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1、9.10真题再现12019年新课标)设，为两个破体，那么的充要条件是A内有无数条直线与平行B内有两条订交直线与平行C，平行于一致条直线D，垂直于一致破体【答案】B【分析】由面面平行的判定定理知：内两条订交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，假设，那么内任意一条直线都与平行，因此内两条订交直线都与平行是的需要条件，应选B22019年新课标)已经清楚三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，ABC是边长为2的正三角形，E，F分不是PA，AB的中点，CEF=90，那么球O的体积为ABCD【答案】D【分析】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，又，分不为、中点，又，
2、破体，破体，为正方体一部分，即，应选D解法二:设，分不为中点，且，为边长为2的等边三角形，又中余弦定理，作于，为中点，又，两两垂直，应选D.32018年新课标I卷)已经清楚正方体的棱长为1，每条棱所在直线与破体所成的角都相当，那么截此正方体所得截面面积的最大年夜值为A334B233C324D32【答案】A【分析】按照相互平行的直线与破体所成的角是相当的，因此在正方体ABCD-A1B1C1D1中，破体AB1D1与线AA1,A1B1,A1D1所成的角是相当的，因此破体AB1D1与正方体的每条棱所在的直线所成角根本上相当的，同理破体C1BD也称心与正方体的每条棱所在的直线所成角根本上相当，恳求截面面
3、积最大年夜，那么截面的位置为夹在两个面AB1D1与C1BD中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为22，因此其面积为S=634(22)2=334，应选A.42018年世界卷II)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=3，那么异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为A15B56C55D22【答案】C【分析】以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴树破空间直角坐标系，那么D(0,0,0),A(1,0,0),B1(1,1,3),D1(0,0,3),因此AD1=(-1,0,3),DB1=(1,1,3),由于cos=AD1DB1|AD1|DB1|=-1+325=55，因此异
4、面直线AD1与DB1所成角的余弦值为55，选C.52017年新课标2卷)已经清楚直三棱柱C-11C1中，C=120，=2，C=CC1=1，那么异面直线1与C1所成角的余弦值为A32B155C105D33【答案】C【分析】如以以下图，补成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，那么所求角为BC1D,BC1=2,BD=22+1-221cos60=3,C1D=AB1=5，易得C1D2=BD2+BC12，因此cosBC1D=BC1C1D=25=105，应选C6(2017新课标世界)某多面体的三视图如以以下图，其中正视图跟左视图都由正方形跟等腰直角三角形形成，正方形的边长为2，仰视图为等腰直角三角形.该多面
5、体的各个面中有假设干个是梯形，这些梯形的面积之跟为A10B12C14D16【答案】B【分析】由题意该多少多何体的直不雅观图是由一个三棱锥跟三棱柱形成，如以以下图，那么该多少多何体各面内只需两个一样的梯形，那么这些梯形的面积之跟为，应选B.7(新课标世界I理科)九章算术是我国古代内容极为丰富的数大年夜名著，书中有如下征询题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.征询:积及为米多少多何?其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，征询米堆的体积跟堆放的米各为多少多?已经清楚1斛米的体积约为1.62破方尺，圆周率
6、约为3，估算出堆放的米约有A14斛B22斛C36斛D66斛【分析】设圆锥底面半径为r，那么1423r=8，因此r=163，因此米堆的体积为14133(163)25=3209，故堆放的米约为32091.6222，应选B.8年新课标)圆柱被一个破体截去一部分后与半球半径为r形成一个多少多何体，该多少多何体三视图中的正视图跟仰视图如以以下图.假设该多少多何体的表面积为16+20，那么r=A1B2C4D8【答案】B【分析】由多少多何体三视图中的正视图跟仰视图可知，截圆柱的破体过圆柱的轴线，该多少多何体是一个半球拼接半个圆柱，其表面积为：124r2+12r2+122r2r+2r2r+12r2=5r2+4
7、r2，又该多少多何体的表面积为16+20，5r2+4r2=16+20，解得r=2，此题选择B选项.9年新课标)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，那么该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为A63B6C62D4【答案】B【分析】由正视图、侧视图、仰视图形状，可揣摸该多少多何体为周围体，且周围体的长、宽、高均为4个单位，故可考虑置于棱长为4个单位的正方体中研究，如以以下图，该周围体为D-ABC，且AB=BC=4,AC=42,DB=DC=25,DA=(42)2+4=6，故最长的棱长为6，选B10(年大纲卷)正四棱锥的顶点都在一致球面上，假设该棱锥的高为4，底面边长为2，那
8、么该球的表面积为A814B16C9D274【答案】A【分析】正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，PO=AO=R，PO1=4，OO1=4-R，在RtAOO1中，AO1=2，由勾股定理R2=2+(4-R)2得R=94，球的表面积S=81411(2019年新课标)中国有持久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体图1.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体表达了数学的对称美图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在一致个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1那么该半
9、正多面体共有_个面，其棱长为_【答案】共26个面.棱长为.【分析】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，因此该半正多面体共有个面如图，设该半正多面体的棱长为，那么，延长与交于点，延长交正方体棱于，由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形，即该半正多面体棱长为12(2018年世界卷II)已经清楚圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为45，假设SAB的面积为515，那么该圆锥的正面积为_【答案】402【分析】由于母线SA，SB所成角的余弦值为78，因此母线SA，SB所成角的正弦值为158，由于SAB的面积为515，设母线长为l,因此12
10、l2158=515l2=80，由于SA与圆锥底面所成角为45，因此底面半径为lcos4=22l,因此圆锥的正面积为rl=22l2=402.13(2017年新课标1卷)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，DBC，ECA，FAB分不是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分不以BC，CA，AB为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得D，E，F重合，掉掉落三棱锥当ABC的边长变卦时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大年夜值为_【答案】【分析】如以以下图，连接DO交BC于点G，设D，E，F重合于S点，正三角形的边长为x(x0
11、)，那么.，三棱锥的体积.设，x0，那么，令，即，得，易知在处取得最大年夜值.14(2019年新课标)图1是由矩形ADEB，RtABC跟菱形BFGC形成的一个破体图形，其中AB=1，BE=BF=2，FBC=60，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，贯串连接DG，如图2.1证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且破体ABC破体BCGE；2求图2中的二面角BCGA的大小.【答案】(1)见详解；(2).【分析】(1)证：，又由于跟粘在一起.，A，C，G，D四点共面.又.破体BCGE，破体ABC，破体ABC破体BCGE，得证.(2)过B作延长线于H，贯串连接AH，由于AB破体BCGE，因此而又，故
12、破体，因此.又由于因此是二面角的破体角，而在中，又由于故，因此.而在中,，即二面角的度数为.15.(2019年新课标)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1.1证明：BE破体EB1C1；2假设AE=A1E，求二面角BECC1的正弦值.【答案】1证明看法析；2【分析】证明1由于是长方体，因此正面，而破体，因此又，破体，因此破体；2以点坐标原点，以分不为轴，树破如以以下图所示的空间直角坐标系，由于，因此，因此，设是破体的法向量，因此，设是破体的法向量，因此，二面角的余弦值的绝对值为，因此二面角的正弦值为.16(2019年新课标)如图，直四棱柱ABC
13、DA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N分不是BC，BB1，A1D的中点1证明：MN破体C1DE；2求二面角A-MA1-N的正弦值【答案】1看法析；2.【分析】1连接，分不为，中点为的中位线且又为中点，且且四边形为平行四边形，又破体，破体破体2设，由直四棱柱性质可知：破体四边形为菱形那么以为原点，可树破如以以下图所示的空间直角坐标系：那么：，D0，-1,0取中点，连接，那么四边形为菱形且为等边三角形又破体，破体破体，即破体为破体的一个法向量，且设破体的法向量，又，令，那么，二面角的正弦值为：17(2018年新课标I卷)如图，四边形ABCD为正方形，E,F分
14、不为AD,BC的中点，以为DF折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.1证明：破体PEF破体ABFD；2求DP与破体ABFD所成角的正弦值.【答案】(1)证明看法析.(2)34.【分析】1由已经清楚可得，BFPF，BFEF，又PFEF=F，因此BF破体PEF.又BF破体ABFD，因此破体PEF破体ABFD.2作PHEF，垂足为H.由1得，PH破体ABFD.以H为坐标原点，HF的倾向为y轴正倾向，|BF|为单位长，树破如以以下图的空间直角坐标系Hxyz.由1可得，DEPE.又DP=2，DE=1，因此PE=3.又PF=1，EF=2，故PEPF.可得PH=32,EH=32.那么H(0,0
