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1、第2讲三角函数、解三角形中的运用题考情考向分析在理论咨询题中以角为自变量树破函数，运用三角函数的性质求解理论咨询题与解三角形有关的运用题，能够运用正弦定理、余弦定理解三角形，进而处置理论咨询题抢手一跟三角函数有关的运用题例1(2019南通联考)如图，某公园内有一块矩形绿地区域ABCD，已经清楚AB100米，BC80米，在以AD，BC为直径的两个半圆内种植花草，不的地区种植苗木现决定在绿地区域内修建由直路BN，MN跟弧形路MD三局部形成的不雅观赏道路，其中直路MN与绿地区域界线AB平行，直路为水泥路面，其工程造价为每米2a元，弧形路为鹅卵石路面，其工程造价为每米3a元(a0)，修建的总造价为W元
2、.设NBC.(1)求W关于的函数关系式；(2)怎么样修建道路，可使修建的总造价最少？并求最少总造价解(1)贯串衔接NC，AM，设AD的中点为O，贯串衔接MO，过N作NEBC，垂足为E.由BC为直径知，BNC90，又BC80，NBC，因此BN80cos，NEBNsin80sincos，由于MNAB，AB100，因此MNAB2NE100160sincos，由于DOM2MAD2，OM40，因此40280，由于直路的工程造价为每米2a元，弧形路的工程造价为每米3a元，因此总造价为W2a(BNMN)3a2a(80cos100160sincos)3a80，40a(4cos8sincos65).因此W关于的
3、函数关系式为W40a(4cos8sincos65).(2)记f()4cos8sincos65,0，那么f()4sin8cos28sin2616sin24sin22(4sin1)(2sin1)令f()0，得，列表如下：f()0f()极小值f因此当时，f()获得最小值，如今，总造价W最少，最少总造价为(20040)a元答当时，修建的总造价最少，最少总造价为(20040)a元思维升华在求解与三角函数有关的运用题时，起首数形结合树破相关的三角函数模型，再运用三角恒等变卦、导数等求解最值，从而处置优化咨询题跟踪练习练习1(2019扬州调研)2019年扬州市政府方案在如以下图的某“葫芦形花坛中建一喷泉，该
4、花坛的界线由两个半径为12米的圆弧围成，两圆心O1，O2之间的间隔为12米在花坛中建矩形喷泉，四个顶点A，B，C，D均在圆弧上，O1O2AB于点M.设AO2M.(1)当时，求喷泉ABCD的面积S；(2)求cos为何值时，可使喷泉ABCD的面积S最大年夜？解(1)在RtAO2M中，AM12sin6，O2M12cos12cos6，那么AD1212，AB2AM12，因此SABAD12(1212)288144(平方米)答当时，矩形ABCD的面积S为(288144)平方米(2)在RtAO2M中，AM12sin，O2M12cos，那么AD24cos12，AB2AM24sin，因此矩形ABCD的面积S24s
5、in(24cos12)288(2sincossin)，0，令f()2sincossin，0，那么f()2(cos2sin2)cos4cos2cos2，0，令f()0，得cos.设cos0，且0，列表如下：(0，0)0f()0f()极大年夜值因此当0时，f()最大年夜，即S最大年夜如今cos0.答当cos为时，喷泉ABCD的面积S最大年夜抢手二跟解三角形有关的运用题例2(2019盐城模拟)某公园内有一块以O为圆心，半径为20米的圆形地区为丰富市夷易近的专业文化生活，现提出如下方案方案：如图，在圆形地区内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB地区，其中两个端点A，B分不在圆周上；不雅观众席为梯形ABQP内
6、且在圆O外的地区，其中APABBQ，PABQBA120，且AB，PQ在点O的同侧为保证视听结果，恳求不雅观众席内每一个不雅观众到舞台O处的间隔都不逾越60米设OAB，.咨询：关于任意，上述方案方案是否均能符合恳求？解过O作OH垂直于AB，垂足为H.在RtOHA中，OA20，OAH，因此AH20cos，因此AB2AH40cos.由图可知，点P处不雅观众离点O处最远贯串衔接OP，在OAP中，由余弦定理可知OP2OA2AP22OAAPcos400(40cos)222040cos400400800sin1600.由于，因此当2，即时，(OP2)max8001600，即(OP)max2020.由于202
