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1、第四章根轨迹法第1页，本讲稿共51页内内 容容 提提 要要 根轨迹根轨迹是一种图解法，它是根据系统的开环零极开环零极点分布点分布，用作图的方法简便地确定闭环系统的特征根闭环系统的特征根与系统参数系统参数的关系，进而对系统的特性特性进行定性分析和定量计算。讲述根轨迹的基本概念基本概念，根轨迹的绘制根轨迹的绘制，系统性能系统性能的分析。第2页，本讲稿共51页v控制系统的稳定性稳定性由闭环极点闭环极点唯一确定，而过渡过程过渡过程的特性由闭环极点闭环极点、闭环零点闭环零点共同决定。v在设计控制系统设计控制系统时，希望通过调节某些参调节某些参数使变闭环极点、零点处在所需的位置上数使变闭环极点、零点处在所
2、需的位置上。前前言言第3页，本讲稿共51页v当特征方程阶次较高特征方程阶次较高时，计算相当麻烦，而且不能看出不能看出系统参数变化对闭环极点分布影响的趋势系统参数变化对闭环极点分布影响的趋势，给分析设计控制系统带来不便。v根轨迹法根轨迹法伊凡思提出的一种求取闭环系统特征根闭环系统特征根的图解法图解法。第4页，本讲稿共51页v根轨迹法根轨迹法是在已知开环系统的极点、零点分布已知开环系统的极点、零点分布的基础上研究一个或某些系统参数变化一个或某些系统参数变化时，闭环系统极点的闭环系统极点的分布如何变化的分布如何变化的。v应用根轨迹法，只需进行简单计算就可得知系统某些参数变化对闭环极点的影响趋势闭环极
3、点的影响趋势。第5页，本讲稿共51页图4-1 反馈控制系统4.1根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念4.1.1什么是根轨迹？什么是根轨迹？第6页，本讲稿共51页 考虑图4-1所示负反馈控制系统，设其开环传递函数为：则该系统的闭环特征方程闭环特征方程为：当K从零到无穷大连续变化时，闭环极点S在复平面上画出的根轨迹根轨迹如图4-2所示。第7页，本讲稿共51页图图4-2 根轨迹图根轨迹图第8页，本讲稿共51页 从根轨迹图可以看到：当0K0.385时有两个闭环极点成为共轭复数，只要0Km时，开始于n个开环极点的n支根轨迹，有m支终止于开环零点开环零点，有n-m支终止于无穷远处无穷远处。第28页，本讲稿共5
4、1页2）分支数和对称性）分支数和对称性根轨迹一定对称于实轴，并且有根轨迹一定对称于实轴，并且有n支。支。特征方程的根要么是实根（在实轴上）要么是共轭特征方程的根要么是实根（在实轴上）要么是共轭复根（对称于实轴），所以根轨迹一定对称于实轴。复根（对称于实轴），所以根轨迹一定对称于实轴。因为根轨迹根轨迹是闭环特征方程的根闭环特征方程的根，无论K如何变化特征方程始终有n个根，即使出现重根重根，当K从零到无穷大连续变化时重根不可能始终为重根，所以根轨迹一定有n支支。第29页，本讲稿共51页3）实轴上的根轨迹）实轴上的根轨迹 实轴上实轴上的开环零点开环零点和开环极点开环极点将实轴分为若干段，对于其中任一
5、段，如果其右边实轴上的开环零、极点总如果其右边实轴上的开环零、极点总数是奇数，那么该段就一定是根轨迹的一部分。数是奇数，那么该段就一定是根轨迹的一部分。例例4-1已知一单位负反馈系统的开环传递函数为 其中,T。试大致绘出其根轨迹。第30页，本讲稿共51页解解 首先将开环传递函数化为如下标准形式:式中,k=K/T。系统有两个开环极点p1=0、p2=-1/T和一个开环零点z1=-1/,所以系统的根轨迹有两条分支。当k=0时,两条根轨迹从开环极点开始开环极点开始;当k时,一条根轨迹终止于开环零点z1,另(2-1)=1条趋于无穷远处趋于无穷远处。第31页，本讲稿共51页 根据开环零极点的位置,可知实轴
6、上的(z1,p1)和(-,p2)区间为根轨迹的区段。系统的根轨迹图如图4-3所示,其中“”表示开环极点,“”表示开环零点。例例 4-1 4-1 根轨迹图根轨迹图 第32页，本讲稿共51页4）根轨迹的分离点）根轨迹的分离点 当K从零变到无穷大时，根轨迹可能出现先会合后分离，这样的点称分离点分离点。分离点对应重闭环极点重闭环极点。基于分离点是重闭环极点重闭环极点的事实可以证明，分离点的分离点的座标座标，是下列代数方程的解：第33页，本讲稿共51页 必须说明的是，方程只是必要条件必要条件而非充分条件非充分条件，也就是说它的解不一定是分离点，是否是分离点还要看其它规则。第34页，本讲稿共51页5）渐近
