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1、精品资料 欢迎下载 011.limnkkTkCfz dzfz（定义法）2.()dddddCCCf zzu xv yv xu y 精品资料 欢迎下载 复积分对积分路径的可加性可得计算沿下列曲线的积分为从到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式精品资料 欢迎下载 1.计算函数()Ref zz沿下列曲线的积分.（2）2C为从点0z 到点11z 再到点21zi 的折线.解：从点0z 到点11z 的直线段参数方 程 为zx(01)x，在 它 上 有()1,Rez xzx，则 11210,1001Re 1 22x
2、Iz dzxdx，从点11z 再到点21zi 的直线段参数 方 程 为1(01),zyiy 在 它 上 有(),z yi Re1z，则 复积分对积分路径的可加性可得计算沿下列曲线的积分为从到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式精品资料 欢迎下载 11201,10Re 1 iIz dzi dyiyi，于是由复积分对积分路径的可加性可得 2121Re .2Cz dzIIi 4.计算()|f zz沿下列曲线的积分.（1）1C为从11z 到21z 的直线段；（2）2C为从11z 到21z 的上半圆周；（3）
3、3C为从11z 到21z 的下半圆周.解：（1）直线段1C的参数方程为(11),zxx 在 它 上 有()1,z x|zx，则 复积分对积分路径的可加性可得计算沿下列曲线的积分为从到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式精品资料 欢迎下载 110111011|1;22Czdzxdxx dxx dx （2）上 半 圆 周2C的 参 数 方 程 为()(0),ize 在它上有()(),izie|1z，则 2()()00|1()1(1)2;iiCzdziede （3）下 半 圆 周3C的 参 数 方 程 为
4、(0),ize 在 它 上 有(),izie|1z，则 200|1 1(1)2.iiCzdziede 6.设C为从0z 到11zi 的直线段，计算函数2()f zxyix 沿C的积分.解:直 线 段C参 数 方 程 为复积分对积分路径的可加性可得计算沿下列曲线的积分为从到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式精品资料 欢迎下载 0(1)0(01)zittitt ，在它上有()1,z ti xt yt 则 1220130()()(1)1 (1).33CCf z dzxyix dzttiti dttiii
5、 用 Cauchy 积分定理计算积分|12zdzIz的值，且证明等式 2012cos0.54cosd（1）解：被积函数12z 的奇点2z 在积分路径|1z 的外部，所以被积函数在闭区域|1z 上解析，于是由 Cauchy 积分定理复积分对积分路径的可加性可得计算沿下列曲线的积分为从到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式精品资料 欢迎下载 得|10.2zdzIz（2）证明：圆周|1z 的参数方程为(02)ize，在它上有(),izie 于是 2|102022202022(cossin)cossin2(
6、sincos)(cos2sin)(cos2)sin2sin(12cos)54cosiizdzieIdzeiidiiidid 22002sin12cos 54cos54cosdid 由（1）0I 得 22002sin12cos054cos54cosdid 复积分对积分路径的可加性可得计算沿下列曲线的积分为从到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式精品资料 欢迎下载 所以比较等式两边的虚部得 2012cos0.54cosd 注：此题常见错误：因为12cos54cos在02 处处解析，所以2012cos0.
