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1、第2讲圆锥曲线中的全然量考情考向分析圆锥曲线中的全然量咨询题一般以定义、标准方程、几多何性质等作为考察的重点，多为填空题椭圆的有关知识为B级恳求，双曲线、抛物线的有关知识为A级恳求抢手一圆锥曲线的定义跟标准方程例1(1)设双曲线与椭圆1有共同的中心，且与椭圆订交，其中一个交点的坐标为(，4)，那么此双曲线的标准方程是_答案1分析方法一椭圆1的中心坐标是(0，3)，设双曲线方程为1(a0，b0)，依照双曲线的定义知，2a|4，故a2.又b232a25，故所求双曲线的方程为1.方法二椭圆1的中心坐标是(0，3)设双曲线方程为1(a0，b0)，那么a2b29，又点(，4)在双曲线上，因此1，联破解得
2、a24，b25.故所求双曲线的方程为1.方法三设双曲线的方程为1(27b0)的左、右中心分不为F1，F2，上顶点为A，射线AF2交椭圆于B.假设AF1B的面积为40，F1AB60，那么椭圆的方程为_答案1分析由题意可得AF1F2为等边三角形，即有2ca，bc，可得椭圆方程为3x24y212c2，设直线AB的方程为xyc，代入椭圆方程可得34y212c2，化为5y22cy9c20，解得yc或yc，即AF1B的面积为2c|yAyB|cc40，可得c5，因此a10，b275.即椭圆的方程为1.思维升华(1)关于圆锥曲线的定义不仅需熟记，还要深化理解细节局部：比方椭圆的定义恳求PF1PF2F1F2，双
3、曲线的定义中恳求|PF1PF2|F1F2.(2)留心数形结合，画出公正草图跟踪练习练习1(1)(2019盐城调研)已经清楚抛物线y216x上任意一点到双曲线1右中心的间隔比到左准线的间隔大年夜1，那么a2_.答案12分析抛物线y216x中，p8，中心为F(4,0)，准线方程为x4；依照抛物线的定义：抛物线上的点到中心的间隔等于到准线的间隔，可掉丢掉双曲线1的右中心为F(4,0)，左准线方程为x3，c4，且3，解得a212.(2)如图，过抛物线y22px(p0)的中心F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，假设BC2BF，且AF3，那么此抛物线方程为_答案y23x分析如图，分只是点A，B作
4、准线的垂线，分不交准线于点E，D，设准线与x轴的交点为G，设BFa，那么由已经清楚得BC2a，由抛物线定义，得BDa，故BCD30，在RtACE中，AEAF3，AC33a，由2AEAC，得633a，从而得a1，FC3a3.pFGFC，因此抛物线方程为y23x.抢手二圆锥曲线的几多何性质例2(1)(2019江苏省苏州市阳光目的调研)如图，在破体直角坐标系xOy中，点A，F分不是椭圆1(ab0)的右顶点跟右中心，点B，C分不是椭圆的上、下顶点假设ABCF，那么该椭圆离心率为_答案分析在破体直角坐标系xOy中，点A，F分不是椭圆1(ab0)的右顶点跟右中心，点B，C分不是椭圆的上、下顶点假设ABCF
5、，可得1，可得b2aca2c2，可得e2e10，e(0,1)，解得e.(2)(2019淮安测试)已经清楚椭圆M的方程为1(ab0)，双曲线N的方程为1(m0，n0)，假设该双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点以及椭圆的两个中心恰为一个正六边形的六个顶点，那么椭圆的离心率与双曲线的离心率之跟为_答案1分析椭圆M的方程为1(ab0)，双曲线N的方程为1(m0，n0)，假设双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个中心恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的中心坐标为F2(c,0)，F1(c,0)，正六边形的一个顶点为A.AF1AF22a，由于cc2a，因此椭圆离心率e11.同时，双曲线的一条渐近
6、线的歪率为，即，可得双曲线的离心率为e22.因此椭圆的离心率与双曲线的离心率之跟为121.思维升华处置椭圆跟双曲线的离心率的求值及范围咨询题，其关键确实是确破一个关于a，b，c的方程或不等式，再依照a，b，c的关系消灭落b掉丢掉a，c的关系式，要充分使用椭圆跟双曲线的几多何性质、图形的构造特色、点的坐标的范围等跟踪练习练习2(1)(2019盐城期末)已经清楚椭圆1(ab0)的左、右两个中心分不为F1，F2，以F1F2为歪边的等腰直角三角形PF1F2与椭圆有两个差异的交点M，N，且MNF1F2，那么该椭圆的离心率为_答案分析以F1F2为歪边的等腰直角三角形PF1F2与椭圆有两个差异的交点M，N，