7、线）渐近线当当nm时，根轨迹一定有时，根轨迹一定有nm支趋向无穷远；支趋向无穷远；当当nm时，根轨迹存在时，根轨迹存在|nm|支渐近线，且渐近线与支渐近线，且渐近线与实轴的夹角为：实轴的夹角为：所有渐近线交于实轴上的一点实轴上的一点，其坐标为 第35页，本讲稿共51页例例4-2 已知一四阶系统的特征方程为 试大致绘制其根轨迹。解解先在复平面上标出开环零极点的位置,极点用“”表示,零点用“”表示,并根据实轴上根轨迹的确定方法绘制系统在实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹。第36页，本讲稿共51页 根据规则判断有无分离点，若有求出可能的分离点。利用上式可以求出分离点为：d1=-4,d2=-2.5994,d
8、3,4=-0.7003j0.7317 将这四个值代入闭环系统方程,可知d3,4对应的K不满足大于零的要求,所以将其舍去。另外,可以发现d1=-4正是系统的开环极点(对应K0时系统的闭环极点),是一个重根。所以此系统的分离点坐标为(-2.5994,j0)和(-4,j0)。第37页，本讲稿共51页然后再确定系统渐近线渐近线与实轴的交点和夹角实轴的交点和夹角:a1=60(k=0),a2=180(k=1),a3=300(k=2)绘制系统的根轨迹如图所示。第38页，本讲稿共51页图 4-4 根轨迹图 第39页，本讲稿共51页 根轨迹与虚虚轴轴的交点是临临界界稳稳定定点点，该点的坐标j0和增增益益K0是很
9、重要的，将s=j代入闭环特征方程，令特征方程的实部和虚部分别等于零，可以解出0和K0。用劳斯（Roth）判据也可以求得K0。6）根轨迹与虚轴的交点）根轨迹与虚轴的交点第40页，本讲稿共51页 例例4-3 求例4-2所给出的系统根轨迹与虚轴的交点坐标。解解 将s=j代入例4-2所给出的系统的特征方程,可得 4-j103-322+j(32+K)+K=0 写出实部和虚部方程:4-322+K=0，103-(32+K)=0 由此求得根轨迹与虚轴的交点坐标为 因为34对应的K小于零,所以舍去。因此,系统根轨迹与虚轴交点坐标为(0,j4.5204)。第41页，本讲稿共51页图 4-4 根轨迹图 第42页，本
10、讲稿共51页7）根轨迹的出射角和入射角）根轨迹的出射角和入射角 根轨迹从某个开开环环极极点点出发时的切切线线与实实轴轴的的夹夹角角称为出出射射角角，根轨迹进入某个开环零点的切线与实轴的夹角称为入入射射角角，用相角条件不难证明，根轨迹从开环极点pi出发第43页，本讲稿共51页根轨迹进入某个开环零点Zl的入射角为：根轨迹的上述规则对绘制根轨迹很有帮助，尤其是手工绘图，根据规则就能很快地画出大致形状，再求出临界增益K0，这样的根轨迹图就很有用了，我们称这样的根轨迹图为概略图，一般手工画根轨迹的习题（考题）就是指这种概略图。第44页，本讲稿共51页小结：小结：为了把握绘制根轨迹的要领要领，请牢记并理解
11、三句话：三句话：绘制根轨迹绘制根轨迹依据的是依据的是开环零极点分布，开环零极点分布，遵循遵循的是的是不变的相角条件，不变的相角条件，画出的是画出的是闭环极点的轨迹。闭环极点的轨迹。第45页，本讲稿共51页4.3 系统性能的分析系统性能的分析例例4-8 已知单位负反馈系统的开环传递函数 试用根轨迹分析开环放大倍数K对系统性能的影响,并计算K5时,系统的动态性能指标。解解 系统根轨迹如图4-9所示。第46页，本讲稿共51页图 4-9 例 4-8 系统根轨迹 第47页，本讲稿共51页 解解系统根轨迹如图4-9所示。从根轨迹图可以看出,无论K取何值时系统都是稳定的。当0K0.5(0k1)时,系统具有两
12、个不相等的负实根;当K=0.5(k=1)时,系统具有两个相等的负实根;这两种情况下,系统的动态响应都是非振荡的。当K0.5(k1)时,系统具有一对共轭复数极点,系统动态响应是振荡的。则 当K=5,即k=10时,系统的闭环极点为 第48页，本讲稿共51页所以系统的动态性能指标可以确定如下:最大超调量 上升时间 峰值时间 第49页，本讲稿共51页过渡过程时间 第50页，本讲稿共51页小小结结 根轨迹法的基本思想是在已知开环传递函数的基础上,确定闭环传递函数极点分布与参数变化之间的关系。根轨迹法不仅是一种研究闭环系统特征根的简便作图方法,而且还可以用来分析控制系统的某些性能。第51页，本讲稿共51页