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1、第第15章章 数字信号处理数字信号处理技术技术北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制15.1 数字信号处理概述数字信号处理概述1、数字信号处理的主要研究内容、数字信号处理的主要研究内容 数数字字信信号号处处理理主主要要研研究究用用数数字字序序列列来来表表示示测测试试信信号号，并并用用数数学学公公式式和和运运算算来来对对这这些些数数字字序序列列进进行行处处理理。内内容容包包括括数数字字波波形形分分析析、幅幅值值分分析析、频频谱谱分分析析和和数数字字滤波。滤波。0AtX(0)X(1)X(2)X(3)X(4)北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚
2、刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制2、测试信号数字化处理的基本步骤、测试信号数字化处理的基本步骤物理信号物理信号对象对象传传感感器器电信号电信号放放大大调调制制电信号电信号A/D转换转换数字信号数字信号计计算算机机显显示示D/A转换转换电信号电信号控制控制物理信号物理信号15.1 数字信号处理概述数字信号处理概述北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制3、数字信号处理的优势、数字信号处理的优势 1)用用数数学学计计算算和和计计算算机机显显示示代代替替复复杂杂的的电电路路和和机械结构机械结构15.1 数字信号处理概述数字信号处理概述北京工业大学机电学院北京工业
3、大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制2)计算机软硬件技术发展的有力推动计算机软硬件技术发展的有力推动a)多种多样的工业用计算机。多种多样的工业用计算机。15.1 数字信号处理概述数字信号处理概述北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制b)灵活、方便的计算机虚拟仪器开发系统灵活、方便的计算机虚拟仪器开发系统2)计算机软硬件技术发展的有力推动计算机软硬件技术发展的有力推动15.1 数字信号处理概述数字信号处理概述北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制案例：铁路机车案例：铁路机车FSK信号检测与分析信号
4、检测与分析京广线计划提速到京广线计划提速到200公里公里/小时小时合作任务：机车状态信号识别合作任务：机车状态信号识别(频率解调频率解调)15.1 数字信号处理概述数字信号处理概述北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制 采样采样利用采样脉冲序列，从信号中抽取一系列离散利用采样脉冲序列，从信号中抽取一系列离散值，使之成为采样信号值，使之成为采样信号x(nTs)的过程。的过程。Ts称为采样间隔，或采样周期，称为采样间隔，或采样周期，1/Ts=fs 称为采样频率。称为采样频率。由于后续的量化过程需要一定的时间由于后续的量化过程需要一定的时间，对于随时间变化的
5、模，对于随时间变化的模拟输入信号，要求瞬时采样值在时间拟输入信号，要求瞬时采样值在时间内保持不变，这样才能内保持不变，这样才能保证转换的正确性和转换精度，这个过程就是采样保持。正保证转换的正确性和转换精度，这个过程就是采样保持。正是有了采样保持，实际上采样后的信号是阶梯形的连续函数。是有了采样保持，实际上采样后的信号是阶梯形的连续函数。1、A/D转换转换 模拟信号0,1,2,3,2,1,采样量化数字信号15.2 模数模数(A/D)和数模和数模(D/A)北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制012345678012345编码编码将离散幅值经将离散幅值经
6、过量化以后变为二进制数的过程过量化以后变为二进制数的过程4位位A/D:XXXXX(1)0101X(2)0011X(3)0000量化量化把采样信号经过舍入或截尾的方法变为只有有把采样信号经过舍入或截尾的方法变为只有有限个有效数字的数，称为量化。限个有效数字的数，称为量化。x(1)=5x(2)=4x(3)=0 x(4)=0 x(5)=4x(6)=5x(7)=1x(8)=0信号的六等份量化过程信号的六等份量化过程15.2 模数模数(A/D)和数模和数模(D/A)北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制2)A/D转换器的技术指标转换器的技术指标 (1)分辨率分辨