7、54cosd 非常数实函数在整个复平面上处处不解析！3.试 讨 论 函 数()1/f zz沿 正 向 圆 周0|zzr的 积 分 值，其 中0,r 且00|,|0zrz.解：函数()1/f zz的奇点为0z.（1）当0|rz时，()f z的奇点在圆复积分对积分路径的可加性可得计算沿下列曲线的积分为从到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式精品资料 欢迎下载 周0|zzr的外部，所以()f z在闭区域0|zzr上解析，于是由 Cauchy 积分定理得 0|()0;z zrf z dz （2）当0|rz时
8、，0z 在 圆 周0|zzr的内部，则由解析函数积分的闭路变形原理可得 00|0|11()2,00z zrz zrzf z dzdzdzizz （其中0为任意实数）.复积分对积分路径的可加性可得计算沿下列曲线的积分为从到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式精品资料 欢迎下载 5计算下列积分值，其中积分路径都取正向.复积分对积分路径的可加性可得计算沿下列曲线的积分为从到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式精
9、品资料 欢迎下载（2）|3212(1)(2)zzidzzzi 解：令212(1)(2)12ziABzzizzi，则有 212(1)212(2),2211ziB zziA ziABzizizz 上面第一式令1z 得2(1)12112iAi ；上面第二式令2zi 得2(2)12121iiBi .所以21211(1)(2)12zizzizzi，于是 复积分对积分路径的可加性可得计算沿下列曲线的积分为从到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式精品资料 欢迎下载|3|3|3|321211()(1)(2)1211
10、 12 22 4.zzzzzidzdzzzizzidzdzzziiii 1计算下列积分，其中积分闭路取正向.（1）3|1|11zdzz 解：23|1|1|1|1211/(1)111 212 3zzzdzzzdzzzizzi （4）44|1(2)zdzzz 复积分对积分路径的可加性可得计算沿下列曲线的积分为从到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式精品资料 欢迎下载 解：4444|1|14071/(2)(2)21 3!(2)120 3(02)5 16zzzdzzdzzzzizii （6）41|2sin(
11、)nzzdzzi 解：复积分对积分路径的可加性可得计算沿下列曲线的积分为从到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式精品资料 欢迎下载 (4)41|2sin2sin()(4)!2 sin(4)!2 sin(4)!2 sh1(4)!nnz izz izdzizzinizniinn （8）43|2(1)(2)(16)zdzzzz 解：被积函数41(1)(2)(16)zzz有 6个奇点，只有1z 在圆|3/2z 的内部，于是函数41(2)(16)zz在闭圆域|3/2z 上解析，则由 Cauchy 积分公式得
12、复积分对积分路径的可加性可得计算沿下列曲线的积分为从到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式精品资料 欢迎下载 4433|22411/(2)(16)(1)(2)(16)11 2(2)(16)2 51zzzdzzzdzzzzzizzi4.用 Cauchy 积分公式计算函数()/zf zez沿正向圆周|1z 的积分值，然后利用圆周|1z 的参数方程()ize 证明下面积分 cos0cos(sin).ed （1）解：函数()/zf zez的奇点0z 在积分路径|1z 的内部，而函数ze在闭区域|1z 上解析
13、，于是由 Cauchy 积分公式得 0|122.zzzzedzieiz 复积分对积分路径的可加性可得计算沿下列曲线的积分为从到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式精品资料 欢迎下载（2）证明：圆周|1z 的参数方程为()ize ，在它上有(),izie 于是|1cossincoscoscoscoscos2 cos(sin)sin(sin)sin(sin)cos(sin)sin(sin)cos(sin)izeiizieeieidzdzeeideiideiededied 比较等式两边的虚部得 cosco
14、s(sin)2ed 又 复积分对积分路径的可加性可得计算沿下列曲线的积分为从到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式精品资料 欢迎下载 cos0coscos00cos()cos00coscos0coscos0 cos(sin)cos(sin)cos(sin)cos(sin()()cos(sin)cos(sin)cos(sin)cos(sin)cos(sin)ededededededededed 0cos0 2cos(sin)ed 所以 cos0cos(sin).ed 10.设()f z和()g z在简
15、单闭路C上及其内部解析，试证：（1）若()f z在 C上及其内部处处不为零，则有()0;()Cfzdzf z（2）若在 C上有()(),f zg z则在 C的内复积分对积分路径的可加性可得计算沿下列曲线的积分为从到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式精品资料 欢迎下载 部有()().f zg z 证明：（1）因为()f z在简单闭路 C上及其内部解析并且处处不为零，则()()fzf z在简单闭路 C 上及其内部处处解析，于是由Cauchy 积分定理得()0;()Cfzdzf z（2）若对于 C 上的
16、任意一点有()(),fg由于()f z和()g z在简单闭路C上及其内部解析，则对于 C的内部的任意一 点z，由Cauchy积 分 公 式 得1()1()()(),22CCfgf zddg ziziz所以在 C的内部有()().f zg z 复积分对积分路径的可加性可得计算沿下列曲线的积分为从到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式精品资料 欢迎下载 一、将下列函数在指定环域内展开成Laurent级数，且计算其沿正向圆周|6z 的积分值 I.（1）11()sin,0|1|;1f zzz 解：环域0|1