15、,0),P(0,0,32),D(-1,-32,0),DP=(1,32,32),HP=(0,0,32)为破体ABFD的法向量.设DP与破体ABFD所成角为，那么sin=|HPDP|HP|DP|=343=34.因此DP与破体ABFD所成角的正弦值为34.18(2018年世界卷)如图，边长为2的正方形ABCD所在的破体与半圆弧CD所在破体垂直，M是CD上异于C，D的点1证明：破体AMD破体BMC；2当三棱锥M-ABC体积最大年夜时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值【答案】1看法析2255【分析】1由题设知,破体CMD破体ABCD,交线为CD.由于BCCD,BC破体ABCD,因此BC破体CMD,
16、故BCDM.由于M为CD上异于C，D的点,且DC为直径，因此DMCM.又BCCM=C,因此DM破体BMC.而DM破体AMD,故破体AMD破体BMC.2以D为坐标原点,DA的倾向为x轴正倾向,树破如以以下图的空间直角坐标系Dxyz.当三棱锥MABC体积最大年夜时，M为CD的中点.由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1)，AM=(-2,1,1),AB=(0,2,0),DA=(2,0,0)设n=(x,y,z)是破体MAB的法向量,那么nAM=0,nAB=0.即-2x+y+z=0,2y=0.可取n=(1,0,2).DA是破体MCD的法向量,因此c
17、osn,DA=nDA|n|DA|=55，sinn,DA=255，因此面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是255.192017新课标世界理科如图，周围体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD1证明：破体ACD破体ABC；2过AC的破体交BD于点E，假设破体AEC把周围体ABCD分成体积相当的两部分，求二面角DAEC的余弦值.【答案】1看法析；277.【分析】1由题设可得，ABDCBD，从而AD=DC.又ACD是直角三角形，因此ADC=90.取AC的中点O，连接DO,BO,那么DOAC,DO=AO.又由因此ABC正三角形，故BOAC.因此DOB为二面角D-A
18、C-B的破体角.在RtAOB中，BO2+AO2=AB2.又AB=BD，因此BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2，故DOB=90.因此破体ACD破体ABC.2由题设及1知，OA,OB,OD两两垂直，以为O坐标原点，OA的倾向为x轴正倾向，OA为单位长，树破如以以下图的空间直角坐标系O-xyz.那么A1,0,0,B0,3,0,C-1,0,0,D0,0,1.由题设知，周围体ABCE的体积为周围体ABCD的体积的12，从而E到破体ABC的距离为D到破体ABC的距离的12，即E为DB的中点，得E0,32,12.故AD=-1,0,1,AC=-2,0,0,AE=-1,32,12.设n=x,y,z是
19、破体DAE的法向量，那么nAD=0，nAE=0，即-x+z=0,-x+32y+12z=0.可取n=1,33,1.设m是破体AEC的法向量，那么mAC=0，mAE=0，同理可取m=0,-1,3.那么cosn,m=nmnm=77.因此二面角D-AE-C的余弦值为77.20(2017年新课标2)如图，四棱锥P-ABCD中，正面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底，是的中点。1证明：直线破体；2点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值。【答案】1看法析；2【分析】1取中点，贯串连接，由于为的中点，因此,由得，又因此四边形为平行四边形，又，故2由已经清楚得,以A为坐标原点，的倾向为x轴正倾向，
20、为单位长，树破如以以下图的空间直角坐标系A-xyz,那么那么，,那么由于BM与底面ABCD所成的角为45，而是底面ABCD的法向量，因此，即x-1+y-z=0又M在棱PC上，学|科网设由，得因此M，从而设是破体ABM的法向量，那么因此可取m=0，-，2.因此因此二面角M-AB-D的余弦值为212017新课标世界I理科如图，在四棱锥PABCD中，AB/CD，且BAP=CDP=90.1证明：破体PAB破体PAD；2假设PA=PD=AB=DC，APD=90，求二面角APBC的余弦值.【答案】1看法析；2-33.【分析】1由已经清楚BAP=CDP=90，得ABAP，CDPD由于AB/CD，故ABPD，
21、从而AB破体PAD又AB破体PAB，因此破体PAB破体PAD2在破体PAD内作PFAD，垂足为F，由1可知，AB破体PAD，故ABPF，可得PF破体ABCD.以为F坐标原点，FA的倾向为x轴正倾向，|AB|为单位长，树破如以以下图的空间直角坐标系F-xyz.由1及已经清楚可得A(22,0,0)，P(0,0,22)，B(22,1,0)，C(-22,1,0).因此PC=(-22,1,-22)，CB=(2,0,0)，PA=(22,0,-22)，AB=(0,1,0).设n=(x,y,z)是破体PCB的法向量，那么nPC=0,nCB=0,即-22x+y-22z=0,2x=0,可取n=(0,-1,-2).
