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1、1996年世界硕士研究生入学分歧检验数学三试题分析一、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分,把答案填在题中横线上.)(1)【答案】【分析】方法1：方程单方取对数得,再单方求微分,.方法2：把变形得,然后单方求微分得,由此可得(2)【答案】【分析】由,单方求导数有,因此有.(3)【答案】(或),任意【分析】对单方求导得因此过的切线方程为即又题设知切线过原点,把代入上式,得即由于系数,因此,系数应称心的关系为(或),任意.(4)【答案】【分析】由于是范德蒙行列式,由知.按照解与系数矩阵秩的关系,因此方程组有唯一解.按照克莱姆法那么,对于,易见因此的解为,即.【相关知识点】克莱姆法那么：假设
2、线性非齐次方程组或简记为其系数行列式,那么方程组有唯一解其中是用常数项交流中第列所成的行列式,即.(5)【答案】【分析】可以用两种方法求解：(1)已经清楚方差,对正态总体的数学期望停顿估计,可按照因,设有个样本,样本均值,有,将其标准化,由公式得：由正态分布分为点的定义可判定临界值,进而判定呼应的置信区间.(2)此题是在单个正态总体方差已经清楚条件下,求期望值的置信区间征询题.由讲义上已经求出的置信区间,其中,可以开门见山得出答案.方法1：由题设,可见查标准正态分布表知分位点此题,因此,按照,有,即,故的置信度为0.95的置信区间是.方法2：由题设,查得,代入得置信区间.二、选择题(此题共5小
3、题,每题3分,总分值15分.每题给出的四个选项中,只需一项符合题目恳求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)【答案】(D)【分析】方法1：由题设知,积分地域在极坐标系中是1即是由与轴在第一象限所围成的破体图形,如右图.由于的最左边点的横坐标是,最右点的横坐标是1,下界线方程是上界线的方程是,从而的直角坐标表示是故(D)精确.方法2：采纳逐步淘汰法.由于(A)中二重积分的积分地域的极坐标表示为而(B)中的积分地域是单位圆在第一象限的部分,(C)中的积分地域是正方形因此,他们根本上不精确的.故应选(D).(2)【答案】(A)【分析】由于级数跟都收敛,可见级数收敛.由不等式及比较判非法知级数收
4、敛,从而收敛.又由于即级数收敛,故应选(A).设,可知(B)不精确.设,可知(C)不精确.设,可知(D)不精确.注：在此题中命题(D)“假设级数收敛,且,那么级数也收敛.不精确,这说明：比较判非法有用于正项级数收敛(或级数绝对收敛)的判不,但对任意项级数一般是不有用的.这是任意项级数与正项级数收敛性判不中的一个全然区不.(3)【答案】(C)【分析】伴随矩阵的全然关系式为,现将视为关系式中的矩阵,那么有.方法一：由及,可得故应选(C).方法二：由,左乘得,即.故应选(C).(4)【答案】(D)【分析】此题调查对向量组线性相关、线性有关不雅念的理解.假设向量组线性有关,即假设,必有.既然与不全为零
5、,由此推不出某向量组线性有关,故应打扫(B)、(C).一般情况下,对于不克不迭保证必有及故(A)不精确.由已经清楚条件,有,又与不全为零,故线性相关.应选(D).(5)【答案】(B)【分析】依题意因,故有.因此应选(B).注：有些考生差错地选择(D).他们认为(D)是全概率公式,对任何情况都成破,但是忽略了全概率公式中恳求作为条件的情况应称心,且是一致情况.【相关知识点】条件概率公式：.三、(此题总分值6分)【分析】(1)由于有二阶连续导数,故事前,也存在二阶连续导数,现在,可开门见山打算,且连续；事前,需用导数的定义求.事前,事前,由导数定义及洛必达法那么,有.因此(2)在点的连续性要用定义