7、00，那么SAEFa2，当且仅当t7a即x时取等号，因此当x时，SAEF最小，因此z最小，如今y.答当点E间隔点A米，F间隔点A米远时，三条路围成的三角形土地购价最低.1(2018江苏，17)某农场有一块农田，如以下图，它的界线由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)跟线段MN形成已经清楚圆O的半径为40米，点P到MN的间隔为50米现方案在此农田上修建两个温室大年夜棚，大年夜棚内的地块形状为矩形ABCD，大年夜棚内的地块形状为CDP，恳求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上设OC与MN所成的角为.(1)用分不表示矩形ABCD跟CDP的面积，并判定sin的取值范围；(2)假设大年夜棚内种植甲
8、种蔬菜，大年夜棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43.求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大年夜解(1)如图，设PO的延长线交MN于点H，那么PHMN，因此OH10.过点O作OEBC于点E，那么OEMN，因此COE，故OE40cos，EC40sin，那么矩形ABCD的面积为240cos(40sin10)800(4sincoscos)，CDP的面积为240cos(4040sin)1600(cossincos)过点N作GNMN，分不交圆弧跟OE的延长线于点G跟K，那么GKKN10.令GOK0，那么sin0，0.当时，才能作出称心条件的矩形ABCD，因此sin的取值范围
9、是.答矩形ABCD的面积为800(4sincoscos)平方米，CDP的面积为1600(cossincos)平方米，sin的取值范围是.(2)由于甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k(k0)，那么年总产值为4k800(4sincoscos)3k1600(cossincos)8000k(sincoscos)，.设f()sincoscos，那么f()cos2sin2sin(2sin2sin1)(2sin1)(sin1)令f()0，得，当时，f()0，因此f()为增函数；当时，f()0，因此f()为减函数，因此，当时，f()取到最大年夜值
10、答当时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大年夜2.如图，某公园有三条游览大道AB，BC，AC围成直角三角形，其中直角边BC200m，歪边AB400m现有甲、乙、丙三位小冤家分不在AB，BC，AC大道上玩耍，所在位置分不记为点D，E，F.(1)假设甲、乙都以每分钟100m的速度从点B动身在各自的大道上奔波，到大道的另一端时即停，乙比甲晚2分钟动身，当乙动身1分钟后，求如今甲、乙两人之间的间隔；(2)设CEF，乙、丙之间的间隔是甲、乙之间间隔的2倍，且DEF，请将甲、乙之间的间隔y表示为的函数，并求甲、乙之间的最小间隔解(1)依题意得BD300m，BE100m，在ABC中，cosB，B，在BDE中，
11、由余弦定理，得DE2BD2BE22BDBEcosB30021002230010070000，DE100m，答甲、乙两人之间的间隔为100m.(2)由题意得EF2DE2y，BDECEF，在RtCEF中，CEEFcosCEF2ycos，在BDE中，由正弦定理得，即，y，0，当时，y有最小值50.答甲、乙之间的最小间隔为50m.A组专题通关1.(2019常州检测)如图，某公园摩天轮的半径为40m，点O距空中的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每10min转一圈，摩天轮上的点P的肇端位置在最低点处(1)已经清楚在时刻t(min)时点P间隔空中的高度为f(t)Asin(t)B，其中A0，0，70，得cos
12、t，2kt2k，kN，解得10kt10k，kN，答摩天轮转动的一圈内，有min点P间隔空中逾越70m.2.如图，预备在墙上钉一个支架，支架由两直杆AC与BD焊接而成，焊接点D把杆AC分成AD，CD两段，其中两结实点A，B间间隔为1米，AB与杆AC的夹角为60，杆AC长为1米，假设制作AD段的本钞票为a元/米，制作CD段的本钞票是2a元/米，制作杆BD本钞票是4a元/米设ADB，那么制作全体支架的总本钞票记为S元(1)求S关于的函数表达式，并求出的取值范围；(2)咨询AD段多长时，S最小？解(1)在ABD中，由正弦定理得，BD，AD，那么Sa2a4aa，由题意得.(2)令Sa0，得cos，设co
13、s0.列表：0cosS0S极小值当cos时，S最小，如今sin，AD.答当AD段的长度为米时，S最小3.(2019江苏省如皋中学模拟)某公园预备在一圆形水池里设置两个不雅观景喷泉，不雅观景喷泉的表示图如以下图，A，B两点为喷泉，圆心O为AB的中点，其中OAOBa米，半径OC10米，市夷易近可位于水池边缘任意一点C处不雅观赏(1)假设当OBC时，sinBCO，求如今a的值；(2)设yCA2CB2，且CA2CB2232.(i)试将y表示为a的函数，并求出a的取值范围；(ii)假设同时恳求市夷易近在水池边缘任意一点C处不雅观赏喷泉时，不雅观赏角度ACB的最大年夜值不小于，试求A，B两处喷泉间间隔的最
