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1、中考数学综合专题训练【几何综合题】（几何）精品解析 在中考中，几何综合题主要考察了利用图形变换（平移、旋转、轴对称）证明线段、角的数量关系及动态几何问题。学生通常需要在熟悉基本几何图形及其辅助线添加的基础上，将几何综合题目分解为基本问题，转化为基本图形或者可及基本图形、方法类比，从而使问题得到解决。在解决几何综合题时，重点在思路，在老师讲解及学生解题时，对于较复杂的图形，根据题目叙述重复绘图过程可以帮助学生分解出基本条件和图形，将新题目及已有经验建立联系从而找到思路，之后绘制思路流程图往往能够帮助学生把握题目的脉络；在做完题之后，注重解题反思，总结题目中的基本图形及辅助线添加方法，将题目归类整
2、理；对于典型的题目，可以解析题目条件，通过拓展题目条件或改变条件，给出题目的变式，从而对于题目及相应方法有更深入的理解。同时，在授课过程中，将同一类型的几何综合题成组出现，分析讲解，对学生积累对图形的“感觉”有一定帮助。一.考试说明要求图形及证明中要求：会用归纳和类比进行简单的推理。图形的认识中要求：会运用几何图形的相关知识和方法（两点之间的距离，等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识，全等三角形的知识和方法，平行四边形的知识，矩形、菱形和正方形的知识，直角三角形的性质，圆的性质）解决有关问题；能运用三角函数解决及直角三角形相关的简单实际问题；能综合运用几何知识解决及圆周角有关的问题；能解决
3、及切线有关的问题。图形及变换中要求：能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。二.基本图形及辅助线解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题及“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。举例：1、及相似及圆有关的基本图形2、正方形中的基本图形 3、基本辅助线（1）角平分线过角平分线上的点向角的两边作垂线（角平分线的性质）、翻折；（2）及中点相关倍长中线（八字全等），中位线，直
4、角三角形斜边中线；（3）共端点的等线段旋转基本图形（60，90），构造圆；垂直平分线，角平分线翻折； 转移线段平移基本图形（线段）线段间有特殊关系时，翻折；（4）特殊图形的辅助线及其迁移梯形的辅助线（什么时候需要这样添加？）等作双高上底、下底、高、腰（等腰梯形）三推一；面积；锐角三角函数平移腰上下底之差；两底角有特殊关系（延长两腰）；梯形三角形平移对角线上下底之和；对角线有特殊位置、数量关系。注：在绘制辅助线时要注意同样辅助线的不同说法，可能会导致解题难度有较大差异。三.题目举例 (一)基本图形及辅助线的添加例1、已知： 平分（1）在图1中，若，。（填写“”或“”或“”）（2）在图2中，若，则
5、（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）在图3中：若，判断及的数量关系，并说明理由；若，则（用含的三角函数表示，直接写出结果，不必证明）解：(1) ABAD = AC-1分(2) 仍然成立证明：如图2过C作CEAM于E，CFAN于F，则CEA=CFA=90 AC平分MAN，MAN=120， MAC=NAC=60又 AC=AC， AECAFC， AE=AF，CE=CF 在RtCEA中，EAC=60， ECA=30， AC=2AE AE+AF=2AE=AC ED+DA+AF=AC ABCADC180，CDE+ADC=180， CDE=CBF又 CE=CF，CED=
6、CFB， CEDCFB ED=FB， FB+DA+AF=AC AB+AD=AC- 4分(3)AB+AD=AC证明：如图3，方法同(2)可证AGCAHCAG=AHMAN=60，GAC=HAC=30AG=AH=ACAG+AH=ACGD+DA+AH=AC方法同(2)可证GDCHBCGD=HB， HB+DA+AH=ACAD+AB=AC-6分ABADAC-7分例2、已知：中，中，, . 连接、，点、分别为、的中点. 图1 图2(1) 如图1，若、三点在同一直线上，且，则的形状是_，此时_；(2) 如图2，若、三点在同一直线上，且，证明，并计算的值（用含的式子表示）；(3) 在图2中，固定，将绕点旋转，直
7、接写出的最大值.例3、在RtABC中，ACB=90，tanBAC=. 点D在边AC上（不及A，C重合），连结BD，F为BD中点.（1）若过点D作DEAB于E，连结CF、EF、CE，如图1 设，则k = ；（2）若将图1中的ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示求证：BE-DE=2CF；（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值 解：（1）k=1； .2分（2）如图2，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD及AC的交点为Q. 由题意，tanBAC=， . D、E、B三点共线， AEDB. BQC=A
