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1、第三节 微积分基本公式 积分学中要解决两个问题：第一个问题是原函数的求法问题,我们在第四章中已经对它做了讨论；第二个问题就是定积分的计算问题. 如果我们要按定积分的定义来计算定积分,那将是十分困难的. 因此寻求一种计算定积分的有效方法便成为积分学发展的关键. 我们知道,不定积分作为原函数的概念与定积分作为积分和的极限的概念是完全不相干的两个概念. 但是,牛顿和莱布尼茨不仅发现而且找到了这两个概念之间存在着的深刻的内在联系. 即所谓的“微积分基本定理”,并由此巧妙地开辟了求定积分的新途径牛顿-莱布尼茨公式. 从而使积分学与微分学一起构成变量数学的基础学科微积分学. 牛顿和莱布尼茨也因此作为微积分
2、学的奠基人而载入史册.分布图示 引言 引例 积分上限函数 积分上限函数的导数 例1 例2-3 例4 例5 例6 例7 原函数存在定理 牛顿-莱布尼兹公式 牛顿-莱布尼兹公式的几何解释 例8-9 例10 例11 例12 例13 例14 例15 例16 例17 内容小结 课堂练习 习题5-2 返回内容要点 一、引例 二、积分上限的函数及其导数：定理2 若函数在区间上连续,则函数就是在上的一个原函数. 三、牛顿莱布尼兹公式定理3 若函数是连续函数在区间上的一个原函数,则. (3.6)公式(3.4)称为牛顿莱布尼茨公式.例题选讲积分上限的函数及其导数例1 (E01) 求右图中阴影区域的面积解 由题意，
3、得到 阴影区域的面积 .例2 (E02) 求 .解 例 3(E03) 求 .解 这里是的函数，因而是的复合函数，令则根据复合函数求导公式，有例4 设是连续函数, 试求以下函数的导数.(1) ; (2) ; (3) 解 (1) (2) 因为所以(3) 因为，所以，例5(E05) 设函数由方程所确定. 求解 在方程两边同时对求导:于是即故例6 (E04) 求 .分析:这是型不定式,应用洛必达法则.解 故 例7设在内连续,且 证明函数在内为单调增加函数.证因为 所以 故在内为单调增加函数.牛顿莱布尼兹公式例8 (E06) 求定积分 .解 是的一个原函数，由牛顿-莱布尼茨公式得: 例9（E07） 求解
4、 当时, 的一个原函数是例10 设 求 解 如图(见系统演示)，在上规定: 当时, 则由定积分性质得:例11（E08） 计算解 因为所以例12 求定积分 .解 例13 (E09)求解由图形(见系统演示)可知例14（E10） 计算由曲线在之间及轴所围成的图形的面积解如图(见系统演示), 根据定积分的几何意义, 所求面积为例15汽车以每小时36km速度行驶, 到某处需要减速停车. 设汽车以等加速度刹车. 问从开始刹车到停车, 汽车驶过了多少距离?解首先要算出从开始刹车到停车经过的时间. 设开始刹车的时刻为 此时汽车速度为 km/h刹车后汽车减速行驶, 其速度为当汽车停住时, 速度 故由 于是这段时间内, 汽车所驶过的距离为即在刹车后, 汽车需驶过才能停住.例16 (E11) 设函数在闭区间上连续, 证明在开区间内至少存在一点使证因连续, 故它的原函数存在, 设为 即设在上根据牛顿-莱布尼茨公式, 有 显然函数在区间上满足微分中值定理的条件, 因此按微分中值定理, 在开区间内至少存在一点 使故 注: 本例的结论是对积分中值定理的改进. 从其证明中不难看出积分中值定理与微分中值定理的联系.课堂练习1.设在上连续, 则与是x的函数还是t与u的函数? 它们的导数存在吗? 如果存在等于什么?2.用定积分定义和性质求极限3.计算定积分.