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1、定积分的复杂使用编稿：赵雷审稿：李霞【进修目的】1.会用定积分求破体图形的面积。2.会用定积分求变速直线活动的行程3.会用定积分求变力作功咨询题。【要点梳理】要点一、使用定积分求曲边梯形的面积1.如图，由三条直线，轴即直线及一条曲线()围成的曲边梯形的面积：2.如图，由三条直线，轴即直线及一条曲线()围成的曲边梯形的面积：3由三条直线轴及一条曲线无妨设在区间上，在区间上围成的图形的面积：.4.如图，由曲线及直线，围成图形的面积：要点解释：研讨定积分在破体几多何中的使用，其本质确实是片面了解定积分的几多何意思：当破体图形的曲边在轴上方时，轻易转化为定积分求其面积；当破体图形的一局部在轴下方时，其
2、在轴下的局部对应的定积分为负值，应取其相反数或相对值；要点二、求由两条曲线围成的破体图形的面积的解题步调1画出图形；2断定图形范畴，经过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、上限；3断定被积函数，特不要留意分清被积函数的上、下地位；4写出破体图形面积的定积分表白式；5应用微积分根本定理盘算定积分，求出破体图形的面积。要点三、定积分在物理中的使用 速直线活动的行程作变速直线活动的物体所经过的行程，等于其速率函数在时刻区间上的定积分，即.变力作功物体在变力的感化下做直线活动，同时物体沿着与一样的偏向从挪动到，那么变力所作的功.要点解释：1. 应用定积分处理活动行程咨询题，分清活动进程中的变更状况是
3、处理咨询题的要害。应留意的是减速率的定积分是速率，速率的定积分是行程。2. 求变力作功咨询题，要留意寻准积分变量与积分区间。【典范例题】范例一、求破体图形的面积【高清讲堂：定积分的复杂使用385155例1】例1盘算由两条抛物线跟所围成的图形的面积.【思绪点拨】两条抛物线所围成的图形的面积，能够由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差失掉。【剖析】，因而两曲线的交点为0，0、1，1，面积S=，因而【总结升华】1.两条抛物线所围成的图形的面积，能够由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差失掉。2.在直角坐标系下求破体图形的面积的四个步调：作图象；求交点，定积分上、上限；用定积分表现所求的面积；微积分根
4、本定理求定积分。触类旁通：【变式1】天津曲线与直线所围成的封锁图形的面积为.【谜底】【剖析】曾经明白两条曲线交于点0，0跟1，1，且在此两点之间直线在抛物线上方，因而。【变式2】求曲线与曲线以及轴所围成的图形面积。【谜底】所求图形的面积为例2盘算由直线y=x3跟抛物线y2=4x所围成的破体图形的面积。【思绪点拨】画出简图，联合图形断定积分区间。【剖析】画出直线y=x3跟曲线y2=4x。那么所求破体图形的面积为如图1-5-3-7所示的暗影局部面积，解方程组得交点A1，2，B9，6。又直线y=x3与x轴交于点D3，0，过A、D作x轴的垂线把暗影联系成S1、S2、S3、S4四局部，那么依照定积分的几
5、多何意思有。【总结升华】从图形能够看出，所求图形的面积能够转化为一个梯形与两个曲线三角形面积的差，进而能够用定积分求露面积。为了断定出被积函数跟积分的上、上限，咱们需求求出直线与曲线的交点的横坐标。触类旁通：【变式1】(春哈尔滨校级期末)由直线及曲线所围成的封锁的图形的面积为A.B.3C.D.【谜底】由题意，直线及曲线所围成的封锁的图形如图：直线与曲线的交点为1,2，因而暗影局部的面积为：，应选B。【高清讲堂：定积分的复杂使用385155例2】【变式2】盘算由直线，曲线以及x轴所围图形的面积S.【谜底】作出直线，曲线的草图，所求面积为上图暗影局部的面积解方程组得直线与曲线的交点的坐标为8,4)
6、.直线与x轴的交点为4,0).因而，所求图形的面积为S=S1+S2.范例二、求变速直线活动的行程例3物体A以速率在不断线上活动，在此直线上与物体A动身的同时，物体B在物体A的正后方5m处以的速率与A同向活动，咨询当两物体何时相遇？相遇时物体A的走过的行程是几多？时刻单元为：s，速率单元为：m/s【思绪点拨】对速率函数积分即可得物体A所走过的行程，从而依照题意树破方程进展求解。【剖析】设A追上B时,所用的时刻为依题意有即，=5(s)因而=130(m)因而5秒后两物体相遇，如今物体A走过了130米。【总结升华】应用定积分处理物理咨询题，分清活动进程中的变更状况是处理咨询题的要害。应留意的是减速率的
7、定积分是速率，速率的定积分是行程。触类旁通：【变式】一辆汽车的速率-时刻曲线如图1-5-3-9，求该汽车在这1min行家驶的行程。【谜底】由图象可得，由变速直线活动的行程公式可得。故该汽车在1min行家驶的行程是1350m。范例三、求变力做功例4.一物体在变力感化下沿坐标破体内x辆正偏向由x=8处活动到x=18处，求力做的功。【思绪点拨】对变力F进展定积分即可得变力所作的功。【剖析】如右图，暗影局部的面积即所做的功。，做的功。【总结升华】求变力作功咨询题，普通应用定积分加以处理，但要留意寻寻积分变量与积分区间。触类旁通：【高清讲堂：定积分的复杂使用385155例5】【变式】求证：把品质为m单元
8、kg的物体从地球的外表降低h单元：m地方做的功W=G，此中G是地球引力常数，M是地球的品质，k是地球的半径【谜底】依照万有引力定律，明白关于两个间隔为r，品质分不为m1、m2的质点，它们之间的引力f为f=G，此中G为引力常数那么当品质为m物体间隔空中高度为x0xh时，地心对它有引力f(x)=G故该物体从空中升到h地方做的功为dx=dx=GMmdx=GMm=范例四、定积分的综合使用例5.在曲线y=x2x0上某一点A处作所有线，使之与曲线以及x轴所围成图形的面积为，求：1切点A的坐标。2过切点A的切线方程。【思绪点拨】切线的歪率等于函数在切点处的导数值,再由积分式算出围成图形的面积。【剖析】如图，
9、设切点Ax0，y0，由y=2x知过A点的切线方程为yy0=2x0(xx0)，即。令y=0，得，即。设由曲线与过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，。即。因而x0=1，从而切点A1，1，切线方程为2xy1=0。【总结升华】此题将导数与定积分联络起来，解题的要害是求出曲边AOB的面积，因而设出切点A的坐标，应用导数的几多何意思写出切线方程，而后应用定积分求出所围成破体图形的面积，从而断定切点A的坐标，使咨询题处理。触类旁通：【变式】有不断线与抛物线y=x2订交于A,B两点,AB与抛物线所围成的图形的面积恒等于,求线段AB的中点P的轨迹方程.xyABO【谜底】如以下图,设抛物线上的两点为A(a,a2),B(b,b2),无妨设ab,直线AB的方程为:y=(a+b)x-ab,设它与抛物线所围成的图形的面积为S,那么S=b-a=2(),设AB的中点P(x,y),那么x=,y=,由()式得x=a+1,y=a2+2a+2,消去参数a,可得y=x2+1,线段AB的中点P的轨迹方程为y=x2+1.