8、QD，ACB=90, QBC=EAQ. ECA+ACG=90，BCG+ACG=90， ECA=BCG. . . GB=DE. F是BD中点， F是EG中点.在中，, .5分（3）情况1：如图，当AD=时，取AB的中点M，连结MF和CM，ACB=90， tanBAC=，且BC= 6,AC=12，AB=.M为AB中点，CM=,AD=，AD=.M为AB中点，F为BD中点，FM= 2.当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时CF=CM+FM=.6分情况2：如图，当AD=时，取AB的中点M，连结MF和CM，类似于情况1，可知CF的最大值为. 7分综合情况1及情况2，可知当点D在靠近点C
9、的三等分点时，线段CF的长度取得最大值为.8分（二）直角三角形斜边中线+四点共圆例4、已知：在ABC中，ABC=90, 点E在直线AB上, ED及直线AC垂直, 垂足为D，且点M为EC中点, 连接BM, DM.（1）如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM及DM及BMD及BCD所满足的数量关系, 并直接写出你得到的结论；（2）如图2，若点E在BA延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明;（3）若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM及DM及BMD及BCD所满足的数量关系. 图1 图2（三）倍长过中点的线段例5、请阅读下列材料：问题：如图1
10、，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结若，探究及的位置关系及的值小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决DABEFCPG图1DCGPABEF图2请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段及的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好及菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明（3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）解：（1）线段及的位置关系是 ； （四）共端点
11、的等线段，旋转例6、如图1，在ABCD中，AEBC于E，E恰为BC的中点，.（1）求证：AD=AE； （2）如图2，点P在BE上，作EFDP于点F，连结AF. 求证：；（3）请你在图3中画图探究：当P为射线EC上任意一点（P不及点E重合）时，作EFDP于点F，连结AF，线段DF、EF及AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论.DAEBCADDAFPBCECBE图2图1图3HECBADFP21图8证明：（1）在RtABE中，AEB=90， 1分E为BC的中点， AE=BC. ABCD是平行四边形，AD=BC. AE=AD. 2分ECBAFPD图9H（2）在DP上截取DH=EF（如图8）四边形A
12、BCD是平行四边形，AEBC， EAD=90EFPD，12，ADH=AEFAD=AE，ADHAEF4分HAD=FAE，AH=AFFAH =90在RtFAH中， AH=AF， 即5分（3）按题目要求所画图形见图9， 线段DF、EF、AF之间的数量关系为：（五）利用平移变换转移线段，类比梯形平移对角线例7、我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形。请解答下列问题：（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60时，这对60角所对的两边之和及其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。利用平移
13、变换转移线段+作图8、（2011西城一模，25）在RtABC中，C=90，D，E分别为CB，CA延长线上的点，BE及AD的交点为P. （1）若BD=AC，AE=CD，在图1中画出符合题意的图形，并直接写出APE的度数； （2）若，求APE的度数.解：（1）如图9，APE= 45 . 2分 （2）解法一：如图10，将AE平移到DF，连接BF，EF3分图9则四边形AEFD是平行四边形 ADEF，AD=EF ， ， 4分 C=90， C=BDF ACDBDF5分 ，1=2图10 1+3=90， 2+3=90 BFAD BFEF6分 在RtBEF中， APE=BEF =307分解法二：如图11，将CA
14、平移到DF，连接AF，BF，EF3分则四边形ACDF是平行四边形 C=90， 四边形ACDF是矩形，AFD=CAF= 90，1+2=90图11 在RtAEF中，在RtBDF中， 3+2=1+2=90，即EFB =90 AFD=EFB 4分 又 ， ADFEBF 5分 4=56分 APE+4=3+5， APE=3=307分（六）翻折全等+等腰（及角平分线类比）例9、我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在中，点分别在上，设相交于点，若，请你写出图中一个及相
