多元函数的极值和最值.pdf

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1、8.6 多元函数的极值和最值学习一元函数的导数应用时，借助于导数解决了某些极值和最值问题.本节介绍如何利用偏导数解决有关多元函数的极值和最值问题.本节的内容和方法和一元函数相对应，是一元函数极值和最值的推广.8.6.1 二元函数极值的概念1.二元函数极值定义定义.设),(000yxP是函数),(yxfz的定义域D内一点，若存在0P的一个包含在D内的邻域，对于该邻域内所有异于点0P的点),(yxP，都有),(),(00yxfyxf或),(),(00yxfyxf,则称),(00yxf是函数),(yxfz的极大值(或 极小值)，称0P为),(yxfz的 极大值点(或极小值点)极大值和极小值统称为极值

2、；极大值点和极小值点统称为极值点 例如：4),(22yxyxf在点)0,0(处取得极小值4.xyz在)0,0(的任意邻域内，既能取正值，也能取负值，所以)0,0(不是xyz的极值点如果函数),(yxfz在),(000yxP处取得极值，从极值的定义可以得到一元函数),(01yxfz在0 xx处取得极值.根据函数极值存在的必要条件，如果函数的导数存在，则导数在0 xx处的值一定等于零，既001xxdxdz.同理，如果函数),(yxfz在),(000yxP处取得极值，从极值的定义可以得到一元函数),(02yxfz在0yy处取得极值。根据函数极值存在的必要条件，如果函数的导数存在，则导数在0yy处的值

3、一定等于零，即002yydydz.因为0001yyxxxxxzdxdz，0002yyxxyyyzdydz，从而有如下定理.2.极值存在的必要条件定理 8.6.1(极值必要条件)如果函数),(yxfz在点),(000yxP处两个偏导数都存在，且函数在P0处取得极值，则必有00(,)0 xfxy,00(,)0yfxy使(,)0,(,)0 xyfx yfx y同时成立的点),(000yxP，称为函数),(yxfz的驻点.注意：驻点仅是取得极值的必要条件，即函数在驻点不一定取得极值例如)0,0(是函数xyz的驻点，但并不是极值点3.极值的充分条件定理8.6.2(极值存在的充分条件)设),(000yxP

4、为函数),(yxfz的驻点，且函数在点0P的某邻域内有二阶连续偏导数记),(00yxfAxx,),(00yxfBxy,),(00yxfCyy,ACB2,则(1)当0时，0P是函数),(yxf的极值点；且若0A，0P为极小值点，若0A，0P为极大值点；(2)当0时，0P不是函数),(yxf的极值点；(3)当0时，不能判定0P是否是函数),(yxf的极值点例 8.6.1求函数yxyxyxz222的极值解：解方程组012022yxzyzyxxz，得驻点)0,1(,2),(,1),(,2),(yxfyxfyxfyyxyxx所以在驻点)0,1(处，有2,1,2CBA，则032ACB，又0A，由取得极值的

5、充分条件，可知点)0,1(为极小值点，极小值为1)0,1(f.例 8.6.2求函数xyyxz333极值解：解方程组03303322xyzyzyxxz，得驻点)1,1(),0,0(,6),(,3),(,6),(yyxfyxfxyxfyyxyxx对于驻点)0,0(，有0,3,0CBA，则092ACB，可知驻点)0,0(不是极值点.对于驻点)1,1(，有6,3,6CBA，则0272ACB，且06A顾由取得极值的充分条件，可知点)1,1(为极小值点，极小值为1)1,1(f.8.6.2 多元函数的最值对于一元函数而言，在闭区间上连续的函数必有最值.对于二元函数也有类似的结论：在有界闭区域上连续的函数必定