7、率 用输出二进制数码的位数表示。位数越多，量化用输出二进制数码的位数表示。位数越多，量化误差越小，分辨力越高。常用有误差越小，分辨力越高。常用有8位、位、10位、位、12位、位、16位等。位等。(2)转换速度转换速度 指完成一次转换所用的时间，如指完成一次转换所用的时间，如:1ms(1kHz)；10us(100kHz)(3)模拟信号的输入范围模拟信号的输入范围 如，如，5V，+/5V，10V，+/10V等。等。15.2 模数模数(A/D)和数模和数模(D/A)北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制2)A/D转换器的技术指标转换器的技术指标 (4)转换精
8、度转换精度 A/D转换器中采用分辨率和转换误差来描述转换器中采用分辨率和转换误差来描述转换精度。转换精度。a)分辨率用来说明分辨率用来说明A/D转换器对输入信号的转换器对输入信号的分辨能力，有分辨能力，有n位输出的位输出的A/D转换器能区分转换器能区分2n个不个不同等级，因此分辨率同等级，因此分辨率=VImax/2n，式中，式中，VImax是是输入模拟信号的最大值。输入模拟信号的最大值。b)A/D转换器的转换误差通常以输出误差的转换器的转换误差通常以输出误差的最大值形式给出，它表示实际输出数字量和理论最大值形式给出，它表示实际输出数字量和理论上应得到的数字量之间的差别，通常规定应小于上应得到的
9、数字量之间的差别，通常规定应小于1/2LSB。15.2 模数模数(A/D)和数模和数模(D/A)北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制2、D/A转换过程和原理转换过程和原理 D/A转换器是把数字信号转换为电压或电流信号的装置。转换器是把数字信号转换为电压或电流信号的装置。D/A转换器一般先通过转换器一般先通过T型电阻网络将数字信号转型电阻网络将数字信号转换为模拟电脉冲信号，然后通过零阶保持电路将其转换为模拟电脉冲信号，然后通过零阶保持电路将其转换为阶梯状的连续电信号。只要采样间隔足够密，就换为阶梯状的连续电信号。只要采样间隔足够密，就可以精确的复现原信
10、号。为减小零阶保持电路带来的可以精确的复现原信号。为减小零阶保持电路带来的电噪声，还可以在其后接一个低通滤波器。电噪声，还可以在其后接一个低通滤波器。15.2 模数模数(A/D)和数模和数模(D/A)北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制 D/A转换器的技术指标转换器的技术指标 (1)分辨率分辨率 D/A转换器的分辨力用可用输入的二进制数码的转换器的分辨力用可用输入的二进制数码的位数来表示。位数越多，则分辨力也就越高。常用的位数来表示。位数越多，则分辨力也就越高。常用的有有8位、位、10位、位、12位、位、16位、位、24位、位、32位等。位等。12位
11、位D/A转换器的分辨率为转换器的分辨率为1/212=0.024%。15.2 模数模数(A/D)和数模和数模(D/A)北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制 D/A转换器的技术指标转换器的技术指标 (2)转换精度转换精度 转换精度定义为实际输出与期望输出之比。以转换精度定义为实际输出与期望输出之比。以全程的百分比或最大输出电压的百分比表示。理论全程的百分比或最大输出电压的百分比表示。理论上上D/A转换器的最大误差为最低位的转换器的最大误差为最低位的1/2，10位位D/A转换器的分辨率为转换器的分辨率为1/210，约为，约为0.1%，它的精度为，它的精度为
12、0.05%。如。如10位位D/A转换器的满程输出为转换器的满程输出为10V，则它，则它的最大输出误差为的最大输出误差为10V0.0005=5mV。15.2 模数模数(A/D)和数模和数模(D/A)北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制 D/A转换器的技术指标转换器的技术指标 (3)转换速度转换速度 转换速度是指完成一次转换速度是指完成一次D/A转换所用的时间。转换所用的时间。转换时间越长，转换速度就越低。转换时间越长，转换速度就越低。15.2 模数模数(A/D)和数模和数模(D/A)北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚
