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1、多元函数的极值与最值第一页，讲稿共二十七页哦2 局部极值的计算局部极值的计算首先研究极值点的特征首先研究极值点的特征,即研究必要条件即研究必要条件设设 P0=(x0,y0)是是 z=f(x,y)的局部极小值点的局部极小值点,z=f(x,y)在在 P0 处可微处可微 对任意的对任意的 P N(P0,)则根据定义则根据定义,存在存在 N(P0,),使使 若令若令则有则有第二页，讲稿共二十七页哦 x=x0 是是 h(x)的局部极小值点的局部极小值点y=y0 是是 g(y)的局部极小值点的局部极小值点由由 f(x,y)在在 P0 处可微处可微 h(x)在在 x=x0 处可导处可导 g(y)在在 y=y
2、0 处可导处可导于是在于是在 P0 点处成立点处成立第三页，讲稿共二十七页哦定理定理(可微函数极值点的必要条件可微函数极值点的必要条件)设设 z=f(x,y)在在 P0=(x0,y0)处可微处可微,P0 是是 f(x,y)的极值点的极值点,则有则有 说明说明:(2)可微函数的极值点必为可微函数的极值点必为 f(x,y)的稳定点的稳定点 稳定点稳定点(或驻点或驻点)(1)使使 的点称为的点称为 f(x,y)的的 第四页，讲稿共二十七页哦例例讨论下列函数的极值讨论下列函数的极值(1)(2)(3)解解(1)在在 R2 上可微上可微 稳定点为稳定点为(0,0)又又 (0,0)是是 f(x,y)的极小值
3、点的极小值点 极小值极小值:f(0,0)=1第五页，讲稿共二十七页哦(2)在在 R2 上可微上可微 稳定点为稳定点为(0,0)又在点又在点(a,0)处处:在点在点(0,b)处处:在在(0,0)点的任意邻域内点的任意邻域内,都有大于都有大于 f(0,0)=0及小于及小于 f(0,0)=0 的点的点,所以所以(0,0)不是极值点不是极值点第六页，讲稿共二十七页哦(3)f(x,y)无稳定点无稳定点又注意到又注意到(0,0)是是 f(x,y)的极小值点的极小值点 极小值极小值 f(0,0)=0第七页，讲稿共二十七页哦说明说明:上例说明上例说明(2)偏导数不存在的点也可能为极值点偏导数不存在的点也可能为
4、极值点定理定理(极值点的必要条件极值点的必要条件)极值点必是函数的稳定点或者偏导数不极值点必是函数的稳定点或者偏导数不存在的点存在的点说明说明:(1)临界点未必一定是极值点临界点未必一定是极值点,仅是必要条件仅是必要条件(2)不是极值点的临界点称为不是极值点的临界点称为鞍点鞍点(1)稳定点未必一定是极值点稳定点未必一定是极值点稳定点或者偏导数不存在的点统称为稳定点或者偏导数不存在的点统称为临界点临界点第八页，讲稿共二十七页哦定理定理(二阶充分条件二阶充分条件)设设 z=f(x,y)在临界点在临界点 P0=(x0,y0)的某邻域的某邻域 N(P0,)内具有二阶连续偏导数内具有二阶连续偏导数,则有则有(1)当当 时时,P0 为为 f 的极小值点的极小值点(2)当当 时时,P0 为为 f 的极大值点的极大值点(3)当当 H 0,y 0,z 0)是椭球是椭球面面 S 上的一点上的一点,则椭球面在则椭球面在 M 处的法向处的法向即即切平面切平面 :即即第二十七页，讲稿共二十七页哦