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1、1991年世界硕士研究生入学不合检验数学三试题分析一、填空题(此题总分值15分,每题3分.)(1)【答案】【分析】方法一：先求出两个偏导数跟,然后再写出全微分,因此.方法二：使用一阶全微分方法波动性跟微分四那么运算法那么开门见山打算.(2)【答案】,【分析】由于曲线与都通过点那么,又曲线与在点有公切线,那么,即,亦即,解之得,.(3)【答案】；【分析】由高阶导数的莱布尼兹公式可知,.对函数求导,并令,得,解之得驻点,且故是函数的极小值点,极小值为.(4)【答案】【分析】使用分块矩阵,按可逆矩阵定义有,由对应元素或块相当,即从跟均为可逆矩阵知.故应填.(5)【答案】0.40.40.2【分析】由于
2、随机变量的分布函数在各区间上的分析式都与自变量有关,因此在的连续点,只需在的连续点处取值的概率才大年夜于零,且,那么,因此的概率分布为0.40.40.2二、选择题(此题总分值15分,每题3分.)(1)【答案】(A)【分析】由要紧极限可知,极限,.而极限,令,那么,因此.应选项(A)精确.(2)【答案】(D)【分析】由于,由收敛及比较判非法可知绝对收敛.即(D)精确.不的,设,那么可知(A),(C)都不精确.设,那么可知(B)不精确.(3)【答案】(B).【分析】由为的特色值可知,存在非零向量,使得.中间同时乘以,有,由公式掉掉落.因此.按特色值定义知是伴随矩阵的特色值.故应选(B).【相关知识
3、点】矩阵特色值与特色向量的定义：设是阶矩阵,假设存在数及非零的维列向量使得成破,那么称是矩阵的特色值,称非零向量是矩阵的特色向量.(4)【答案】(D)【分析】,假设,那么,即与互不相容；假设,那么,即与相容.由于、的任意性,应选项(A)(B)均不精确.任何情况肯定可以表示为两个互不相容情况与的跟.又因,从而,不的要留心区分独破与互不相容两个不雅观点,不要差错地把、互不相容同即是、相互独破而错选(C).,不相容,均不为零,因此,即(C)不精确.用打扫法应选(D).理想上,(5)【答案】(B)【分析】由于,因此有故应选(B).【相关知识点】假设两个随机变量的方差都大年夜于零,那么下面四个命题是等价
4、的：1) ；2) ；3) ；4) 跟不相关,即跟的相关联数.三、(此题总分值5分)【分析】方法一：这是型未定式极限.,其中指数上的极限是型未定式,由洛必达法那么,有.因此.方法二：由于,记,那么事前,从而.而,因此.又因.因此.四、(此题总分值5分)【分析】积分地域如图阴影部分所示.由,得.因此.令,有,故.五、(此题总分值5分)【分析】将原方程化为,由此可见原方程是齐次微分方程.令,有将其代入上式,得,化简得,即.积分得将代入上式,得通解.由条件,即求得.因此所求微分方程的特解.六、(此题总分值6分)【分析】先求出曲线跟的交点,然后使用定积分求出破体图形面积跟,如图：由得因此,.又由于,因此
5、,即,解得七、(此题总分值8分)【分析】方法1：总收入函数为,总利润函数为.由极值的需要条件,得方程组即.因驻点的唯一,且由征询题的理论含义可知必有最大年夜利润.故事前,厂家所获得的总利润最大年夜,其最大年夜总利润为方法2：两个市场的价钞票函数分不为,总收入函数为,总利润函数为.由极值的需要条件,得方程组因驻点的唯一,且由征询题的理论含义可知必有最大年夜利润.故当,即时,厂家所获得的总利润最大年夜,其最大年夜总利润为.八、(此题总分值6分)【分析】由于,因此.,单方对求导,得.令,为证函数为增函数,只需在上成破,即.方法一：使用单调性.由于,且,故,因此函数在上单调增加.又,因此有.从而,因此
6、函数在单调增加.方法二：使用拉格朗日中值定理.令,因此在区间存在一点,使得,即.又由于,因此,因此.故对一切,有.函数在单调增加.九、(此题总分值7分)【分析】设将分量代入掉掉落方程组对方程组的增广矩阵作初等行变卦.第一行分不乘以有、加到第二行跟第三行上,有,再第二行加到第三行上,因此有.假设且即且,那么,方程组有唯一解,即可由线性表示且表达式唯一.假设,那么,方程组有无穷多解,可由线性表示,且表达式不唯一.假设,那么,方程组无解,从而不克不迭由线性表示.【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设是矩阵,线性方程组有解的充分需要条件是系数矩阵的秩即是增广矩阵的秩,即是(或者说,可由的列向
7、量线表出,亦同即是与是等价向量组).设是矩阵,线性方程组,那么(1)有唯一解(2)有无穷多解(3)无解不克不迭由的列向量线表出.十、(此题总分值6分)【分析】关于判定二次型正定这类题目时,用“次第主子式整大年夜于0”的方法最为轻便.二次型的矩阵为,其次第主子式为正定的充分需要条件是各阶次第主子式都大年夜于0,因此有.解出其交集为,故时,为正定二次型.【相关知识点】二次型的定义：含有个变量的二次齐次多项式(即每项根本上二次的多项式)其中,称为元二次型,令,那么二次型可用矩阵乘法表示为其中是对称矩阵,称为二次型的矩阵.十一、(此题总分值6分)【分析】记,那么线性有关的充分需要条件是.由于,从而取行
8、列式,有.由此可见线性有关的充分需要条件是.【相关知识点】个维向量线性相关的充分需要条件是齐次方程组有非零解.特不地,个维向量线性相关的充分需要条件是行列式.十二、(此题总分值5分)【分析】起首判定的可以值是,其次打算取各种可以值的概率.设情况“汽车在第个路口首次遇到红灯,且相互独破.情况发生表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数为.因此有那么的概率分布为注：此题易犯的一个差错是将打算为,这是由于该街道仅有三个设有红绿旗帜暗记灯的路口,仅表示一切三个旗帜暗记灯路口均为绿灯,而不存在第四个有旗帜暗记灯路口征询题.十三、(此题总分值6分)【分析】二维均匀分布的联合密度函数为是地域的面积,因此的
9、联合密度.由连续型随机变量边缘分布的定义,跟的概率密度跟为.由一维连续型随机变量的数学期望的定义：,假设为奇函数,积分区间关于原点对称,那么积分为零,即是.故,由于被积函数为奇函数,故.,由于此二重积分地域关于轴对称,被积函数为的奇函数,因此积分式为0.由相关联数打算公式,因此跟的相关联数.(2)由于,可见随机变量跟不独破.十四、(此题总分值5分)【分析】最大年夜似然估计,实质上的确是寻出使似然函数最大年夜的那个参数,征询题的关键在于构造似然函数.现题设给出概率密度函数,那么似然函数(由因此单调递增函数,取最大年夜与取最大年夜取到的是不合的,而加对数后能把连乘转换成累加,如斯求导,寻极值比较便当).由对数似然方程得的最大年夜似然估计值.因此得的最大年夜似然估计量为.【相关知识点】似然函数的定义：设是呼应于样本的一组不雅观察值,那么似然函数为：.