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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 1. 如图,已知 ABC 是正三角形, EA 、CD 都垂直于平面ABC ,且 EA=AB=2a,DC=a,F是 BE 的中点,求证：1 FD 平面 ABC; EFBD2 AF平面 EDB. 解； 1取 AB 的中点 M, 连 FM,MC, F、M 分别是 BE、BA 的中点 FM EA, FM= EA AC EA 、CD 都垂直于平面ABC CD EA CD FM 又 DC=a, FM=DC 四边形 FMCD 是平行四边形M FD MC FD 平面 ABC 2 因 M 是 AB 的中点,ABC 是正三角形,所以CM AB 又CM AE, 所以
2、 CM 面 EAB, CM AF, FD AF, 因 F 是 BE 的中点 , EA=AB 所以 AF EB. 2、已知四棱锥 P-ABCD 如下图 的底面为正方形, 点 A 是点 P 在底面 AC上的射影,PA=AB=a,S是 PC上一个动点）求证：BD PC；4 分）当 SBD的面积取得最小值时 , 求平面 SBD与平面 PCD所成二面角的大小 10 分PASD 1 证明：连接AC分 BPC点 A 是点 P 在底面 AC上的射影 ,1PA 面 AC.2 分 PC在面 AC上的射影是 AC. 正方形 ABCD中,BD AC,3 分 BD PC.4 分 , BAOSCD2 解 : 连接 OS.
3、 BD AC,BD PC, 又 AC、PC是面 PAC上的两相交直线BD 面 PAC. 6 分 OS 面 PAC, BD OS.7 分 正方形 ABCD 的边长为 a,BD= 2a , 8 分1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页 BSD 的面积SBSDBD OSOS2精选学习资料 PASD- - - - - - - - - 2a9 分2OS 的两个端点中,O 是定点, S 是动点OSPC10 分BOC当SBSD取得最小值时,取得最小值,即PCBD, OS、BD 是面 BSD 中两相交直线,PC面 BSD12 分又 PC面 PCD ,面 BSD面 PCD13 分面
4、BSD 与面 PCD 所成二面角的大小为90 14 分4、在三棱锥PABC 中, ABAC ,ACB600,PA = PB = PC,点 P 到平面 ABC 的距离 P为3 2 AC 1求二面角 PACB 的大小；ACB2假设 ACa ,求点 B 到平面 PAC 的距离. 解 ： 1由条件知ABC 为直角三角形,且BAC = 90 ,PA = PB = PC,点 P 在平面 ABC 上的射影是ABC 的外心,即斜边 BC 的中点 E取 AC 中点 D,连 PD, DE, PEPE平面 ABC,DEAC DE AB , ACPD PDE 为二面角 PACB 的平面角又 PE = 3 2 AC ,
5、DE = 3 AC ,ACB60023tan PDE = PE DE =23,z3P PDE = 60 2故二面角 PAC B 的大小为60 B5. 如图,边长为 2 的等边PCD 所在的平面垂直于矩形A ABCD 所在的平面, BCD C 2 xOy2,M 为 BC 的中点 . P证明： AMPM；求二面角PAM D 的大小；求点 D 到平面 AMP 的距离 . 名师归纳总结 DBMC2 第 2 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解： 四边形 ABCD是矩形BCCD 平面 PCD平面 ABCD BC平面 PCD 2 分 而 PC 平面
6、PCD BCPC 同理 ADPD 在 Rt PCM中, PM=MC2PC2222 26DEPMC5 分同理可求 PA= 23,AM= 6AM2PM2PA2 PMA=90B即 PMAM 6 分 取 CD的中点 E,连结 PE、EM PCD为正三角形PECD,PE=PDsinPDE=2sin60 =3平面 PCD平面 ABCD PE平面 ABCD 由 可知 PMAM EMAM PME是二面角 P AMD的平面角 8 分sin PME= PEPM3262 PME=45二面角 PAMD为 457、本小题总分值 14 分在直三棱柱ABC A 1B1C1 中, AB=BC=CA= a ,AA 1=2a I
7、求 AB 1 与侧面 CB 1 所成的角；4 分 II假设点 P 为侧棱 AA 1 的中点,求二面角 PBCA 的大小； 5 分 在 II 的条件下,求点 A 到平面 PBC 的距离 . 解：I取 BC 中点 D,连结 AD,B 1D 三棱柱 ABC A 1B1C1 是直棱柱侧面 CB 1底面 ABC,且交线为 BC 1 分2 分A1B1C1 ABC为等边三角形ADBC, AD面 CB1 AB1D为 AB 1 与侧面 CB 1 所成的角 P3 BD名师归纳总结 AC第 3 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 在 Rt ADB 1 中 AD=
8、3 2a , AB 12 AA 1AB22 a2a23 asin AB1DAD1 AB1D=30AB12II连结 PB,PC,PD, PA底面 ABC AD BC PDBC PDA为二面角 PBC A 的平面角ABCPA2SPBCh在 Rt PAD tan PDAPA2a62AD3a32 PDAarctan6. 3设点 A 到平面 PBC 的距离为 h,就由V PABCVAPBC得ShSABCPA2BC 25aSPBCPB2PA2AB22a2a23a2PDPB22A2SPBC1BC PD5a2SABC32 a ,244h3a2a2a30a.42510246、如图,四周体ABCD 中, O、E
9、分别是 BD、BC 的中点,CACBCDBD2,ABAD2.DI求证： AO平面 BCD ；AB 与 CD 所成角的大小的余弦值；II 求异面直线OBEC4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - I证明：连结 OC BODO ABAD,AOBD.BODO BCCD,COBD.A在AOC中,由已知可得AO1,CO3.而AC2,MCAO2CO2AC2,AOCo 90 ,即AOOC .BDOCO,AO平面 BCDODB EII 解：取 AC 的中点 M ,连结 OM 、ME 、OE,由 E 为 BC 的中点知 ME AB,OE DC直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线AB 与 CD 所成的角在OME 中,EM1AB2,OE1DC1,222OM 是直角AOC 斜边 AC 上的中线,OM1AC1,2cosOEM2,45 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页