） ，故 ， 21lognbbn1其中 （常数），所以数列 是以为首项、为公差的等差数列n n, ， ， 1a76410623107由（1）可得， ， 因为 ， 2a5812764ab8107ab所以 102cc 1072b.7)22(130717249081021nnbd21nn12n 215321
13、Tn 其中 , ， 1mTn假设存在正整数 （ ），使得 、 、 成等比数列n1Tm则有 ，即 ,所以 ， nmT122301423n解得 ,又因为 , ,所以 ,此时 ,626*N12n所以存在满足题设条件的 、. m21. （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3小题满分 8 分.【解】（1）若 ，则1xfsin)(kkxf i)( kxcosin2要使得 为“可平衡” 函数，需使故 对于任意实数均成立，0sco1只有 3 分，此时 ， ，故存在，所以 是“ 可21cosk32nkZxfsin)(平衡”函数（2） 及 的定义域均
14、为 R)(xf xag)(根据题意可知，对于任意实数， 2222 kxkm即 ,即 对于任意实数恒成立22kxm0kx只有 ，故函数 的“平衡”数对为0, 2)(f 0,2.对于函数 而言， xag2)(kxkxkxx aam 222所以 kxm， ， 0222akx 02ak即 ，故 ，只有 ，9 分，所以函数 的“平衡”数对mxag2)(为 0,2综上可得函数 与 的“平衡”数对相同2)(xf xag2)(（3） ，所以coscos221 xm xm221sinco，所以 44222 x2由于 ，所以 ，故 , 0x1cos2x2tan02,1sec2x， 21m1ta2t5tan4t2 xx 54tan52x由于 ，所以 时，0x1t026t，所以83tan2122m8