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1、2001年天下硕士研讨生退学一致测验数学三试题一、填空题(1)设消费函数为,此中Q是产出量,L是休息投入量,K是资源投入量,而A,均为年夜于零的参数,那么当Q=1时K对于L的弹性为(2)某公司每年的人为总额比上一年添加20的根底上再追加2百万.假定以表现第t年的人为总额(单元：百万元)，那么满意的差分方程是_(3)设矩阵且秩(A)=3,那么k=(4)设随机变量X,Y的数学希冀基本上2,方差分不为1跟4,而相干联数为0.5.那么依照切比雪夫不等式.(5)设总体X听从正态散布而是来自总体X的复杂随机样本，那么随机变量听从_散布，参数为_二、抉择题(1)设函数f(x)的导数在x=a处延续,又那么()
2、(A)x=a是f(x)的极小值点.(B)x=a是f(x)的极年夜值点.(C)(a,f(a)曲直线y=f(x)的拐点.(D)x=a不是f(x)的极值点,(a,f(a)也不曲直线y=f(x)的拐点.(2)设函数此中那么g(x)在区间(0,2)内()(A)无界(B)递加(C)不延续(D)延续(3)设此中A可逆,那么等于()(A)(B)(C)(D).(4)设A是n阶矩阵，是n维列向量.假定秩秩，那么线性方程组()AX=必有无量多解AX=必有独一解.仅有零解必有非零解.(5)将一枚硬币反复掷n次,以X跟Y分不表现正面向上跟背面向上的次数,那么X跟Y的相干联数等于()(A)-1(B)0(C)(D)1三、(
3、此题总分值5分)设u=f(x,y,z)有延续的一阶偏导数,又函数y=y(x)及z=z(x)分不由以下两式断定:跟求四、(此题总分值6分)曾经明白f(x)在(,+)内可导,且求c的值.五、(此题总分值6分)求二重积分的值,此中D是由直线y=x,y=1及x=1围成的破体地区六、(此题总分值7分)曾经明白抛物线(此中p0)在第一象限与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的破体图形的面积为S.(1)咨询p跟q为何值时，S到达最年夜?(2)求出此最年夜值.七、(此题总分值6分)设f(x)在区间0,1上延续,在(0,1)内可导,且满意证实：存在(0,1),使得八、(此题总分值7分)曾经明白满意(n为
4、正整数)且求函数项级数之跟.九、(此题总分值9分)设矩阵曾经明白线性方程组AX=有解但不独一,试求:(1)a的值;(2)正交矩阵Q,使为对角矩阵.十、(此题总分值8分)设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，是中元素的代数余子式(i,j=1,2,n)，二次型(1)记把写成矩阵方式，并证实二次型的矩阵为;(2)二次型与的规范形能否一样？阐明来由.十一、(此题总分值8分)消费线消费的产物成箱包装,每箱的分量是随机的,假定每箱平均重50 千克,规范差为5千克.假定用最年夜载分量为5吨的汽车承运,试应用核心极限制理阐明每辆车最多能够装几多箱,才干保证不超载的概率年夜于0.977.(2)=0.977,此中(
5、x)是规范正态散布函数).十二、(此题总分值8分)设随机变量X跟Y春联跟散布是正方形G=(x,y)|1x3,1y3上的平均散布，试求随机变量U=XY的概率密度2001年天下硕士研讨生退学一致测验数学三试题剖析一、填空题(1)【谜底】【运用不雅点】设在处可导，且，那么函数对于的弹性在处的值为【详解】由，事先，即，有因而对于的弹性为：(2)【谜底】【详解】表现第t年的人为总额，那么表现第年的人为总额，再依照每年的人为总额比上一年添加20的根底上再追加2百万，因而由差分的界说可得满意的差分方程是：(3)【谜底】-3【详解】办法1：由初等变更(既可作初等行变更，也可作初等列变更).不改动矩阵的秩，故对
6、进展初等变更可见只要当k=3时，r(A)=3.故k=3.办法2：由题设r(A)=3，故应有四阶矩阵行列式.由解得k=1或k=3.当k=1时，可知，如今r(A)=1，不契合题意，因而必定有k=3.(4)【谜底】【所用不雅点性子】切比雪夫不等式为：希冀跟方差的性子：；【详解】把当作是一个新的随机变量，那么需求求出其希冀跟方差.故又相干联数的界说：那么因而由切比雪夫不等式：(5)【谜底】；【所用不雅点】1.散布的界说：此中2.散布的界说：假定互相独破，且都听从规范正态散布，那么3.正态散布规范化的界说：假定，那么【详解】因为，将其规范化有，从而依照卡方散布的界说由样本的独破性可知，与互相独破.故，依
7、照散布的界说故听从第一个自在度为10，第二个自在度为5的散布.二、抉择题(1)【谜底】B【详解】办法1：由知又函数的导数在处延续，依照函数在某点延续的界说，左极限等于右极限等于函数在这一点的值，因而，因而有即，依照断定极值的第二充沛前提：设函数在处存在二阶导数且，事先，函数在处获得极年夜值.知是的极年夜值点，因而，准确选项为(B).办法2：由及极限保号性定理：假如，且(或)，那么存在常数，使妥事先，有(或)，知存在的去心邻域，在此去心邻域内.因而推知，在此去心邻域内事先；事先又由前提知在处延续，由断定极值的第一充沛前提：设函数在处延续，且在的某去心范畴内可导，假定时，而时，那么在处获得极年夜值
8、，知为的极年夜值.因而，选(B).(2)【谜底】(D)【详解】应先写出g(x)的表白式.事先，有事先，有即因为，且，因而由函数延续的界说，知在点处延续，因而在区间内延续，选(D).异样，能够验证(A)、(B)不准确，时，枯燥增，因而(B)递加错；同理能够验证事先，枯燥增，因而，即与选项(A)无界抵触.(3)【谜底】(C)【详解】由所给矩阵不雅看，将的列调换，再将的列调换，可得.依照初等矩阵变更的性子，知将的列调换相称于在矩阵的右侧乘以，将的列调换相称于在矩阵的右侧乘以，即，此中，由题设前提知，因而.因为对初等矩阵有，故.因而，由，及逆矩阵的运算法则，有.(4)【谜底】【详解】由题设，是n阶矩阵
9、，是n维列向量，等于一维行向量，可知是阶矩阵.显然有秩秩即系数矩阵非列满秩，由齐次线性方程组有非零解的充要前提：系数矩阵非列或行满秩，可知齐次线性方程组必有非零解.(5)【谜底】【详解】掷硬币后果不是正面向上确实是背面向上，因而，从而，故由方差的界说：，因而)由协方差的性子：(为常数)；)因而由相干联数的界说，得三【变限积分求导公式】【详解】依照复合函数求导公式，有(*)在双方分不对求导，得即在双方分不对x求导，得即将其代入(*)式，得四【详解】因为(把写成)(把写成)(应用幂函数的性子)(应用对数性子)(应用对数性子)(应用函数的延续性，)(当各局部极限均存在时，)(应用函数的延续性，)(应
10、用)()又因为在内可导，故在闭区间上延续，在开区间内可导，那么又由拉格朗日中值定理，有阁下双方同时求极限，因而，因为，趋于无量年夜时，也趋势于无量年夜由题意，从而，故五【详解】积分地区如以下图，能够写成此中，因而六【详解】办法1：依题意知，抛物线如以下图，令，求得它与轴交点的横坐标为：依照定积分的界说，面积为(注：)因直线与抛物线相切，故它们有独一年夜众点.由方程组求其年夜众解，消去，得，因为其年夜众解独一，那么该一元二次方程只要独一解，故其判不式必为零，即解得将代入中，得依照函数除法的求导公式，依照驻点的界说，令，曾经明白有，得独一驻点.事先，；时，.故依照极值断定的第一充沛前提知，时，取独
