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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次根式的学问点汇总学问点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式；注：在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式, 但必需留意：由于负数没有平方根, 所以 是 为二次根式的前提条件,如,等是二次根式,而,等都不是二次根式；例 1以下式子, 哪些是二次根式, 哪些不是二次根式：2 、3 3 、1x、x （x0）、0 、4 2 、-2 、x 1y、x y （x0,y.0）分析：二次根式应满意两个条件：第一,有二次根号“” ；第二,被开方数是正数或 0学问点二：取值范畴1、二次根式有意义的条件：由二次
2、根式的意义可知,当 a0时,有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可；名师归纳总结 2、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根,所以当a第 1 页,共 7 页 0 时,没有意义；例 2当 x 是多少时,3x1在实数范畴内有意义？- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备x欢迎下载11在实数范畴内有意义？例 3当 x 是多少时,23+x学问点三：二次根式（）的非负性（）表示 a 的算术平方根,也就是说,（）是一个非负数,即 0（）；注：由于二次根式（）表示 a 的算术平方根,而正数的算术平方根是正数, 0 的算术平方
3、根是 0,所以非负数（）的算术平方根是非负数,即 0（）,这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和肯定值、偶次方类似；这个性质在解答题目时应用较多,如如,就 a=0,b=0；如,就 a=0,b=0；如,就 a=0,b=0；例 41已知 y=2x +x2+5,求x y的值2如a1+b1=0,求 a 2004+b 2004 的值学问点四：二次根式（） 的性质（）文字语言表达为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 注：二次根式的性质公式学习必备欢迎下载）是逆用平方根的定义得出（的
4、结论；上面的公式也可以反过来应用：如,就,如：,. 例 1 运算1（3 2）22（35 ）23（5 6）24（7 2） 2 例 2 在实数范畴内分解以下因式: 2-3 （1）x2-3 （2）x4-4 3 2x学问点五：二次根式的性质文字语言表达为： 一个数的平方的算术平方根等于这个数的肯定值；注：1、化简时,肯定要弄明白被开方数的底数a 是正数仍是负数,如是正数或 0,就等于 a 本身,即；如 a 是负数,就等于a 的相反数 -a, 即；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2、学习必备欢迎下载a 取何值,一中的 a 的
5、取值范畴可以是任意实数,即不论定有意义；3、化简 时,先将它化成,再依据肯定值的意义来进行化简；例 1 化简（1）9（2） 4 2（3）25（4） 3 2例 2 填空：当 a0 时,a =_；当 aa,就 a 是什么数？例 3 当 x2,化简 x 22-1 2 2学问点六：与 的异同点1、不同点：与 表示的意义是不同的,表示一个正数 a的算术平方根的平方,而表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在 中,而 中 a 可以是正实数, 0,负实数；但与 都是非负数,即,；因而它的运算的结果是有差别的,而2、相同点：当被开方数都是非负数, 即 时,=；时,无意义,而 . 学问点七：二次根式的乘除名师归
6、纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、 乘法a b 学习必备欢迎下载反过来：ab =a b（aab（a0,b0）0,b0）a a a a2、除法 b= b （a0,b0）反过来,b= b （a0,b0）（摸索： b 的取值与 a 相同吗？为什么？不相同,由于 b 在分母,所以不能为 0）例 1运算（1）45 7（2）1 39（3）9 27（4）126（2）1681（3）2 9x y2（4）54例 2 化简（1）9 16例 3判定以下各式是否正确,不正确的请予以改正：（1） 4 949325 =412 2525 =412 =
7、836412 25（2）41225 =425例 4运算：（1）12 3（2）1（3）11 16（4）2848例 5化简：名师归纳总结 （1）3 649（2）2 64 b（3）9x（4）5x2第 5 页,共 7 页9 a2642 y169y例 6已知x9x,且 x 为偶数,求（1+x）2 xx5 x4的值x6x621- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3、最简二次根式应满意的条件：（1）被开方数 不含分母或分母中不含二次根式；（2）被开方数中 不含 开得尽方的因数或因式（熟记 20 以内数的平方； 因数或因式间是乘积的关系,当被开方数是整
8、式时要先判定是否能够分解因式,然后再观看各个因式的指数是否是 2（或 2 的倍数）,如是就说明含有能开方的因式,就不满意条 件,就不是最简二次根式）3 例 1把以下二次根式化为最简二次根式1 35 12; 2 2 x y4x y ; 2 38x y4、化简最简二次根式的方法：1 把被开方数 或根号下的代数式 化成积的形式,即分解因式；2 化去根号内的分母（或分母中的根号） ,即分母有理化；3 将根号内能开得尽方的因数或因式 开出来（此步需要特殊注意的是：开到根号外的时候要带肯定值,留意符号问题）5. 有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类：与与；与；与说明：利用有理化因式的特点可以将分
9、母有理化13、同类二次根式：被开方数相同的（最简）二次根式叫同类二次根 式；判定是否是同类二次根式时式；如8 与18务必 将各个根式都化为最简二次根名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载学问点八：二次根式的加减1、二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式,再把 被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并；（合并方法 为：将系数相加减,二次根式部分不变） ,不能合并的直接抄下来；例 1运算（ 1）8 +18（2）16x +64x分析：第一步,将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第 二步
10、,将相同的最简二次根式进行合并解：（1）8 +18 =22 +32 =（2+3）2 =52x（2）16x +64x =4x +8x =（4+8）x =12例 2运算（1）348 -91 3+312 （2）（48 +20 ）+（12 -5 ）y x）例 3已知 4x 2+y2-4x-6y+10=0,求（ 2 3x9x +y2x y）-（x21 x-5x的值2、二次根式的混合运算：先运算括号内,再乘方（开方）,再乘除,再加减3、二次根式的比较：（1）如,就有；（2）如,就有（3）将两个根式都平方,比较平方后的大小,对应平方前的大 小名师归纳总结 例 4比较 312 与 45 的大小第 7 页,共 7 页- - - - - - -