17、|z 的中心01z，对应的 Laurent 级数展开式中0z取 1，于是1()fz在环域0|1|z 内的 Laurent 级数展开式为 1210121011()sinsin11(1)1 (21)!1(1)(1),(21)!nnnnnnf zzznzzn 取0n 得1()fz在环域0|1|z 内的 Laurent 级数展开式的负一次幂系数11c，又 正 向 圆 周|6z 为 环 域复积分对积分路径的可加性可得计算沿下列曲线的积分为从到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式精品资料 欢迎下载 0|1|z
18、内围绕环心01z 的正向简单闭路，所以 11|6()22.zIf z dzici （3）361(),1|1|;(1)fzzz z 解：环域1|1|z 的中心01z ，对应的 Laurent 级数展开式中0z取-1，于是3()fz在环域1|1|z 内的 Laurent 级数展开式为 复积分对积分路径的可加性可得计算沿下列曲线的积分为从到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式精品资料 欢迎下载 36667070111()(1)(1)(1)111|1|11|1/(1)|11(1)1111 (1)1 (1),
19、nnnnfzz zzzzzzzzzzz 3()fz在环域1|1|z 内的 Laurent级数展开式不含有负一次幂，则负一次幂系数10c，又 正 向 圆 周|6z 在 环 域1|1|z 内部且正向围绕环心01z ，所以 31|6()20.zIfz dzic （5）复积分对积分路径的可加性可得计算沿下列曲线的积分为从到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式精品资料 欢迎下载 19251()2()cos,0|.fzzizizi 解：环域0|zi 的中心0zi，对应的 Laurent 级数展开式中0z取-i，
20、于是5()fz在环域0|zi 内的 Laurent 级数展开式为 19251921901921911()2()cos2 ()(1cos)(1)2 ()(1)(2)!(1)4 2()(),(2)!nnnnnnnfzzizizizizinzizizin 取10n 得5()fz在环域0|zi 内的 Laurent 级数展开式的负一次幂系数101420!c，又 正 向 圆 周|6z 在 环 域复积分对积分路径的可加性可得计算沿下列曲线的积分为从到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式精品资料 欢迎下载 0|z
21、i 内部且正向围绕环心0zi，所以 1051|62()24.20!ziIfz dzic 复积分对积分路径的可加性可得计算沿下列曲线的积分为从到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式精品资料 欢迎下载 复积分对积分路径的可加性可得计算沿下列曲线的积分为从到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式精品资料 欢迎下载 2.利用留数计算下列沿正向圆周的积分.（2）2|31zzdzz 解：被积函数的奇点1z 和1z 都在
22、圆|3z 的内部，它们都是一级极点，且满足留数的计算规则 3 的条件，则由规则 3得 2212211Re,1,1(1)21Re,1,1(1)2zzzzszzzzszz 复积分对积分路径的可加性可得计算沿下列曲线的积分为从到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式精品资料 欢迎下载 于是由留数定理得 222|32Re,1Re,1 11111 222 2.zzzzdzisszzzii （4）22|2(1)zzedzz 解：被积函数的奇点1z 在圆|2z 的内部，它是二级极点，则利用留数的计算规则 2 得 2
23、2222211Re,1lim(1)2,(1)(21)!(1)zzzeeszezz 于是由留数定理得 复积分对积分路径的可加性可得计算沿下列曲线的积分为从到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式精品资料 欢迎下载 2222|2222Re,1(1)(1)22 4.zzzeedziszziee i （6）3|21cosmzzdzz（其中 m 为整数）解：当0m 时，被 积 函数 在 圆|3/2z 内部没有奇点，此时 3|21cos0;mzzdzz 当0m 时，被积函数的奇点0z 在圆|3/2z 的内部，其中
24、：当1,2m 时，0z 是可去奇点，此时2Re(1cos)/,00,Re(1cos)/,00,szzszz复积分对积分路径的可加性可得计算沿下列曲线的积分为从到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式精品资料 欢迎下载 于是由留数定理得 3|21 cos1 cos2Re,00;mmzzzdziszz 当3m 时，0z 是1m 级极点，则利用留数的计算规则 2 得(1)01cos11cosRe,0lim(0)(1)!1,43,N(1)!0,44,N 1,45,N(1)!0,46mmmmzzzszzmzmk
25、kmmkkmkkmmk32,N(1),23,N (1)!0,24,Nmkmkkmmkk于是由留数定理得 复积分对积分路径的可加性可得计算沿下列曲线的积分为从到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式精品资料 欢迎下载 3|2321cos1cos2Re,02(1),23,N (1)!0,24,N.mmzmzzdziszzimkkmmkk 综合可得：当3m 且为奇数时，323|21cos2(1);(1)!mmzzidzzm 当m为其他整数时，3|21cos0.mzzdzz 复积分对积分路径的可加性可得计算沿
26、下列曲线的积分为从到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式精品资料 欢迎下载 4.计算下列各积分，C为正向圆周.复积分对积分路径的可加性可得计算沿下列曲线的积分为从到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式精品资料 欢迎下载（1）10423,:|3.(2)(2)CzdzCzzz 解：被积函数10423()/(2)(2)f zzzz在环域2|z 内解析，它的五个奇点都在圆周|3z 的内部，用留数定理计算比较困难.