22、设m=(x,y,z)是破体PAB的法向量，那么mPA=0,mAB=0,即22x-22z=0,y=0.可取m=(1,0,1).那么cos=nm|n|m|=-33，因此二面角A-PB-C的余弦值为-33.22(2016年新课标3卷)如图，四棱锥PABC中，PA底面ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.证明MN破体PAB;求直线AN与破体PMN所成角的正弦值.【答案】详看法析；【分析】由已经清楚得.取的中点，连接，由为中点知，.又，故，四边形为平行四边形，因此.由于破体，破体，因此破体.取的中点，贯串连接.由得，从而，且.以为坐标
23、原点，的倾向为轴正倾向，树破如以以下图的空间直角坐标系.由题意知，.设为破体的一个法向量，那么即可取.因此.23(2016年新课标2卷)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分不在AD,CD上,AE=CF=,EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置,OD=.证明:DH破体ABCD求二面角B-DA-C的正弦值.【答案】详看法析；.【分析】由已经清楚得，又由得，故.因此，从而.由,得.由得.因此，.因此，故.又，而，因此.如图，以为坐标原点，的倾向为轴正倾向，树破空间直角坐标系，那么，.设是破体的法向量，那么，即，因此可取.设是破体的法向量，那么，即，因
24、此可取.因此，.因此二面角的正弦值是.24新课标世界理科如图，四边形ABCD为菱形，ABC=120，E，F是破体ABCD一致侧的两点，BE破体ABCD，DF破体ABCD，BE=2DF，AEEC1证明：破体AEC破体AFC；2求直线AE与直线CF所成角的余弦值【答案】1看法析；233.【分析】连接BD，设BDAC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1，由ABC=120，可得AG=GC=3.由BE破体ABCD，AB=BC可知，AE=EC，又AEEC，EG=3，EGAC，在RtEBG中，可得BE=2，故DF=22.在RtFDG中，可得FG=62.在直角梯形BDFE中，由BD=2
25、，BE=2，DF=22可得EF=322，EG2+FG2=EF2，EGFG，ACFG=G，EG破体AFC，EG面AEC，破体AFC破体AEC.如图，以G为坐标原点，分不以GB,GC的倾向为x轴，y轴正倾向，|GB|为单位长度，树破空间直角坐标系G-xyz，由可得A0，3，0，E1,0,2，F1,0，22，C0，3，0，AE=1，3，2，CF=-1，-3，22.10分故cos=AECF|AE|CF|=-33.因此直线AE与CF所成的角的余弦值为33.24(年广东卷)如图4，四边形ABCD为正方形，PD破体ABCD，DPC=30，AFPC于点F，FE/CD，交PD于点E.1证明：CF破体ADF；2求
26、二面角D-AF-E的余弦值.【答案】1详看法析；225719.【分析】1PD破体ABCD，PDAD，又CDAD，PDCD=D，AD破体PCD，ADPC，又AFPC，PC破体ADF，即CF破体ADF；2设AB=1，那么RtPDC中，CD=1，又DPC=30，PC=2，PD=3，由1知CFDF，DF=32，AF=AD2+DF2=72，CF=AC2-AF2=12，又FE/CD，DEPD=CFPC=14，DE=34，同理EF=34CD=34，如以以下图，以为D原点，树破空间直角坐标系，那么A(0,0,1)，E(34,0,0)，F(34,34,0)，P(3,0,0)，C(0,1,0)，设m=(x,y,z
27、)是破体AEF的法向量，那么mAEmEF，又AE=(34,0,0)EF=(0,34,0)，因此mAE=34x-z=0mEF=34y=0，令x=4，得z=3，m=(4,0,3)，由1知破体ADF的一个法向量PC=(-3,1,0)，设二面角D-AF-E的破体角为，可知为锐角，cos=|cosm,PC|=|mPC|m|PC|=43192=2571943192=25719，即所求.25(年新课标)如图，三棱柱中，正面为菱形，.证明：;假设，,求二面角的余弦值.【答案】详看法析；【分析】I连接，交于，连接由于正面为菱形，因此，且为与的中点又，因此破体，故又,故II由于，且为的中点，因此，又由于，故，从而两两垂直以为坐标原点，的倾向为轴正倾向，为单位长，树破如以以下图的空间直角坐标系由于，因此为等边三角形又,那么，,设是破体的法向量，那么即因此可取设是破体的法向量，那么同理可取那么因此二面角的余弦值为