6、存在最大值和最小值.对于二元可微函数，如果该函数的最值在区域内部取得，这个最值点必在函数的驻点之中；如果函数最值在区域的边界上取得，则它一定也是函数在边界上的最值.因此，求函数的最值的方法是：将函数在所讨论的区域内的所有驻点求出来，将函数在驻点处的函数值与函数在边界上的最大值和最小值进行比较，其中最大者就是函数在闭区域上的最大值，其中最小者就是函数在闭区域上的最小值.例 8.6.3求函数22),(yxyxfz在闭区域4:22yxD上的最大值和最小值.解：函数在闭区域D上是连续的，最大值和最小值一定存在.xxz2，yyz2文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10

7、D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R

8、2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8

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10、10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR

11、1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6

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13、8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7令0 xz，0yz，得驻点)0,0(，且0)0,0(f.考虑函数在区域D边界上的情况.区域D边界422yx是一个圆，在边界上，函数22),(yxyxfz成为x的一元函数42)(2xxz,22x.对此函数求导，有xx4)(，令0)(x，得到函数422xz在2,2上的驻点为0 x，此时相应的函数值为4)0(z，又4)2(,4)2(，所以函数

14、在闭区域D上的最大值为4z，它在点)0,2(和)0,2(处取得；最小值为4z，它在点)2,0(处取得.在实际问题中，常常从问题的本身能断定它的最值肯定存在且在问题考虑范围的内部达到，这是如果函数在定义区域内仅有唯一一个驻点，那么该驻点的函数值就是函数的最大值或最小值例 8.6.4欲做一个容量一定的长方体容器，问应选择怎样的尺寸，才能使此容器的材料最省？解:设箱子的长,宽,高分别为zyx,，容量为V，则xyzV，箱子的表面积为)(2xzyzxyS要使使用的材料最少，则应求S的最小值由于xyVz，所以2()VVSxyxy，)0,0(yx令0)(2,0)(222yVxSxVySyx，求得唯一的驻点)

15、,(33VVP根据问题的实际意义可知S一定存在最小值，所以可以断定P即为S的最小值点，即当3Vyx时，函数S取得最小值此时3VxyVz，所以长方体实际上是正方体这表明在体积固定为V长方体中，以正方体的表面积最小，最小值32min6 VS*8.6.3条件极值以上讨论的极值问题，自变量在定义域内可以任意取值，没有受到任何限制，通常称这样的极值问题为无条件极值 问题.但是，在实际问题中，求极值或最值时，对自变量的取值往往要附加一定的约束条件，这类附有约束条件的极值问题，称为条件极值.条件极值问题的一般提法是：求目标函数),(yxfz在约束条件0),(yx下的极值.求解这一条件极值问题的常用方法是拉格

16、朗日乘数法.拉格朗日乘数法求极值的具体步骤如下：文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 Z

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22、2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7(1)构造辅助函数),(),(),(yxyxfyxF；(2)求函数),(yxF的驻点，即联立解方程组：0),(00yxFfFfFyyyxxx得到驻点),(000yx；(3)判别求出的),(00yx是否为极值点，通常根

23、据实际问题的实际意义去判定.例 8.6.5试用条件极值的方法解决例 8.6.4的问题解:设箱子的长、宽、高为zyx,，要求容量为V，表面积为S问题归结为在约束条件Vxyz下，求)(2xzyzxyS的极小值令)()(2),(VxyzxzyzxyzyxF，解方程组00)(20)(20)(2VxyzxyyxFxzzxFyzzyFzyx得330004,VVzyx因为实际问题有极小值，而可能达到极值的点又唯一，所以极小值必定在此点达到，即当时3Vzyx表面积S最小，最小值32min6 VS习题 8-6 1.函数xyz在适合条件1yx时的极大值.2.从斜边长为l的一切直角三角形中，求周长最大的直角三角形.

24、3.求下列函数的极值.(1)yxxyxz1215323(2)2(22yyxezx；(3）求22yxz在条件121yx下的极小值.4.求函数)0,0(ln18ln222yxyxyxz的极值.5.求函数2xyz在区域122yx上的最大值和最小值.6.求曲面1xyz上在第一卦限中的一点，使它到原点的距离为最小.文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9

25、R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10D1N7文档编码:CR1R2H7X2Q4 HE6L8X9R7A5 ZM2L8N10

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