13、制胥永刚制A/D、D/A转换过程中的量化误差实验：转换过程中的量化误差实验：15.2 模数模数(A/D)和数模和数模(D/A)北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制一、信号采样一、信号采样 采样是将采样脉冲序列采样是将采样脉冲序列p(t)与信号与信号x(t)相乘，取离散相乘，取离散点点x(nt)值的过程。值的过程。p(t)x(t)x(nt)15.3 采样定理采样定理北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制000000 一个连续信号经过一个连续信号经过理想采样以后，它的频理想采样以后，它的频谱将沿着频率轴每隔一谱将
14、沿着频率轴每隔一个采样频率个采样频率s,重复出现重复出现一次，即其频谱产生了一次，即其频谱产生了周期延拓，其幅值被采周期延拓，其幅值被采样脉冲序列的傅立叶系样脉冲序列的傅立叶系数（数（Cn=1/Ts)所加权，其所加权，其频谱形状不变。频谱形状不变。一、信号采样一、信号采样15.3 采样定理采样定理北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制 1 频混现象频混现象 （a）采样频率等于信号频率，正弦信号离散后得到直流信号）采样频率等于信号频率，正弦信号离散后得到直流信号（b）采样频率等于信号频率的）采样频率等于信号频率的2倍，正弦信号离散后得到三角波信号倍，正弦
15、信号离散后得到三角波信号（c）采样频率小于信号频率的）采样频率小于信号频率的2倍，正弦信号离散后得到更低频倍，正弦信号离散后得到更低频率的正弦信号率的正弦信号15.3 采样定理采样定理北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制 当采样信号的频率低于被采样信号的最高频率时，当采样信号的频率低于被采样信号的最高频率时，采样所得的信号中混入了虚假的低频分量，这种现采样所得的信号中混入了虚假的低频分量，这种现象叫做频率混叠。象叫做频率混叠。(a)采样频率合适的情况下复原信号；采样频率合适的情况下复原信号；(b)采样频率过低的情况下，复原的是一个虚假的采样频率过低的
16、情况下，复原的是一个虚假的低频信号。低频信号。1 频混现象频混现象 15.3 采样定理采样定理北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制 频混现象又称频谱混叠效应，它是由于采样信号频谱发生频混现象又称频谱混叠效应，它是由于采样信号频谱发生变化，而出现高、低频成分发生混淆的一种现象。变化，而出现高、低频成分发生混淆的一种现象。1 频混现象频混现象 15.3 采样定理采样定理北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制 1 频混现象频混现象 l信号信号x(t)的傅里叶变换为的傅里叶变换为X()，其频带范围为，其频带范围为 m
17、m；l当采样周期当采样周期Ts较小时，较小时，s2m，周期谱图相互分离，周期谱图相互分离如图中如图中(b)所示；所示；l当当Ts较大时，较大时，s2m，周期谱图相互重叠，即谱图，周期谱图相互重叠，即谱图中高频与低频部分发生重叠，如图中中高频与低频部分发生重叠，如图中(c)所示，此即频所示，此即频混现象，这将使信号复原时丢失原始信号中的高频信混现象，这将使信号复原时丢失原始信号中的高频信息。息。15.3 采样定理采样定理北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制2 采样定理采样定理 为为保保证证采采样样后后信信号号能能真真实实地地保保留留原原始始模模拟拟信信
18、号号信信息息，信信号号采采样样频频率率必必须须至至少少为为原原信信号号中中最最高高频频率率成成分分的的2倍倍。这这是是采采样样的的基基本本法法则则，称称为为采采样样定定理理，亦亦称称仙仙农定理。农定理。fs 2 fmax 15.3 采样定理采样定理北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制 注注意意：满满足足采采样样定定理理，只只保保证证不不发发生生频频率率混混叠叠，而而不不能能保保证证采采样样信信号号能能真真实实地地反反映映原原信信号号x(t)。工工程程实实际中采样频率通常大于信号中最高频率成分的际中采样频率通常大于信号中最高频率成分的35倍。倍。2 采
19、样定理采样定理15.3 采样定理采样定理北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制A/D采样前的抗混迭滤波：采样前的抗混迭滤波：物理信号物理信号对象对象传传感感器器电信号电信号放放大大调调制制电信号电信号A/D转换转换数字信号数字信号展开展开低通滤波低通滤波(0Fs/2)放大放大2 采样定理采样定理15.3 采样定理采样定理北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制 为便于数学处理，对截断信号做周期延拓，得到为便于数学处理，对截断信号做周期延拓，得到虚拟的无限长信号。虚拟的无限长信号。用用计计算算机机进进行行测测试试信