15、等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论解：（1）回答正确的给1分（如：平行四边形、等腰梯形等）。（2）答：及A相等的角是BOD（或COE），四边形DBCE是等对边四边形；（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE。 证法一：如图1，作CGBE于G点，作BFCD交CD延长线于F点。 因为DCB=EBC=A，BC为公共边， 所以BCFCBG， 所以BF=CG， 因为BDF=ABE+EBC+DCB，BEC=ABE+A， 所以BDF=BEC，可证BDFCEG， 所以BD=CE所以四边
16、形DBCE是等边四边形。证法二：如图2，以C为顶点作FCB=DBC，CF交BE于F点。 因为DCB=EBC=A，BC为公共边， 所以BDCCFB，所以BD=CF，BDC=CFB，所以ADC=CFE，因为ADC=DCB+EBC+ABE，FEC=A+ABE， 所以ADC=FEC， 所以FEC=CFE，所以CF=CE，所以BD=CE，所以四边形DBCE是等边四边形。说明：当AB=AC时，BD=CE仍成立。只有此证法，只给1分。二、从题目中获得方法的启发，类比解决问题（一）由角平分线启发翻折，垂线例1、如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全
17、等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE及FD之间的数量关系；（2）如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。解：图略（1）FE及FD之间的数量关系为FEFD。 （2）答：（1）中的结论FEFD仍然成立。 证法一：如下图，在AC上截取AGAE，连结FG因为12，AF为公共边 可证AEFAGF所以 AFEAFG，FEFG 由B60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线 可得236
18、0 所以AFECFDAFG60所以CFG60 由34及FC为公共边，可得CFGCFD所以FGFD所以FEFD 证法二：如下图，过点F分别作FGAB于点G，FHBC于点H因为B60，且AD、CE分别是BAC、BCA的平分线， 所以可得2360，F是ABC的内心 所以 GEF601，FGFH 又因为 HDFB1 所以 GEFHDF 因此可证EGFDHF 所以 FEFD（二）启发利用重心分中线，中点相关内容例2、我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质： 重心到顶点的距离及重心到该顶点对边中点的距离之比为21请你用此性质解决下面的问题.已知：如图，点为等腰
19、直角三角形的重心，直线过点,过三点分别作直线的垂线，垂足分别为点. (1)当直线及平行时（如图1），请你猜想线段和三者之间的数量关系并证明； (2) 当直线绕点旋转到及不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段三者之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明图1 图2 图3解（1）猜想：BE+CF=AD 1分证明：如图，延长AO交BC于M点，点为等腰直角三角形的重心AO=2OM且AMBC又EFBC AM EFBEEF,CFEF图1EBOMCF EB=OM=CF图2EB+CF=2OM=AD 3分 （2）图2结论：BE+CF=AD证明：联
20、结AO并延长交BC于点G, 过G做GHEF于H由重心性质可得AO=2OGADO=OHG=90, AOD=HOGAODGOH 图3AD=2HG 5分O为重心G为BC中点GHEF,BEEF,CFEFEBHGCFH为EF中点HG=(EB+CF)EB+CF=AD 7分(3)CFBE= AD 8分（三）由特殊形解题启发构造哪些相等的角例3、如图，P为ABC内一点，连接PA、PB、PC，在PAB、PBC和PAC中，如果存在一个三角形及ABC相似，那么就称P为ABC的自相似点 图，已知RtABC中，ACB=90，ABCA，CD是AB上的中线，过点B作BECD，垂足为E，试说明E是ABC的自相似点在ABC中，
21、ABC如图，利用尺规作出ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；若ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数BBBCCCAAADPE(三) 一题多解及题目的变式及类题1、点M为正方形ABCD的边AB（或延长线上）任一点（不及A，B重合），射线MN及的外角平分线交于点N，求证：DM=MN. 【变式】A、方法类比，改变图形（1）等边三角形ABC中，在BC边上任取一点D（不及A，B重合）， 作 ， DE交C的外角平分线于E，判断ADE的形状，并证明。若D是射线BC上任一点，上述结论是否成立? （2）(2008西城一模，25)如图,正六边形ABCDEF,点M在AB边上，,MH及