7、且MNF1F2，P(0，c)，F2(c,0)，N，NF1NF22a，即2a，e.(2)(2019江苏省扬州中学月考)已经清楚双曲线1(a0，b0)的左、右中心分不为F1，F2，直线MN过F2，且与双曲线右支交于M，N两点，假设cosF1MNcosF1F2M，那么双曲线的离心率等于_答案2分析如图，由cosF1MNcosF1F2M可得F1MNF1F2M，F1MF1F22c，F1N2F1M4c，由双曲线的定义可得MF22c2a，NF24c2a，MN6c4a，在F1MN中，由余弦定理得cosF1MN，在F1F2M中，由余弦定理得，cosF1F2M，cosF1MNcosF1F2M，拾掇得3c27ac2
8、a20，3e27e20，解得e2或e(舍去)双曲线的离心率等于2.抢手三直线与圆锥曲线例3(2019海门联考)已经清楚椭圆C：1(ab0)的离心率为，且通过点(3,1)过点M(0,1)的直线l与椭圆C订交于A，B两点，且与椭圆C的左准线交于点N.(1)求椭圆C的标准方程；(2)当ABMN时，求直线l的方程解(1)由椭圆C：1(ab0)的离心率为，且通过点(3,1)，可得解得a2，b2，c2，椭圆C的标准方程为1.(2)易知直线l的歪率存在，设直线l的方程为ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，椭圆的左准线方程为x3，N(3，13k)，又M(0,1)，MN3，由得(13k2)x26kx9
9、0，36k236(13k2)36(14k2)0恒成破，x1，x2，AB，ABMN，3，解得k1，直线l的方程为yx1，即xy10.思维升华处置直线与圆锥曲线咨询题的通法是联破方程组求解点的坐标或使用根与系数的关系、设而不求等求解，解题中要留心应用条件0.涉及中点咨询题也能够用点差法跟踪练习练习3(1)过双曲线1上任意一点P，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R，Q两点，那么的值为_答案a2分析设P，那么R，Q，因此x2y2a2.(2)(2018扬州期末)歪率为的直线l通过椭圆1(ab0)的左顶点A，且与椭圆交于另一个点B，假设在y轴上存在点C使得ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，那么该椭
10、圆的离心率为_答案分析直线l的方程为x3ya，联破得(a29b2)y26ab2y0，解得y0或y，那么B，AB的中点为M，AB的中垂线方程为y3，令x0，得C，那么，那么0，即a0，化简，得a23b2，那么c22b2，该椭圆的离心率为e.1(2018江苏，8)在破体直角坐标系xOy中，假设双曲线1(a0，b0)的右中心F(c,0)到一条渐近线的间隔为c，那么其离心率的值为_答案2分析双曲线的渐近线方程为bxay0，中心F(c,0)到渐近线的间隔db.bc，ac，e2.2(2019世界，理，16)已经清楚双曲线C：1(a0，b0)的左、右中心分不为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分不交于
11、A，B两点假设，0，那么C的离心率为_答案2分析由于0，因此F1BF2B，如图由于，因此点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，因此OABF2，因此F1BOA，因此OF1OB，因此BF1OF1BO，因此BOF22BF1O.由于直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，因此tanBOF2，tanBF1O.由于tanBOF2tan(2BF1O)，因此，因此b23a2，因此c2a23a2，即2ac，因此双曲线的离心率e2.3设椭圆C：1(ab0)的左顶点为A，上顶点为B，AB，且椭圆的离心率为，那么过椭圆C的右中心F2且与直线AB平行的直线l的方程为_答案2x3y20分析由题意得a3，b2，c.椭圆