20、信号号处处理理时时，不不可可能能对对无无限限长长的的信信号号进进行行测测量量和和运运算算，而而是是取取其其有有限限的的时时间间片片段段进进行行分分析析，这个过程称信号截断。这个过程称信号截断。15.3 采样定理采样定理北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制 周周期期延延拓拓后后的的信信号号与与真真实实信信号号是是不不同同的的，下下面面从从数数学的角度来看这种处理带来的误差情况。学的角度来看这种处理带来的误差情况。设有余弦信号设有余弦信号x(t)，用矩形窗函数，用矩形窗函数w(t)与其相乘，与其相乘，得到截断信号：得到截断信号：y(t)=x(t)w(t)
21、将将截截断断信信号号谱谱 XT()与与原原始始信信号号谱谱X()相相比比较较可可知知，它它已已不不是是原原来来的的两两条条谱谱线线，而而是是两两段段振振荡荡的的连连续续谱谱.原原来来集集中中在在f0处处的的能能量量被被分分散散到到两两个个较较宽宽的的频频带带中中去去了了，这种现象称之为频谱能量泄漏。这种现象称之为频谱能量泄漏。15.4 信号的截断、能量泄露信号的截断、能量泄露北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制周期延拓信号与真实信号是不同的：周期延拓信号与真实信号是不同的：能量泄漏误差能量泄漏误差15.4 信号的截断、能量泄露信号的截断、能量泄露北京
22、工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制克服方法之一：信号整周期截断克服方法之一：信号整周期截断15.4 信号的截断、能量泄露信号的截断、能量泄露北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制 为了减少频谱能量泄漏，可采用不同的截取函数为了减少频谱能量泄漏，可采用不同的截取函数对信号进行截断，截断函数称为窗函数，简称为窗。对信号进行截断，截断函数称为窗函数，简称为窗。泄漏与窗函数频谱的两侧旁瓣有关，如果两侧瓣的高泄漏与窗函数频谱的两侧旁瓣有关，如果两侧瓣的高度趋于零，而使能量相对集中在主瓣，就可以较为接度趋于零，而使能量相对
23、集中在主瓣，就可以较为接近于真实的频谱。近于真实的频谱。克服方法之二：窗函数克服方法之二：窗函数15.4 信号的截断、能量泄露信号的截断、能量泄露北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制 常用窗函数：常用窗函数：(1)(1)幂窗幂窗采用时间变量某种幂次的函数，如采用时间变量某种幂次的函数，如矩形、三角形、梯形或其它时间矩形、三角形、梯形或其它时间(t)(t)的高次幂；的高次幂；(2)(2)三角函数窗三角函数窗应用三角函数，即正弦或余弦应用三角函数，即正弦或余弦函数等组合成复合函数，例如汉宁窗、海明窗等；函数等组合成复合函数，例如汉宁窗、海明窗等；(3)(
24、3)指数窗指数窗采用指数时间函数，如采用指数时间函数，如e-ste-st形式，形式，例如高斯窗等例如高斯窗等克服方法之二：窗函数克服方法之二：窗函数15.4 信号的截断、能量泄露信号的截断、能量泄露北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制1.矩形窗矩形窗矩形窗属于时间变量的零次幂窗，函数形式为矩形窗属于时间变量的零次幂窗，函数形式为相应的窗谱为：相应的窗谱为：矩形窗使用最多，习惯上不加窗就是使信号通过了矩形窗矩形窗使用最多，习惯上不加窗就是使信号通过了矩形窗优点：主瓣比较集中优点：主瓣比较集中缺点：旁瓣较高，并有负旁瓣，导致变换中带进了高缺点：旁瓣较高，
25、并有负旁瓣，导致变换中带进了高频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象。频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象。15.4 信号的截断、能量泄露信号的截断、能量泄露北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制2.三角窗三角窗三角窗亦称费杰三角窗亦称费杰(Fejer)窗，是幂窗的一次方形式：窗，是幂窗的一次方形式：相应的窗谱为：相应的窗谱为：三角窗与矩形窗比较，主瓣宽约等于矩形窗三角窗与矩形窗比较，主瓣宽约等于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣。的两倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣。15.4 信号的截断、能量泄露信号的截断、能量泄露北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚
26、胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制 3.汉宁汉宁(Hanning)窗窗汉宁窗又称升余弦窗，其时域表达式为：汉宁窗又称升余弦窗，其时域表达式为：相应的窗谱为：相应的窗谱为：与矩形窗对比，汉宁窗主瓣加宽并降低，旁瓣则与矩形窗对比，汉宁窗主瓣加宽并降低，旁瓣则显著减小。汉宁窗的旁瓣衰减速度也较快。比较可知，显著减小。汉宁窗的旁瓣衰减速度也较快。比较可知，从减小泄漏观点出发，汉宁窗优于矩形窗。但汉宁窗从减小泄漏观点出发，汉宁窗优于矩形窗。但汉宁窗主瓣加宽，相当于分析带宽加宽，频率分辨力下降。主瓣加宽，相当于分析带宽加宽，频率分辨力下降。15.4 信号的截断、能量泄露信号的截断、能量泄露北京工业大学机电学院北
27、京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制1、离散傅立叶变换、离散傅立叶变换 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)一词是为一词是为适应计算机作傅里叶变换运算而引出的一个专用名词。适应计算机作傅里叶变换运算而引出的一个专用名词。对信号对信号x(t)进行傅里叶变换进行傅里叶变换(FT)或逆傅里叶变换或逆傅里叶变换(IFT)运运算时，无论在时域或在频域都需要进行包括算时，无论在时域或在频域都需要进行包括(，)区间区间的积分运算，若在计算机上实现这一运算，则必须做到：的积分运算，若在计算机上实现这一运算，则必须做到：(1)把连续信号把连续
28、信号(包括时域、频域包括时域、频域)改造为离散数据；改造为离散数据；(2)把计算范围收缩到一个有限区间；把计算范围收缩到一个有限区间；(3)实现正、逆博里叶变换运算。实现正、逆博里叶变换运算。在这种条件下所构成的变换对称为离散傅里叶变换对。在这种条件下所构成的变换对称为离散傅里叶变换对。其特点是：在时域和频域中都只取有限个离散数据，这些其特点是：在时域和频域中都只取有限个离散数据，这些数据分别构成周期性的离散时间函数和频率函数。数据分别构成周期性的离散时间函数和频率函数。15.5 DFT与与FFT北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制各种信号的傅立叶级
29、数与傅立叶变换对各种信号的傅立叶级数与傅立叶变换对(1)15.5 DFT与与FFT北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制各种信号的傅立叶级数与傅立叶变换对各种信号的傅立叶级数与傅立叶变换对(2)15.5 DFT与与FFT北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制15.5 DFT与与FFT北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制 四对傅立叶级数和傅立叶变换对在理论上有重要四对傅立叶级数和傅立叶变换对在理论上有重要的意义，但在实际中往往难以实现，尤其在数字计算的意义，但在实际中往
30、往难以实现，尤其在数字计算机上实现是不太现实的，例如计算机无法处理连续的机上实现是不太现实的，例如计算机无法处理连续的周期的信号。因此我们需要的是一种在时域和频域都周期的信号。因此我们需要的是一种在时域和频域都离散、非周期的一对傅立叶变换对，这就是离散傅立离散、非周期的一对傅立叶变换对，这就是离散傅立叶变换，简称（叶变换，简称（DFT）。）。离散傅立叶变换的导出有多种方法，比较方便同离散傅立叶变换的导出有多种方法，比较方便同时物理意义也比较清晰的是离散时间傅立叶变换时物理意义也比较清晰的是离散时间傅立叶变换（DTFT）和从离散傅立叶级数（）和从离散傅立叶级数（DFS）。）。15.5 DFT与与
31、FFT北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制DTFT变换为：变换为：时域是离散非周期的，但频域是连续周期的，对连时域是离散非周期的，但频域是连续周期的，对连续变量续变量 w 均匀采样，也就是对单位圆进行均匀采样，也就是对单位圆进行N等分，取一等分，取一个周期的结果即得：个周期的结果即得：这样频谱变量由连续量这样频谱变量由连续量w变成了离散变量。从变成了离散变量。从DFS到到DFT更加明显，更加明显，DFS对应的时域和频域都是离散周对应的时域和频域都是离散周期信号，可以在这两个域中分别取它们的主值，也就期信号，可以在这两个域中分别取它们的主值，也就是限定
32、在一个周期内，这样就得到了是限定在一个周期内，这样就得到了DFT变换对。变换对。15.5 DFT与与FFT北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制正变换正变换反变换反变换 注意：注意：这一对变换对中信号的长这一对变换对中信号的长 x(n)的长度为的长度为 N，它的频谱，它的频谱 X(k)点长也为点长也为 N，则，则 x(n)和和 X(k)具有唯一的映射对应关系。具有唯一的映射对应关系。为了表示方便，一般用符合为了表示方便，一般用符合 来表示正交序列集中的基来表示正交序列集中的基 ，即即 。因此离散傅立叶变换对也可表示为：。因此离散傅立叶变换对也可表示为：
33、15.5 DFT与与FFT北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制15.5 DFT与与FFT北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制1 1、离散傅立叶变换、离散傅立叶变换 x(t)截断、周期延拓截断、周期延拓xT(t)周期信号周期信号xT(t)的傅里叶变换：的傅里叶变换：连续时间信号连续时间信号x(t)经过加窗截断后，在区间经过加窗截断后，在区间0,T上上经过经过A/D转换离散化，采样间隔转换离散化，采样间隔t按采样频率确定为：按采样频率确定为：t=1/fs 在时间点在时间点0,t,2t,3t,.进行取样，得到长度
34、进行取样，得到长度为为N(N=T/t)的时间序列的时间序列x(n)。15.5 DFT与与FFT北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制 对周期信号对周期信号xT(t)采样，得离散序列采样，得离散序列xT(n)，将积分转，将积分转为集合：为集合：展开，得连续傅立叶变换计算公式：展开，得连续傅立叶变换计算公式：用计算机编程很容易计算出指定频率点值。用计算机编程很容易计算出指定频率点值。15.5 DFT与与FFT北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制 采采样样信信号号频频谱谱是是一一个个连连续续频频谱谱，不不可可能能计
35、计算算出出所所有频率点值，设频率取样间隔为：有频率点值，设频率取样间隔为：f=fs/N 频率取样点为频率取样点为0,f,2f,3f,.，有：，有：该公式就是离散傅立叶计算公式该公式就是离散傅立叶计算公式(DFT)15.5 DFT与与FFT北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制2 2、快速傅立叶变换、快速傅立叶变换 快快速速傅傅立立叶叶变变换换(FFT)是是实实施施离离散散傅傅立立叶叶变变换换的的一一种种迅迅速速而而有有效效的的算算法法。FFT算算法法通通过过仔仔细细选选择择和和重重新新排排列列中中间间结结果果，在在速速度度上上较较之之离离散散傅傅立立叶
36、叶变变换换有有明明显显的的优优点点。忽忽略略数数学学计计算算中中精精度度的的影影响响时时，无无论论采采用用的的是是FFT还还是是DFT，结果都一样。结果都一样。如如果果直直接接应应用用上上式式计计算算离离散散傅傅立立叶叶变变换换，将将花花费费很很多多的的时时间间，因因此此很很长长的的一一段段时时间间里里DFT的的使使用用受受到到了了限限制制。直直到到1965年年美美国国的的J.W.Cooley和和J.W.Turkey提提出出了了一一种种离离散散 的的 傅傅 立立 叶叶 变变 换换 的的 快快 速速 算算 法法，即即 FFT(Fast Fourier Transform)，才使得，才使得DFT的
37、计算工作量大为减少。的计算工作量大为减少。15.5 DFT与与FFT北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制展开各点的展开各点的DFT计算公式：计算公式：XR(1)=x(0).cos(2pi*0*1/N)+x(1).cos(2pi*1*1/N)+x(2).cos(2pi*2*1/N).XR(2)=x(0).cos(2pi*0*2/N)+x(1).cos(2pi*1*2/N)+x(2).cos(2pi*2*2/N).有大量重复的有大量重复的cos、sin计算，计算，FFT的作用就是用的作用就是用技巧减少技巧减少cos、sin项重复计算。项重复计算。2 2、