27、该积分满足 5.2 节定理 2 的条件，则由定理2 得 1042324234230()(2)(2)11 2Re,01 2Re,0(12)(12)1 2lim(12)(12)2.CCzdzf z dzzzis fisii 复积分对积分路径的可加性可得计算沿下列曲线的积分为从到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式精品资料 欢迎下载 （2）13,:|2.1zCze dzCzz 解：被积函数13()/(1)zf zz ez在环域1|z 内 解 析，它 的 奇 点121,0zz都在圆周|2z 的内部，其中11
28、z 为一级极点，20z 为本性奇点，由于()f z在本性奇点20z 的留数不容易计算，故用留数定理计算比较困难.该积分满足 5.2 节定理 2 的条件，则由定理 2 得 复积分对积分路径的可加性可得计算沿下列曲线的积分为从到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式精品资料 欢迎下载 1324403240()111 2Re,0 2Re,0(1)2 lim3!(1)2(42)lim3!(1)zCCze dzf z dzzis feisieie 2 .3i 复积分对积分路径的可加性可得计算沿下列曲线的积分为从
29、到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式精品资料 欢迎下载 利用留数计算下列定积分.（1）20153sind 解：令ize，则dzdiz，22112153sin3103532izzziziz，复积分对积分路径的可加性可得计算沿下列曲线的积分为从到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式精品资料 欢迎下载 从而有 220|11253sin3103zddzziz.函数22()3103f zziz在|1z 内只有一个
30、简单极点/3zi，在|1z 上无奇点，且 2/321Re (),/3(3103)4zis f zizizi,由留数定理得 220|11253sin3103 2Re (),/31 2.42zddzzizis f ziii 复积分对积分路径的可加性可得计算沿下列曲线的积分为从到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式精品资料 欢迎下载 （3）221(1)dxx 解：221()(1)f zz满足 5.3 节定理 2 推论的条件，在上半平面内只有一个二级极点zi，且 22211Re (),lim()(1)4zi
31、s f z izizi，因此得 22112Re (),2.(1)42dxis f z iixi 注：此类型题常见的错误：计算中取函数的所有奇点而不是只取上半平面的奇点：复积分对积分路径的可加性可得计算沿下列曲线的积分为从到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式精品资料 欢迎下载 错解：2 212 Re (),Re (),.(1)dxis f z is f zix （5）2cos45xdxxx 解：函数2()45izizef z ezz在上半平面内只有一个简单极点2zi，且 1 222Re (),2(4
32、5)2iziizziees f z eizzi ，由 5.3 节定理 3 推论得 复积分对积分路径的可加性可得计算沿下列曲线的积分为从到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式精品资料 欢迎下载 21 22Re (),245 2(cos2sin2)2ixiziedxis f z eixxeiiie，因此取其实部得 22cosRecos2.4545ixxedxdxxxxxe 注：此类型题常见的错误：计算中取函数的所有奇点而不是只取上半平面的奇点；计算出留数后取实部或虚部再乘以2 i得出结果，而不是计算出留数乘以2 i后再取实部或虚部才得出结果。错解：复积分对积分路径的可加性可得计算沿下列曲线的积分为从到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式精品资料 欢迎下载 21 21cos2ReRe (),245 2Resin2.2izixdxis f z eixxeieii 注意：此类定积分题最后的结果一定是实数！复积分对积分路径的可加性可得计算沿下列曲线的积分为从到的直线段设为从到的直线段计算函数沿的积分解直线段参数方程为精品资料欢迎明圆周的参数方程为在它上有是于由得精品资料欢迎下载所以比较等式