22、六边形外角的平分线BQ交于H点. 当点M不及点A、B重合时，求证：AFM=BMH;当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动(点M不及点B重合)时,猜想FM及MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明.B、改变背景（3）（2011密云一模，24）如图，边长为5的正方形的顶点在坐标原点处，点分别在轴、轴的正半轴上，点是边上的点（不及点重合），且及正方形外角平分线交于点.（1）当点坐标为时，试证明；（2）如果将上述条件“点坐标为（3，0）”改为“点坐标为（，0）（）”，结论是否仍然成立，请说明理由；（3）在轴上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理由.2、如图，在正方形
23、ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF45 ，求证：EFBEFD【变式】方法类比，特殊到一般削弱题目条件（1）如图，在四边形ABCD中，ABAD，B+D180，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF是BAD的一半，那么结论EFBEFD是否仍然成立？若成立，请证明；请写出它们之间的数量关系，并证明.改变图形（2）在四边形ABCD中，ABAD，B+D180，延长BC到点E，延长CD到点F，使得EAF仍然是BAD的一半，则结论EFBEFD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.3、旋转特殊角度转移线段，比较线段大小（求最值）（2011房山一模，25）已知
24、：等边三角形ABC（1） 如图1，P为等边ABC外一点，且BPC=120试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想；图1图2（2）如图2，P为等边ABC内一点，且APD=120求证：PA+PD+PCBD 【类题】1、已知:在ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:（1）如图1，当点D及点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且ACB=60，则CD= ；（2）如图2，当点D及点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且ACB=90，则CD= ；（3）如图3，当ACB变化,且点D及点C位于直线AB的两侧时，求 CD的最大值及相应的ACB的度数. 图1 图
25、2 图3解：（1）；1（2）； 2（3）以点D为中心，将DBC逆时针旋转60，则点B落在点A，点C落在点E.联结AE,CE，CD=ED，CDE=60，AE=CB= a，CDE为等边三角形，CE=CD. 4当点E、A、C不在一条直线上时，有CD=CEAE+AC=a+b；当点E、A、C在一条直线上时， CD有最大值，CD=CE=a+b；此时CED=BCD=ECD=60，ACB=120，7因此当ACB=120时，CD有最大值是a+b. （三）启发构造三角形转移线段例2、已知：，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.（1）如图，当APB=45时，求AB及PD的长；（2）当APB
26、变化，且其它条件不变时，求PD 的 最大值，及相应APB的大小.例3、如图1，在梯形ABCD中，ADBC，C=90，点E为CD的中点，点F在底边BC上，且FAE=DAE（1）请你通过观察、测量、猜想，得出AEF的度数；（1）的方法多样（垂线段，倍长，中位线）但是其中有的不好迁移到后面，需要在多种方法中选取（2） 若梯形ABCD中，ADBC，C不是直角，点F在底边BC或其延长线上，如图2、图3，其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否仍然成立，若都成立，请在图2、图3中选择其中一图进行证明；若不都成立，请说明理由 图1 图2 图3【类题】已知点A，B分别是两条平行线，上任意两点，C是直线上一点，
27、且ABC=90，点E在AC的延长线上,BCAB (k0).（1）当1时，在图（1）中，作BEFABC，EF交直线于点F.，写出线段EF及EB的数量关系，并加以证明；（2）若1，如图(2)，BEFABC，其它条件不变，探究线段EF及EB的数量关系，并说明理由（1） （2）(四) 方法的综合应用1、如图，已知（1）请你在边上分别取两点（的中点除外），连结，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明2、问题：已知ABC中，BAC=2ACB，点D是ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA。探究DBC及ABC度数的比值。 请你完