38、快速傅立叶变换、快速傅立叶变换 15.5 DFT与与FFT北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制 分解时充分利用了旋转因子具有周期性及合理分分解时充分利用了旋转因子具有周期性及合理分解的特点，从而使总的计算次数从解的特点，从而使总的计算次数从N2量级减少到量级减少到(N/2)log2N量级，极大地提高了运算速度，故形成了快量级，极大地提高了运算速度，故形成了快速傅立叶变换。速傅立叶变换。当采样点数为当采样点数为1024点，点，DFT要求一百万次以上计要求一百万次以上计算量，而算量，而FFT则只要求则只要求5120次。次。15.5 DFT与与FFT北京工
39、业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制15.5 DFT与与FFT北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制clear allfs=2000*2.56;data1=importdata(nq2k.txt);N=length(data1);figure(1);t=0:1/fs:N/fs1/fs;subplot(211);plot(t,data1);axis(0 0.8 15 15);yy=fft(data1);absy=abs(yy)/N;f=fs*(0:N1)/N;subplot(212);plot(f,absy(1:N)
40、;axis(0 fs 0 0.4);15.5 DFT与与FFT北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制15.5 DFT与与FFT北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制clear allfs=2000*2.56;data1=importdata(nq2k.txt);%N=length(data1);figure(1);t=0:1/fs:N/fs1/fs;subplot(211);plot(t,data1);axis(0 0.8 15 15);yy=fft(data1);absy=abs(yy)/N;f=fs*(0:
41、N/2)/N;subplot(212);plot(f,2*absy(1:N/2+1);axis(0 fs/2 0 0.8);15.5 DFT与与FFT北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制15.5 DFT与与FFT北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制1、栅栏效应、栅栏效应 为为提提高高效效率率,通通常常采采用用FFT算算法法计计算算信信号号频频谱谱，设设数数据据点点数数为为N，采采样样频频率率为为Fs。则则计计算算得得到到的的离离散散频频率率点为：点为：Xs(Fi)，Fi=i*Fs/N,i=0，1，2，.，N
42、/2 X(f)f0f15.6 栅栏效应与窗函数栅栏效应与窗函数北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制1、栅栏效应、栅栏效应 如果信号中的频率分量与频率取样点不重合，则如果信号中的频率分量与频率取样点不重合，则只能按四舍五入的原则，取相邻的频率取样点谱线值只能按四舍五入的原则，取相邻的频率取样点谱线值代替。代替。栅栏效应：对一函数进行采样，实质上是栅栏效应：对一函数进行采样，实质上是“摘取摘取”采采样点上对应的函数值，其效果如透过栅栏的缝隙观看样点上对应的函数值，其效果如透过栅栏的缝隙观看外景一样，只有落在缝隙前少数景象被看到，其余都外景一样，只有落在缝
43、隙前少数景象被看到，其余都被挡住，视为零，这种现象被称为栅栏效应。被挡住，视为零，这种现象被称为栅栏效应。15.6 栅栏效应与窗函数栅栏效应与窗函数北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制2 能量泄漏与栅栏效应的关系能量泄漏与栅栏效应的关系 频频谱谱的的离离散散取取样样造造成成了了栅栅栏栏效效应应，谱谱峰峰越越尖尖锐锐，产生误差的可能性就越大。产生误差的可能性就越大。例如，余弦信号的频谱为线谱。当信号频率与频谱例如，余弦信号的频谱为线谱。当信号频率与频谱离散取样点不等时，栅栏效应的误差为无穷大。离散取样点不等时，栅栏效应的误差为无穷大。15.6 栅栏效应
44、与窗函数栅栏效应与窗函数北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制 实际应用中，由于信号截断的原因，产生了能量泄漏，实际应用中，由于信号截断的原因，产生了能量泄漏，即使信号频率与频谱离散取样点不相等，也能得到该频率分即使信号频率与频谱离散取样点不相等，也能得到该频率分量的一个近似值。量的一个近似值。从这个意义上说，能量泄漏误差不完全是有害的。如果从这个意义上说，能量泄漏误差不完全是有害的。如果没有信号截断产生的能量泄漏，频谱离散取样造成的栅栏效没有信号截断产生的能量泄漏，频谱离散取样造成的栅栏效应误差将是不能接受的。应误差将是不能接受的。15.6 栅栏效应