14、小值解(1)在OBC中，由正弦定理得，因此OB，即a.(2)(i)在AOC中，由余弦定理得AC2100a220acosAOC，在BOC中，由余弦定理得BC2100a220acosBOC，又AOCBOC，因此CA2CB22002a2，即y2002a2.又CA2CB22002a2232，解得0a4，因此所求关系式为y2002a2，a(0,4(ii)当不雅观赏角度ACB的值最大年夜时，cosACB获得最小值在ABC中，由余弦定理可得cosACB1，当且仅当CACB时取等号由于ACB的最大年夜值不小于，因此1，解得a2010，经历证知2010(0,4，因此2a4020.答A，B两处喷泉间间隔的最小值为
15、(4020)米4(2019镇江调研)开拓商现有四栋楼A，B，C，D，楼D位于楼BC间，到楼A，B，C的间隔分不为1200m，600m，400m，且从D楼看楼A，B的视角为90.如以下图，不计楼大小跟高度(1)试求从楼A看楼B，C视角大小；(2)开拓商为寻求更大年夜开拓地区，拟再建三栋楼M，P，N，形成以楼AMPN为顶点的矩形开拓地区方案恳求楼B，C分不位于楼MP跟楼PN间，如以下图，记MAB，当等于多少多时，矩形开拓地区面积最大年夜？解(1)由于楼D到楼B，C的间隔分不为600m跟400m，到楼A的间隔为1200m，因此AD12百米，BD6百米，CD4百米由于从楼D看楼A，B的视角为90，那么
16、ADB90.那么tanBAD，tanCAD，因此tanBACtan(BADCAD)1.又0BADCAD，即BAC(0，)因此BAC.答从楼A看楼B，C视角的大小为.(2)在RtABD跟RtACD中，AB6，AC4，那么在RtABM中，AMABcos6cos，在RtACN中，ANACcos4cos.记矩形开拓地区AMPN的面积为f()，那么f()AMAN6cos4cos120coscos.又f()120cos(cossin)，6060(sin2cos2)6060sin，当2，即时，矩形开拓地区AMPN的面积最大年夜答当时，矩形开拓地区AMPN的面积最大年夜B组才能进步5(2019苏州调研)某校高
17、一数学研究小组测量黉舍的一座修养楼AB的高度已经清楚测角仪器间隔空中的高度为h米，现有两种测量方法：方法(如图1)用测角仪器，对准修养楼的顶部A，打算并记录仰角(rad)；行进a米，重复中的把持，打算并记录仰角(rad)方法(如图2)用测角仪器，对准修养楼的顶部A底部B，测出修养楼的视角ACB(rad)，测试点与修养楼的程度间隔为b米请你答复以下咨询题：(1)用数据，a，h表示出修养楼AB的高度；(2)按照方法，用数据，b，h表示出修养楼AB的高度解(1)由题意得：tan，tan，因此CE，DE，由于DECEa，因此a，AE，答修养楼AB的高度为AEhh(米)(2)如图，过C作CEAB，垂足为
18、E，那么tanBCE，因此tanACEtan(ACBBCE)，由于ACB，因此tanACEtan(ACBBCE).因此AECEtanACEb，因此修养楼AB的高度为bh，答修养楼AB的高度为米6.如图，已经清楚A，B两镇分不位于东西湖岸MN的A处跟湖中小岛的B处，点C在A的正东倾向1km处，tanBAN，BCN.现方案铺设一条电缆连通A，B两镇，有两种铺方案划：沿线段AB在水下铺设；在湖岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分不为2万元/km、4万元/km.(1)求A，B两镇间的间隔；(2)该当怎么样铺设，使总铺设费用最低？解(1)过B作
19、MN的垂线，垂足为D，如以下图在RtABD中，tanBADtanBAN，因此ADBD，在RtBCD中，tanBCDtanBCN1，因此CDBD.那么ACADCDBDBDBD1，即BD3，因此CD3，AD4，由勾股定理，得AB5(km)答A，B两镇间的间隔为5km.(2)方案：沿线段AB在水下铺设时，总铺设费用为5420(万元)方案：当BPMN时，总铺设费用为244320(万元)；当BP与MN不垂直时，设BPD，那么，其中0BAN，在RtBDP中，DP，BP，因此AP4DP4.那么总铺设费用为2AP4BP886.设f()，那么f()，令f()0，得，列表如下：f()0f()极小值因此f()的最小值为f.因此方案的总铺设费用最小为86(万元)，如今AP4.而8620，答应选择方案进展铺设，当点P选在A的正东倾向(4)km处时，总铺设费用最低