12、的右中心坐标为(，0)，由题意得直线AB的歪率为，l：y0(x)，l：2x3y20.4.如图，在破体直角坐标系xOy中，F是椭圆1(ab0)的右中心，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90，那么该椭圆的离心率是_答案分析联破方程组解得B，C，又F(c,0)，那么，又由BFC90，可得0，即c2a20，(*)又由于b2a2c2.代入(*)式可化简为，那么椭圆离心率为e.5(2017江苏，17)如图，在破体直角坐标系xOy中，椭圆E：1(ab0)的左、右中心分不为F1，F2，离心率为，两准线之间的间隔为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线
13、l2.(1)求椭圆E的标准方程；(2)假设直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标解(1)设椭圆的半焦距为c.由于椭圆E的离心率为，两准线之间的间隔为8，因此，8，解得a2，c1，因此b，因此椭圆E的标准方程是1.(2)由(1)知，F1(1,0)，F2(1,0)设P(x0，y0)，由于P为第一象限内的点，故x00，y00.当x01时，l2与l1订交于F1，与题设不符当x01时，直线PF1的歪率为，直线PF2的歪率为.由于l1PF1，l2PF2，因此直线l1的歪率为，直线l2的歪率为，从而直线l1的方程为y(x1)，直线l2的方程为y(x1)由，解得xx0，y，因此Q.由于点Q在椭圆E上，
14、由对称性，得y0，即xy1或xy1.又点P在椭圆E上，故1.由解得x0，y0；由无解因此点P的坐标为.A组专题通关1(2019南京调研)在破体直角坐标系xOy中，P是椭圆C：y21上一点假设点P到椭圆C的右中心的间隔为2，那么它到椭圆C的右准线的间隔为_答案分析椭圆C：y21，可得e，设点P到椭圆C的右准线的间隔为d，那么d.2(2019江苏)在破体直角坐标系xOy中，假设双曲线x21(b0)通过点(3,4)，那么该双曲线的渐近线方程是_答案yx分析由于双曲线x21(b0)通过点(3,4)，因此91，得b，因此该双曲线的渐近线方程是ybxx.3在破体直角坐标系xOy中，已经清楚双曲线1上一点M
15、的横坐标为3，那么点M到此双曲线的右中心的间隔为_答案4分析设右中心为F(4,0)把x3代入双曲线方程得y，即M(3，)由两点间间隔公式得MF4.4抛物线x22py(p0)的准线交圆x2y26y160于A，B两点，假设AB8，那么该抛物线的中心为_答案(0,6)分析抛物线的准线方程为y，由圆x2y26y160，可得圆心为(0，3)，半径为5，抛物线x22py(p0)的准线交圆x2y26y160于A，B两点，AB8，那么，解得p12.因此抛物线的中心坐标为(0,6)5已经清楚圆x2y24x30与双曲线1(a0，b0)的渐近线相切，那么双曲线的离心率为_答案分析圆x2y24x30化为标准方程(x2
16、)2y21，咨询题转化为圆心(2,0)到直线yx的间隔等于1，依照点到直线间隔公式有1，解得2，因此双曲线的离心率为e.6已经清楚双曲线1(a0，b0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个中心在抛物线y24x的准线上，那么双曲线的方程为_答案1分析双曲线1的渐近线方程为yx，又渐近线过点(2，)，因此，即2ba，抛物线y24x的准线方程为x，由已经清楚，得，即a2b27，联破，解得a24，b23，因此双曲线的方程为1.7在破体直角坐标系xOy中，通过点(0,)且歪率为k的直线l与椭圆y21有两个差异的交点，那么k的取值范围为_答案分析设直线l的方程为yk(x0)，即ykx，与椭圆方程联破可
17、得(2k21)x24kx20，由于直线与椭圆有两个差异的交点，因此28(2k21)0，解得k的取值范围为.8(2019泰州模拟)已经清楚椭圆C：1，过点P(0,6)的直线l与椭圆C交于A，B两点，假设A是线段PB的中点，那么点A的坐标为_答案(2,3)或(2,3)分析当直线l歪率不存在时，l方程为：x0A(0，2)，B(0，2)，特不显然不称心题意，舍去，当直线l歪率存在时，设l：ykx6，代入椭圆方程得(34k2)x248kx960，令A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1x2，x1x2，A为PB中点，x22x1，可得3x1x1，2xx，解得k2，经检验，符合题意，x12，故A(2,3