28、成下列探究过程： 先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。 (1) 当BAC=90时，依问题中的条件补全右图。 观察图形，AB及AC的数量关系为 ； 当推出DAC=15时，可进一步推出DBC的度数为 ； 可得到DBC及ABC度数的比值为 ；(2) 当BAC90时，请你画出图形，研究DBC及ABC度数的比值是否及(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。3、在ABC中，点P为BC的中点（1）如图1，求证：AP（AB+AC）；（2）延长AB到D，使得BD=AC，延长AC到E，使得CE=AB，连结DE如图2，连结BE，若BAC=60，请你探究线段BE及线段AP之间的数量关系写出你
29、的结论，并加以证明；请在图3中证明：BCDE4、在ABCD中，BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。（1）在图1中证明；（2）若，G是EF的中点（如图2），直接写出BDG的度数；（3）若，FGCE，分别连结DB、DG（如图3），求BDG的度数。 (五)动点问题及分类讨论不确定性引发分类讨论(1)等腰三角形顶角顶点；(2)相似三角形对应点；(3)已知两点（三点）+限制条件定平行四边形（特殊梯形）；注意：分类不重不漏；动点问题定界点。由位置的不确定引发的分类讨论1、在RtABC中，ACB=90，BC=30，AB=50点P是AB边上任意一点，直线PEAB，及边AC或BC相交于E点M在线段
30、AP上，点N在线段BP上，EM=EN，sinEMP=（1）如图1，当点E及点C重合时，求CM的长；（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不及点A、C重合，设AP=x，BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若AMEENB（AME的顶点A、M、E分别及ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长图1 图2 备用图由图形的不确定引发的分类讨论，相似2、（2010密云一模，25）如图，在梯形中， ，梯形的高为4动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动设运动的时间为（秒）（1）当时，求的值；（2）试探究：为何值时，为
31、等腰三角形及面积有关的动点问题3、等边ABC边长为6，P为BC边上一点，MPN=60，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F.（1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PEAB时，判断EPF的形状；（2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PEAB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y及x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）如图3，若点P在BC边上运动，且MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.图1 图2 图34、在ABCD中，过点C作CECD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90得到线段EF（如图1）. （1）在图1中画图探究：当为射线CD上任意一点（不及C点
32、重合）时，连结，将线段绕点E逆时针旋转90得到线段.判断直线及直线CD的位置关系并加以证明；当点为线段DC的延长线上任意一点时，连结，将线段绕点E逆时针旋转90得到线段.判断直线及直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.（2）若AD=6， AE =1，在的条件下，设=x， =y，求y及x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围. 图1图2（备用）5、如图1，在RtABC中，C90，AC9cm，BC12cm在RtDEF中，DFE90，EF6cm，DF8cmE，F两点在BC边上，DE，DF两边分别及AB边交于G，H两点现固定ABC不动，DEF从点F及点B重合的位置出发，沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P从点F出发，在折线FDDE上以2cm/s的速度向点E运动DEF及点P同时出发，当点E到达点C时，DEF和点P同时停止运动设运动的时间是t（单位：s），t0（1）当t2时，PH= cm ，DG = cm；（2）t为多少秒时PDE为等腰三角形？请说明理由；（3）t为多少秒时点P及点G重合？写出计算过程；（4）求tanPBF的值（可用含t的代数式表示）29 / 29