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1、定积分的庞杂运用编稿：赵雷审稿：李霞【深造目标】1.会用定积分求破体图形的面积。2.会用定积分求变速直线运动的行程3.会用定积分求变力作功征询题。【要点梳理】要点一、运用定积分求曲边梯形的面积1.如图，由三条直线，轴即直线及一条曲线()围成的曲边梯形的面积：2.如图，由三条直线，轴即直线及一条曲线()围成的曲边梯形的面积：3由三条直线轴及一条曲线不妨设在区间上，在区间上围成的图形的面积：.4.如图，由曲线及直线，围成图形的面积：要点说明：研究定积分在破体多少多何中的运用，其实质的确是单方面理解定积分的多少多何意思：当破体图形的曲边在轴上方时，随便转化为定积分求其面积；当破体图形的一部分在轴下方
2、时，其在轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数或绝对值；要点二、求由两条曲线围成的破体图形的面积的解题步伐1画出图形；2判定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限；3判定被积函数，特不要留心分清被积函数的上、下位置；4写出破体图形面积的定积分表达式；5运用微积分全然定理打算定积分，求出破体图形的面积。要点三、定积分在物理中的运用 速直线运动的行程作变速直线运动的物体所通过的行程，即是其速度函数在时辰区间上的定积分，即.变力作功物体在变力的感染下做直线运动，同时物体沿着与一样的倾向从移动到，那么变力所作的功.要点说明：1. 运用定积分处置运动行程征询题，分清运动过程中的变卦
3、情况是处置征询题的关键。应留心的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是行程。2. 求变力作功征询题，要留心寻准积分变量与积分区间。【模典范题】典范一、求破体图形的面积【高清课堂：定积分的庞杂运用385155例1】例1打算由两条抛物线跟所围成的图形的面积.【思路点拨】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差掉掉落。【分析】，因此两曲线的交点为0，0、1，1，面积S=，因此【总结升华】1.两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差掉掉落。2.在直角坐标系下求破体图形的面积的四个步伐：作图象；求交点，定积分上、下限；用定积分表示所求的面积
4、；微积分全然定理求定积分。举一反三：【变式1】天津曲线与直线所围成的封闭图形的面积为.【答案】【分析】已经清楚两条曲线交于点0，0跟1，1，且在此两点之间直线在抛物线上方，因此。【变式2】求曲线与曲线以及轴所围成的图形面积。【答案】所求图形的面积为例2打算由直线y=x3跟抛物线y2=4x所围成的破体图形的面积。【思路点拨】画出简图，结合图形判定积分区间。【分析】画出直线y=x3跟曲线y2=4x。那么所求破体图形的面积为如图1-5-3-7所示的阴影部分面积，解方程组得交点A1，2，B9，6。又直线y=x3与x轴交于点D3，0，过A、D作x轴的垂线把阴影联系成S1、S2、S3、S4四部分，那么按照
5、定积分的多少多何意思有。【总结升华】从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与两个曲线三角形面积的差，进而可以用定积分求出面积。为了判定出被积函数跟积分的上、下限，我们需要求出直线与曲线的交点的横坐标。举一反三：【变式1】(春哈尔滨校级期末)由直线及曲线所围成的封闭的图形的面积为A.B.3C.D.【答案】由题意，直线及曲线所围成的封闭的图形如图：直线与曲线的交点为1,2，因此阴影部分的面积为：，应选B。【高清课堂：定积分的庞杂运用385155例2】【变式2】打算由直线，曲线以及x轴所围图形的面积S.【答案】作出直线，曲线的草图，所求面积为上图阴影部分的面积解方程组得直线与曲线的交点的坐
6、标为8,4).直线与x轴的交点为4,0).因此，所求图形的面积为S=S1+S2.典范二、求变速直线运动的行程例3物体A以速度在不时线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以的速度与A同向运动，征询当两物体何时相遇？相遇时物体A的走过的行程是多少多？时辰单位为：s，速度单位为：m/s【思路点拨】对速度函数积分即可得物体A所走过的行程，从而按照题意树破方程停顿求解。【分析】设A追上B时,所用的时辰为依题意有即，=5(s)因此=130(m)因此5秒后两物体相遇，现在物体A走过了130米。【总结升华】运用定积分处置物理征询题，分清运动过程中的变卦情况是处置征询题的关键。应留
7、心的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是行程。举一反三：【变式】一辆汽车的速度-时辰曲线如图1-5-3-9，求该汽车在这1min里手驶的行程。【答案】由图象可得，由变速直线运动的行程公式可得。故该汽车在1min里手驶的行程是1350m。典范三、求变力做功例4.一物体在变力感染下沿坐标破体内x辆正倾向由x=8处运动到x=18处，求力做的功。【思路点拨】对变力F停顿定积分即可得变力所作的功。【分析】如右图，阴影部分的面积即所做的功。，做的功。【总结升华】求变力作功征询题，一般运用定积分加以处置，但要留心寻寻积分变量与积分区间。举一反三：【高清课堂：定积分的庞杂运用385155例5】【变式】求证：
8、把质量为m单位kg的物体从地球的表面落低h单位：m地点做的功W=G，其中G是地球引力常数，M是地球的质量，k是地球的半径【答案】按照万有引力定律，清楚对于两个距离为r，质量分不为m1、m2的质点，它们之间的引力f为f=G，其中G为引力常数那么当质量为m物体距离空中高度为x0xh时，地心对它有引力f(x)=G故该物体从空中升到h地点做的功为dx=dx=GMmdx=GMm=典范四、定积分的综合运用例5.在曲线y=x2x0上某一点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为，求：1切点A的坐标。2过切点A的切线方程。【思路点拨】切线的歪率即是函数在切点处的导数值,再由积分式算出围成图形的面积。
9、【分析】如图，设切点Ax0，y0，由y=2x知过A点的切线方程为yy0=2x0(xx0)，即。令y=0，得，即。设由曲线与过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，。即。因此x0=1，从而切点A1，1，切线方程为2xy1=0。【总结升华】此题将导数与定积分联系起来，解题的关键是求出曲边AOB的面积，因此设出切点A的坐标，运用导数的多少多何意思写出切线方程，然后运用定积分求出所围成破体图形的面积，从而判定切点A的坐标，使征询题处置。举一反三：【变式】有不时线与抛物线y=x2订交于A,B两点,AB与抛物线所围成的图形的面积恒即是,求线段AB的中点P的轨迹方程.xyABO【答案】如以下列图,设抛物线上的两点为A(a,a2),B(b,b2),不妨设ab,直线AB的方程为:y=(a+b)x-ab,设它与抛物线所围成的图形的面积为S,那么S=b-a=2(),设AB的中点P(x,y),那么x=,y=,由()式得x=a+1,y=a2+2a+2,消去参数a,可得y=x2+1,线段AB的中点P的轨迹方程为y=x2+1.