45、与窗函数栅栏效应与窗函数北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制 能能量量泄泄漏漏分分主主瓣瓣泄泄漏漏和和旁旁瓣瓣泄泄漏漏，主主瓣瓣泄泄漏漏可可以以减减小小因因栅栅栏栏效效应应带带来来的的谱谱峰峰幅幅值值估估计计误误差差，有有其其好好的的一面，而旁瓣泄漏则是完全有害的。一面，而旁瓣泄漏则是完全有害的。015.6 栅栏效应与窗函数栅栏效应与窗函数北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制3 常用的窗函数常用的窗函数 1)矩形窗矩形窗 15.6 栅栏效应与窗函数栅栏效应与窗函数北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥
46、永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制3 常用的窗函数常用的窗函数 2)三角窗三角窗 15.6 栅栏效应与窗函数栅栏效应与窗函数北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制3 常用的窗函数常用的窗函数 3)汉宁窗汉宁窗 15.6 栅栏效应与窗函数栅栏效应与窗函数北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制常用窗函数常用窗函数15.6 栅栏效应与窗函数栅栏效应与窗函数北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制总结：总结：信号截断信号截断能量泄漏能量泄漏FFT栅栏效应栅栏效应从克服栅栏效应误
47、差角度看，能量泄漏是有利的。从克服栅栏效应误差角度看，能量泄漏是有利的。15.6 栅栏效应与窗函数栅栏效应与窗函数北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制通过加窗控制能量泄漏，减小栅栏效应误差：通过加窗控制能量泄漏，减小栅栏效应误差：加矩形窗加矩形窗加汉宁窗加汉宁窗15.6 栅栏效应与窗函数栅栏效应与窗函数北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制思考题：思考题：1.A/D，D/A转换器的主要技术指标有那些？转换器的主要技术指标有那些？2.信号量化误差与信号量化误差与A/D，D/A转换器位数的关系？转换器位数的关系？
48、3.采样定理的含义，当不满足采样定理时如何计算采样定理的含义，当不满足采样定理时如何计算 混迭频率？混迭频率？4.A/D采样为何要加抗混迭滤波器，其作用是什麽？采样为何要加抗混迭滤波器，其作用是什麽？5.数字信号处理中采样信号的频谱为何一定会产生数字信号处理中采样信号的频谱为何一定会产生 能量泄漏？能量泄漏？6.用用FFT计算的频谱为何一定会存在栅栏效应误差？计算的频谱为何一定会存在栅栏效应误差？7.窗函数的作用是什麽？窗函数的作用是什麽？第第15章章 数字信号处理技术数字信号处理技术北京工业大学机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制总结一、信号数字化的一般步骤总
49、结一、信号数字化的一般步骤1、采样：用一个等时距的周期脉冲序列、采样：用一个等时距的周期脉冲序列s(t)又称采又称采样函样函 数去乘模拟信号数去乘模拟信号x(t)2、截断：由于计算机只能进行有限长序列的运算，、截断：由于计算机只能进行有限长序列的运算，所以必须从采样后信号的时间序列截取有限长的所以必须从采样后信号的时间序列截取有限长的一段来计算，其余部分视为零而不予考虑一段来计算，其余部分视为零而不予考虑3、DFT(离散傅立叶变换离散傅立叶变换)：将：将N点长的离散时间序点长的离散时间序列变换成列变换成N点的离散频率序列点的离散频率序列第第15章章 数字信号处理技术数字信号处理技术北京工业大学
50、机电学院北京工业大学机电学院胥胥永永刚刚胥胥永永刚刚胥永刚制胥永刚制总结二、信号数字化出现的问题总结二、信号数字化出现的问题1、时域采样、混叠和采样定理、时域采样、混叠和采样定理(1)采样是把连续信号变成离散时间序列的过程，相当于在采样是把连续信号变成离散时间序列的过程，相当于在 连续时间信号上连续时间信号上“摘取摘取”许多离散时刻上的信号瞬时值。许多离散时刻上的信号瞬时值。(2)混叠：由于用过大的采样间隔，对两个不同频率的信号混叠：由于用过大的采样间隔，对两个不同频率的信号采样，得到一组相同的采样值，无法识别两者的区别，采样，得到一组相同的采样值，无法识别两者的区别，将其中的高频信号误认为某