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1、复变函数积分方法总结键入文档副标题 acer 选取日期 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - - . 精选范本复变函数积分方法总结数学本就灵活多变， 各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势， 同时也具有本来原函数的性质， 也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数：z=x+iy i2=-1 ，x,y 分别称为 z 的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。arg z = ? ?称为主值- ?，Arg
2、=argz+2k 。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcos ，y=rsin ,故 z= rcos +i rsin ； 利用欧拉公式 ei=cos +isin 。 z=rei。1.定义法求积分：定义：设函数 w=f(z) 定义在区域 D 内，C 为区域 D 内起点为 A 终点为 B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成 n 个弧段，设分点为 A=z0，z1，zk-1，zk，zn=B，在每个弧段 zk-1 zk(k=1,2n)上任取一点k并作和式 Sn=(zk-zk-1)=? zk记? zk= zk- zk-1，弧段 zk-1 zk的长度=? Sk(k=1,2,n),当0时，不论对 c 的分发
3、即k的取法如何， Sn有唯一的极限，则称该极限值为函数 f(z) 沿曲线 C的积分为：=? zk 设 C 负方向(即 B 到 A 的积分记作 ).当 C为闭曲线时， f(z)的积分记作(C 圆周正方向为逆时针方向) 例题： 计算积分,其中 C表示 a到 b 的任一曲线。（1） 解：当 C为闭合曲线时，=0. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - - . 精选范本f(z)=1 Sn=(zk-zk-1)=b-a =b-a, 即=b-a. (2)
4、 当 C为闭曲线时，=0. f(z)=2z; 沿 C连续，则积分存在，设k=zk-1,则1= （）(zk-zk-1) 有可设k=zk，则2= （）(zk-zk-1) 因为 Sn的极限存在，且应与1及2极限相等。所以Sn= (1+2)=b2-a2 =b2-a2 1.2 定义衍生 1：参数法：f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy 带入得：= - vdy + i+ udy 再设 z(t)=x(t)+iy(t) ( t ) =参数方程书写： z=z0+(z1-z0)t （0 t 1） ；z=z0+rei，(0 2 ) 例题 1：积分路线是原点到3+i 的直线段解：参数方程z=（3+i
5、）t =(3+i)3=6+i 例题 2：沿曲线 y=x2计算（）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - - . 精选范本解： 参数方程或 z=t+it2 (0 t 1) =（）=(1+i)+ 2i =-+ i 1.3 定义衍生 2 重要积分结果：z=z0+ rei，(0 2 ) 由参数法可得：=（）d =d=例题 1：例题 2：解：=0 解=2 i 2.柯西积分定理法：2.1 柯西-古萨特定理：若 f(z)dz 在单连通区域B 内解析，则对
6、B 内的任意一条封闭曲线有：=0 2.2 定理 2：当 f 为单连通 B 内的解析函数是积分与路线无关，仅由积分路线的起点z0与终点 z1来确定。2.3 闭路复合定理：设函数 f(z) 在单连通区域 D 内解析， C 与C1是 D 内两条正向简单闭曲线， C1在 C的内部， 且以复合闭路 =C+C1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - - . 精选范本所围成的多连通区域G 全含于 D 则有：=+=0 即=推论：=例题：C为包含 0 和 1
7、的正向简单曲线。解： 被积函数奇点 z=0 和 z=1.在 C内互不相交，互不包含的正向曲线 c1和 c2。=+=+=0+2 i+2 i+0 =4 i 2.4 原函数法 (牛顿-莱布尼茨公式 )：定理 2.2 可知，解析函数在单连通域B 内沿简单曲线C 的积分只与起点 z0与终点 z1有关，即= 这里的 z1和 z0积分的上下限。当下限 z0固定，让上限 z1在 B 内变动，则积分在 B 内确定精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - - .
8、精选范本了一个单值函数 F(z), 即 F(z)=所以有若 f(z) 在单连通区域 B 内解析， 则函数 F(z) 必为 B 内的解析函数，且=f(z). 根据定理 2.2 和 2.4 可得= F(z1) - F(z0). 例题：求解：函数 zcosz 在全平面内解析=zsinz-= isin i+cosz=isin i+cos i-1 =i+-1=e-1-1 此方法计算复变函数的积分和计算微积分学中类似的方法，但是要注意复变适合此方法的条件。2.5 柯西积分公式法：设 B 为以单连通区域，z0位 B 中一点， 如 f(z) 在 B 内解析， 则函数在 z0不解析， 所以在 B 内沿围绕 z0
9、的闭曲线 C 的积分一般不为零。取 z0位中心，以0为半径的正向圆周= 位积分曲线，由于 f(z) 的连续性，所以=2 if(z0) 2.5.1 定理：若 f(z) 在区域 D 内解析，C 为 D 内任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，z0为 C 内的任一点，有：f(z0)=例题： 1）2）解：=2 isin z|z=0=0 解： =精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -