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1、第三节微积分根本公式积分学中要处理两个咨询题：第一个咨询题是原函数的求法咨询题,咱们在第四章中曾经对它做了探讨；第二个咨询题确实是定积分的盘算咨询题.假如咱们要按定积分的界说来盘算定积分,那将是非常艰苦的.因而追求一种盘算定积分的无效办法便成为积分学开展的要害.咱们明白,不定积分作为原函数的观点与定积分作为积分跟的极限的观点是完整不相关的两个观点.然而,牛顿跟莱布尼茨不只发觉并且寻到了这两个观点之间存在着的深入的内涵联络.即所谓的“微积分根本定理,并由此奇妙地开拓了求定积分的新道路牛顿-莱布尼茨公式.从而使积分学与微分学一同形成变量数学的根底学科微积分学.牛顿跟莱布尼茨也因而作为微积分学的奠定
2、人而载入史册.散布图示弁言引例积分下限函数积分下限函数的导数例1例2-3例4例5例6例7原函数存在定理牛顿-莱布尼兹公式牛顿-莱布尼兹公式的几多何说明例8-9例10例11例12例13例14例15例16内容小结讲堂训练习题5-3前往内容要点一、引例二、积分下限的函数及其导数：定理2假设函数在区间上延续,那么函数确实是在上的一个原函数.三、牛顿莱布尼兹公式定理3假设函数是延续函数在区间上的一个原函数,那么.(3.6)公式(3.4)称为牛顿莱布尼茨公式.例题选讲积分下限的函数及其导数例1(E01)求右图中暗影地区的面积解由题意，失掉暗影地区的面积.例2(E02)求.解例3(E03)求.解这里是的函数
3、，因而是的复合函数，令那么依照复合函数求导公式，有例4设是延续函数,试求以下函数的导数.(1);(2);(3)解(1)(2)由于因而(3)由于，因而，例5(E05)设函数由方程所断定.求解在方程双方同时对求导:因而即故例6(E04)求.剖析:这是型不定式,使用洛必达法那么.解故例7(E06)设在内延续,且证实函数在内为枯燥添加函数.证由于因而故在内为枯燥添加函数.牛顿莱布尼兹公式例8(E07)求定积分.解是的一个原函数，由牛顿-莱布尼茨公式得:例9求解事先,的一个原函数是例10设求解如图(见零碎演示)，在上规则:事先,那么由定积分性子得:例11盘算解由于因而例12(E08)求定积分.解例13(
4、E09)求解由图形(见零碎演示)可知例14盘算由曲线在之间及轴所围成的图形的面积解如图(见零碎演示),依照定积分的几多何意思,所求面积为例15(E10)汽车以每小时36km速率行驶,到某处需求减速泊车.设汽车以等减速率刹车.咨询从开场刹车到泊车,汽车驶过了几多间隔?解起首要算出从开场刹车到泊车通过的时间.设开场刹车的时辰为如今汽车速率为km/h刹车后汽车减速行驶,其速率为当汽车愣住时,速率故由因而这段时间内,汽车所驶过的间隔为即在刹车后,汽车需驶过才干愣住.例16(E11)设函数在闭区间上延续,证实在开区间内至多存在一点使证因延续,故它的原函数存在,设为即设在上依照牛顿-莱布尼茨公式,有显然函数在区间上满意微分中值定理的前提,因而按微分中值定理,在开区间内至多存在一点使故注:本例的论断是对积分中值定理的改良.从其证实中不好看出积分中值定理与微分中值定理的联络.讲堂训练1.设在上延续,那么与是x的函数依然t与u的函数?它们的导数存在吗?假如存在即是什么?2.用定积分界说跟性子求极限3.盘算定积分.