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1、1 OSDCBAP1. 如图，已知 ABC 是正三角形， EA、CD 都垂直于平面ABC ，且 EA=AB=2a,DC=a,F是 BE 的中点，求证：(1) FD平面 ABC; (2) AF平面 EDB. 解； (1)取 AB 的中点 M,连 FM,MC, F、M 分别是 BE、BA 的中点 FM EA, FM= EA EA、CD 都垂直于平面ABC CDEA CDFM 又 DC=a, FM=DC 四边形FMCD 是平行四边形 FD MC FD平面 ABC (2) 因 M 是 AB 的中点， ABC 是正三角形，所以CM AB 又CMAE,所以 CM面 EAB, CM AF, FD AF, 因
2、 F 是 BE 的中点 , EA=AB 所以 AFEB. 2、 已知四棱锥P-ABCD( 如下图 ) 的底面为正方形， 点 A是点 P在底面 AC上的射影，PA=AB= a，S是 PC上一个动点）求证：PCBD； 4 分）当SBD的面积取得最小值时, 求平面 SBD与平面 PCD所成二面角的大小 10 分SDCBAP 1 证明：连接AC 点 A是点 P在底面 AC上的射影 ,(1分) PA 面 AC.(2 分) PC在面 AC上的射影是AC. 正方形 ABCD 中,BD AC,(3 分 ) BD PC.(4 分) 2)解 : 连接 OS. BD AC,BD PC, 又 AC 、PC是面 PAC
3、上的两相交直线, BD 面 PAC. (6 分) OS 面 PAC, BD OS.(7 分) 正方形 ABCD 的边长为 a，BD=2a， 8分FEDCBAM 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页2 OSDCBAPBSD 的面积222BSDBD OSOSaS 9 分OS 的两个端点中，O 是定点， S 是动点当BSDS取得最小值时，取得最小值，即OSPC 10 分PCBD， OS、BD 是面 BSD 中两相交直线，PC面 BSD 12 分又 PC面 PCD，面 BSD面 PCD 13 分面 BSD 与面 PCD 所成二
4、面角的大小为90 14 分4、在三棱锥PABC 中，ABAC,060ACB,PA = PB = PC,点 P 到平面 ABC 的距离为32AC 1求二面角PACB 的大小；2假设ACa，求点 B 到平面 PAC 的距离. 解 ： 1由条件知 ABC 为直角三角形，且BAC = 90 ，P A = PB = PC，点 P 在平面 ABC 上的射影是 ABC 的外心，即斜边 BC 的中点 E取 AC 中点 D，连 PD, DE, PEPE平面 ABC，DEAC DEAB , ACPD PDE 为二面角PACB 的平面角又 PE = 32AC ，DE = 3 2AC ， 060ACBtan PDE
5、= PEDE=32332， PDE = 60 故二面角 PAC B 的大小为60 5. 如图，边长为 2 的等边 PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面， BC22，M 为 BC 的中点 . ()证明： AMPM；()求二面角PAMD 的大小；()求点 D 到平面 AMP 的距离 . ACPBACDPBzxyOMPDCB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页3 DPABCA1B1C1解： ( ) 四边形ABCD 是矩形BC CD 平面 PCD 平面 ABCD BC 平面 PCD 2 分而 PC平面 PCD BC
6、 PC 同理 AD PD 在 RtPCM 中， PM=62)2(2222PCMC同理可求 PA=32，AM=6222PAPMAM5 分 PMA=90 即 PM AM 6 分( ) 取 CD的中点 E，连结 PE 、EM PCD为正三角形PE CD ，PE=PDsinPDE=2sin60=3平面 PCD 平面 ABCD PE 平面 ABCD 由( ) 可知 PM AM EM AM PME 是二面角P AM D的平面角8 分sin PME=2263PMPE PME=45 二面角PAM D为 457、 本小题总分值14 分在直三棱柱ABC A1B1C1中， AB=BC=CA=a，AA1=2a I求
7、AB1与侧面 CB1所成的角；4 分 II假设点P为侧棱 AA1的中点，求二面角PBCA 的大小； (5 分) 在 II的条件下，求点A 到平面 PBC 的距离 . 解： I取 BC 中点 D,连结 AD,B1D 三棱柱ABC A1B1C1是直棱柱侧面 CB1底面 ABC,且交线为BC 1 分 ABC为等边三角形AD BC, AD 面 CB1 AB1D为 AB1与侧面 CB1所成的角2 分EBCDPM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页4 在 RtADB1中 AD=32a， AB12222123AAABaaasin A
8、B1D112ADAB AB1D=30II连结 PB,PC,PD, PA 底面 ABC AD BC PD BC PDA为二面角PBC A 的平面角在 Rt PAD tan PDA 262332aPAADa PDA arctan63. 设点 A 到平面 PBC 的距离为h，则由PABCAPBCVV得ABCPBCSPAShABCPBCSPAhS22222223()22PBPAABaaa225()22BCPDPBa21524PBCSBC PDa234ABCSa，223230421054aahaa.6、如图，四面体ABCD 中， O、E 分别是 BD、BC 的中点，2,2.CACBCDBDABADI求证
9、：AO平面 BCD ；II 求异面直线AB 与 CD 所成角的大小的余弦值；CADBOE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页5 I证明：连结OC ,.BODO ABADAOBD,.BODO BCCDCOBD在AOC中，由已知可得1,3.AOCO而2,AC222,AOCOAC90 ,oAOC即.AOOC,BDOCOAO平面BCDII 解：取 AC 的中点 M，连结 OM 、ME、OE，由 E 为 BC 的中点知MEAB,OE DC直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线AB 与 CD 所成的角在OME中，121,1,222EMABOEDCOM是直角AOC斜边 AC 上的中线，11,2OMAC2cos,4OEMABMDEOC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页