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1、- 1 -,第六节 多元函数的极值与最值,多元函数的极值 多元函数的最值 条件极值,- 2 -,一、 多元函数的极值,定义: 若函数,则称函数在该点取得极大值(极小值).,例如 :,在点 (0,0) 有极小值;,在点 (0,0) 有极大值;,在点 (0,0) 无极值.,极大值和极小值,统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,的某邻域内有,- 3 -,说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .,例如,定理1 (必要条件),函数,偏导数,证:,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.,取得极值 ,取得极值,取得极值,但驻点不一定是极值点.,有驻点( 0, 0 ),但在该点不取极值.,且在该点
2、取得极值 ,则有,存在,故,- 4 -,时, 具有极值,定理2 (充分条件),的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且,令,则: 1) 当,A0 时取极大值;,A0 时取极小值.,2) 当,3) 当,时, 没有极值.,时, 不能确定 , 需另行讨论.,若函数,- 5 -,例1.,求函数,解: 第一步 求驻点.,得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 判别.,在点(1,0) 处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,- 6 -,在点(3,0) 处,不是极值;,在点(3,2) 处,为极大值.,在点(1,2) 处,不是极值;,- 7 -,例2
3、.讨论函数,及,是否取得极值.,解:,在(0,0)点邻域内的取值可能为, 因此 z(0,0) 不是极值.,因此,为极小值.,正,负,0,在点(0,0),并且在 (0,0) 有,显然(0,0)都是它们的驻点 ,- 8 -,二 多元函数的最值,函数 f 在闭域上连续,函数 f 在闭域上可达到最值,最值可疑点,区域内的驻点,边界上的最值点,特别, 在区域函数只有一个极值点P 时,为极小 值,为最小 值,(大),(大),依据,当区域内部最值存在, 且只有唯一的一个驻点P 时，,则驻点一定是最值点。,经判别得,- 9 -,解,如图,- 10 -,- 11 -,例4.,解:,则水箱所用材料的面积为,令,得
4、驻点,某厂要用铁板做一个体积为2,根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?,因此可,断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽均为,高为,时, 水箱所用材料最省.,箱,设水箱长,宽分别为x ,y m ,则高为,- 12 -,例5.有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,把它折起来做成,解: 设折起来的边长为 x cm,则断面面积,一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为 ,积最大.,为,问怎样折法才能使断面面,- 13 -,令,解得:,由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有,一个驻点,故此点即为所求.,- 14 -,三、条件极值
5、,极值问题,无条件极值:,条 件 极 值 :,条件极值的求法:,方法1 代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,例如 ,- 15 -,方法2 拉格朗日乘数法.,如方法 1 所述 ,则问题等价于一元函数,可确定隐函数,的极值问题,极值点必满足,设,记,例如,故,故有,- 16 -,引入辅助函数,辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.,利用拉格,极值点必满足,则极值点满足:,朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.,因此,函数,在条件,下的极值点,一定是函数,的驻点。,- 17 -,推广,拉格朗日乘数法可推广到多个自
6、变量和多个约束条件的情形.,设,解方程组,可得到条件极值的可疑点 .,例如, 求函数,下的极值.,在条件,- 18 -,例6.,要设计一个容量为,则问题为求x , y ,令,解方程组,解:,下水箱表面积,最小.,z 使在条件,水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？,的长方体开口水箱, 试问,设 x , y , z 分别表示长、宽、高,- 19 -,得唯一驻点,由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.,因此 , 当高为,思考:,1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何?,提示: 利用对称性可知,2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价,最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何?,提示:,长、宽、高尺寸相等 .,- 20 -,例7,求原点到曲面,的最短距离。,解,问题可以转化为求函数,在条件,的最小值问题，,令,得驻点,所以最短距离为,- 21 -,例8,求原点到曲线,短最长距离。,的最,解,问题可以转化为求函数,在条件,的最小最大值问题，,令,得驻点,