18、)或A(2,3)9(2019盐城期末)已经清楚椭圆1的右中心为F，A为椭圆在第一象限内的点，贯串衔接AF并延长交椭圆于另一点B，贯串衔接AO(O为坐标原点)并延长交椭圆于点C，假设SABC3，求点A的坐标解由题意可得F(1,0)，设AB的方程为xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联破椭圆方程可得(43m2)y26my90，(6m)236(43m2)0恒成破，解得y1，y2.因此|y1y2|.由O为AC的中点，且ABC的面积为3，可得ABO的面积为，SABOSAOFSBOFOF|y1y2|，即有|y1y2|3，可得9，化为9m48m20，即m0，那么ABx轴，可得A.10.如图，在破体
19、直角坐标系xOy中，已经清楚椭圆1(ab0)的离心率为，两条准线之间的间隔为4.(1)求椭圆的标准方程；(2)已经清楚椭圆的左顶点为A，点M在圆x2y2上，直线AM与椭圆订交于另一点B，且AOB的面积是AOM的面积的2倍，求直线AB的方程解(1)设椭圆的焦距为2c，由题意得，4，解得a2，c，因此b.因此椭圆的方程为1.(2)方法一由于SAOB2SAOM，因此AB2AM，因此点M为AB的中点由于椭圆的方程为1，因此A(2,0)设M(x0，y0)，那么B(2x02,2y0)因此xy，1，由得9x18x0160，解得x0，x0(舍去)把x0代入，得y0，因此kAB，因此，直线AB的方程为y(x2)
20、，即x2y20或x2y20.方法二由于SAOB2SAOM，因此AB2AM，因此点M为AB的中点由题意知，直线AB的歪率必存在，设直线AB的方程为yk(x2)由得(12k2)x28k2x8k240，因此(x2)(12k2)x4k220，解得xB，因此xM，yMk(xM2)，代入x2y2，得22，化简得28k4k220，即(7k22)(4k21)0，解得k，因此，直线AB的方程为y(x2)，即x2y20或x2y20.B组才能进步11(2019江苏省仪征中学期中)已经清楚点A(0,2)，B(2,0)假设点C在抛物线x2y的图象上，那么使得ABC的面积为2的点C的个数为_答案4分析由于AB2，设C(a
21、，a2)到直线AB：xy20的间隔为d，那么由ABC的面积为2，可得22d，解得d，即，化简得aa222或aa222，解得a或a1或a0，故称心条件的点C的个数为4.12在破体直角坐标系xOy中，椭圆C：1跟直线l：xy90.在l上取一点M，通过点M且与椭圆C有共同中心的椭圆中，长轴最短的椭圆的标准方程为_答案1分析设椭圆C：1的左、右中心分不为F1，F2，那么F1(3,0)，F2(3,0)，在l上取一点M，通过点M且与椭圆C有共同中心的椭圆中，长轴最短，即在l上取一点M使它到F1(3，0)，F2(3，0)的间隔跟最小，设F1关于l：xy90的对称点为A(x1，y1)，那么解得A(9,6)，设
22、所求椭圆的标准方程为1(ab0)，由几多何性质可得长轴最短时，A，M，F2三点共线，如今2aAF26，即a3，又c3，因此b2a2c245936，因此所求椭圆的标准方程为1.13已经清楚M，N是离心率为2的双曲线1(a0，b0)上关于原点对称的两点，P是双曲线上的动点，且直线PM，PN的歪率分不为k1，k2，k1k20，那么|k1|4|k2|的最小值为_答案4分析设M(p，q)，N(p，q)，P(s，t)，那么1,1，两式相减拾掇得，又双曲线1的离心率为2，2，4，3，由歪率公式可得k1k23，k1与k2同号，|k1|4|k2|244，当且仅当|k1|4|k2|，即k14k2时等号成破，|k1
23、|4|k2|的最小值为4.14(2019常州期末)已经清楚在破体直角坐标系xOy中，椭圆C1：1的中心在椭圆C2：1上，其中ab0，且是椭圆C1，C2位于第一象限的交点(1)求椭圆C1，C2的标准方程；(2)过y轴上一点P的直线l与椭圆C2相切，与椭圆C1交于点A，B，已经清楚，求直线l的方程解(1)如以下图，依题意，得cb，因此ab，因此椭圆C1：1，将点代入，解得b1，因此C1：y21，C2：x21.(2)由题易知直线l的歪率肯定存在设l的歪率为k，P(0，m)，那么直线l的方程为ykxm，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，由得(k22)x22mkxm220，令(2mk)24(m22)(k22)8k28m2160，得m2k22，由得x24mkx2m220，令(4mk)24(2m22)(2k21)16k28m288k280，得k21，x1，x2.又x1x2，得2，因此m2k22，解得或故l的方程为yx2或y2x.