6、来判定.由于在处,有.而在处是连续函数,因此在上为连续函数.四、(此题总分值6分)【分析】由可得.在方程单方分错误求偏导数,得因此.因此.五、(此题总分值6分)【分析】题的被积函数是幂函数与指数函数两类差异的函数相乘,应当用分部积分法.【分析】方法1:由于因此而,故原式.方法2:六、(此题总分值5分)【分析】由结论可知,假设令,那么.因此,只需证明在内某一区间上称心罗尔定理的条件.【分析】令,由积分中值定理可知,存在,使,由已经清楚条件,有因此且在上可导,故由罗尔定理可知,存在使得即【相关知识点】1.积分中值定理：假设函数在积分区间上连续,那么在上至少存在一个点,使下式成破：.谁人公式叫做积分
7、中值公式.2.罗尔定理：假设函数称心(1)在闭区间上连续；(2)在开区间内可导；(3)在区间端点处的函数值相当,即,那么在内至少有一点(),使得.七、(此题总分值6分)【分析】使用函数的单调性的判定,假设在的某个区间上导函数,那么函数单调递增,反之递减.【分析】(1)设售出商品的销售额为,那么令得.事前,因此随单价的增加,呼应销售额也将增加.事前,有,因此随单价的增加,呼应销售额将增加.(2)由(1)可知,事前,销售额取得最大年夜值,最大年夜销售额为.八、(此题总分值6分)【分析】令,那么.事前,原方程化为,即,其通解为或.代回原变量,得通解.事前,原方程的解与时一样,因由如下:令,因此,同时
8、.从而有通解,即.综合得,方程的通解为.注：由于未给定自变量的取值范围,因此在此题求解过程中,引入新未知函数后得,从而,应当分错误跟求解,在类似的征询题中,这一点应当牢记.九、(此题总分值8分)【分析】此题的(1)是调查特色值的全然不雅念,而(2)是把实对称矩阵公约于对角矩阵的征询题转化成二次型求标准形的征询题,用二次型的实践与方法来处理矩阵中的征询题.【分析】(1)由于是的特色值,故因此.(2)由于,要,而是对称矩阵,故可构造二次型,将其化为标准形.即有与公约.亦即.方法一：配方法.由于那么,令即经坐标变卦有.因此,取,有.方法二：正交变卦法.二次型对应的矩阵为,其特色多项式.的特色值.由,
9、即,跟,即,分不求得对应的线性有关特色向量,跟的特色向量.对用施密特正交化方法得,再将单位化为,其中：.取正交矩阵,那么,即.十、(此题总分值8分)【分析】证法1：(定义法)假设有一组数使得(1)那么因是的解,知,用左乘上式的单方,有.(2)由于,故.对(1)重新分组为.(3)把(2)代入(3)得.由因此基础解系,它们线性有关,故必有.代入(2)式得:.因此向量组线性有关.证法2：(用秩)经初等变卦向量组的秩波动.把第一列的-1倍分不加至其余各列,有因此由因此基础解系,它们是线性有关的,秩,又必不克不迭由线性表出(否那么),故.因此即向量组线性有关.十一、(此题总分值7分)【分析】设一周5个义
10、务日内发生缺点的天数为,那么遵从二项分布即.由二项分布的概率打算公式,有设一周内所赚钱润(万元),那么是的函数,且由团聚型随机变量数学期望打算公式,(万元).【相关知识点】1.二项分布的概率打算公式：假设,那么,.2.团聚型随机变量数学期望打算公式：.十二、(此题总分值6分)【分析】一枚色子(骰子)接连掷两次,其样本空间中样本点总数为36.设情况“方程有实根,“方程有重根,那么.用列举法求有利于的样本点个数(),具体做法见下表:有利于的意思的确是使不等式尽可以的成破,那么需要越大年夜越好,越小越好.当取遍1,2,3,4,5,6时,统计可以出现的点数有多少多种.B123456有利于的样本点数012466有利于的样本点数010100由古模范概率打算公式掉掉落【相关知识点】古模范概率打算公式：十三、(此题总分值6分)【分析】依题意,独破同分布,可见也独破同分布.由及方差打算公式,有因此,按照中心极限度理的极限分布是标准正态分布,即当充分大年夜时,近似遵从参数为的正态分布.【相关知识点】1.列维-林德伯格中心极限度理,又称独破同分布的中心极限度理：设随机变量独破同分布,方差存在,记与分不是它们一样的期望跟方差,那么对任意实数,恒有其中是标准正态分布函数.2.方差打算公式：.