11、一极年夜值，即最年夜值.从而最年夜值为办法2：设抛物线与直线相切的切点坐标为，切点既在抛物线上，也在直线上，因而满意方程有跟.抛物线与直线在切点处的切线歪率是相称的，即一阶导数值相称.在阁下双方对于求导，得，在阁下双方对于求导，得，把切点坐标代入，得由，将两后果代入得收拾得将代入中，得依照函数除法的求导公式，依照驻点(即便得一阶导数为零的点)的界说，令，曾经明白有，得独一驻点.事先，时，故依照极值断定的第一充沛前提知，时，取独一极年夜值，即最年夜值.从而最年夜值为七【详解】将要证的等式中的换成，移项，并命咨询题转化为证在区间内存在零点.将当作一个微分方程，用不离变量法求解.由双方积分得应用及，
12、得，即，命.由及积分中值定理(假如函数在闭区间上延续，那么在积分区间上至多存在一个点，使得)，知至多存在一点，使且，.把代入，那么那么在上延续，在内可导，由罗尔中值定理知，至多存在一点，使得即八【详解】由曾经明白前提可见，这是认为未知函数的一阶线性非齐次微分方程，此中，代入通解公式得其通解为由前提又，得，故记那么，那么其收敛半径为，收敛区间为.事先，依照幂级数的性子，能够逐项求导，此中故依照函数积分跟求导的关联，得又因为，因而，即有事先，.级数在此点处收敛，而左边函数延续，因而成破的范畴可扩展四处，即因而九【详解】(1)线性方程组有解但不独一，即有无量多解，将增广矩阵作初等行变更，得因为方程组
13、有解但不独一，因而，故a=2.(2)由(1)，有由故A的特点值为.事先，因而得方程组的同解方程组为可见，可知根底解系的个数为，故有1个自在未知量，选为自在未知量，取，解得对应的特点向量为.事先，因而得方程组的同解方程组为可见，可知根底解系的个数为，故有1个自在未知量，选为自在未知量，取，解得对应的特点向量为.事先，因而得方程组的同解方程组为可见，可知根底解系的个数为，故有1个自在未知量，选为自在未知量，取，解得对应的特点向量为.由因而实对称矩阵，其差别特点值的特点向量互相正交，故这三个差别特点值的特点向量互相正交，之需将单元化，此中，令那么有十【详解】(1)由题设前提，此中的来由：是可逆的实对
14、称矩阵，故，因而由实对称的界说知，也是实对称矩阵，又由随同矩阵的性子，知，因而也是实对称矩阵，故成破.(2)因为，因而由条约的界说知与条约.由实对称矩阵条约的充要前提：二次型与有一样的正、负惯性指数.可知，与有一样的正、负惯性指数，故它们有一样的规范形.十一【运用定理】(i)希冀的性子：；独破随机变量方差的性子：假定随机变量独破，那么(ii)列维-林德伯格核心极限制理：设随机变量互相独破同散布，方差存在，记分不是它们独特的希冀与方差，那么对恣意实数，恒有(浅显的说：独破同散布的随机变量，其希冀方差存在，那么只需随机变量充足的多，这些随机变量的跟以正态散布为极限散布)(iii)正态散布规范化：假
15、定，那么【详解】设是装运的第箱的分量(单元:千克)，n是所求箱数.由题设能够将视为独破同散布的随机变量，而n箱的总分量是独破同散布随机变量之跟.由题设，有(单元:千克)因而那么依照列维林德柏格核心极限制理，知近似听从正态散布，箱数依照下述前提断定(将规范化)由此得从而，即最多能够装98箱.十二【详解】由题设前提跟是正方形上的平均散布，那么跟的结合密度为：(二维平均散布的概率密度为)由散布函数的界说：(1)事先，(因为长短负的，因而小于0是不能够事情)(2)事先，(因为跟最年夜为3，跟最小为1，因而最年夜也就只能为2，因而是必定事情，概率为1)1O32123(3)事先，相称于暗影局部所占的概率巨细.如以下图：(二维平均散布中各局部所占的概率，相称于用这局部的面积除以总面积，这里暗影局部面积是用总面积减去两个三角形的面积)因而随机变量的概率密度为：