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1、三、模典范题分析例1求通解为的微分方程，其中、是任意常数分析所给通解表达式中含两个任意常数，故所求的方程该当是二阶的解由，解得，将代入拾掇得，此即为所求微分方程例2试证是方程的解，但不是它的通解，其中是任意常数分析这类题验证所给函数是呼应微分方程的通解或解，只需求出函数的各阶导数，代入微分方程，看是否使微分方程成为恒等式证可以写成，记，那么有，将其代入方程得左端右端，因此是方程的解，由于解中只含有一个独破的任意常数，故它不是该方程的通解注需求弄明晰解、通解的定义，通解中独破常数的个数应与方程的阶数一样例3求以下微分方程的通解：1；2分析在求解微分方程时，起重要揣摸方程的典范，然后按照差异典范，
2、判定解题方法解1方程中间同时除以，那么有，积分得，故通解为，令，那么，而是方程的解，假定在上述通解中赞同，那么也包含在该通解中，因此，原方程的通解是，其中是任意常数2令那么有，代入原方程得，即，因此，不离变量得，因此，即有，得通解这里注1假定题目恳求是求方程的所有解，此题1中，当用去除方程时，可以导致方程失落失落称心的解，即，因此要对此解停顿分析注2 当方程中出现等方法的项时，呼应地，素日要做如下一些变量交流，等例4解方程，并求称心初始条件时的特解解不离变量得，单方积分那么有，从而可得通解为其中是任意常数不的，方程尚有解，不包含在该通解中，故需补上为了求特解，将代入通解得，故所求的特解为例01
3、研设函数在内连续，且对任意有，求分析条件给出了一个积分方程且含有变上限积分，素日是对积分方程单方求导，将积分方程转化为解微分方程解此微分方程，并运用已经明白条件即可求出函数解在等式中间关于求导，得，令可得，由于，从而有，对上式中间关于求导，得，即，因此，将代入上式，得，故例698研已经明白函数在任意点处的增量，且事前，是的高阶无穷小，那么等于ABCD分析由微分定义及原题设可知，解此方程可求得，进而可求得解法1由于，且事前，是的高阶无穷小，由微分的定义可知，即，单方积分得即，其中由，那么有因此应选D解法2等式单方除以并令，得，即以下过程同解法1例7求方程的通解分析原方程可化为齐次方程；也可写成；
4、还可换元令解法1将方程化为齐次方程，令，那么有，代入原方程得，即，因此，积分得，将代入该式，故通解为这里解法2原方程可写成，为时对应的伯努利方程，令，得线性方程，由一阶非齐次线性方程的通解公式可得，其中积分求出并代入得通解，其中取任意常数解法3令，那么可得即，积分得，即有，其中为任意常数例8求微分方程的解分析这是一阶非齐次线性方程，可用常数变易法，也可开门见山运用公式解法1套用公式开门见山求其通解这里，将其代入公式，得原方程的通解为解法2用常数变易法求其通解，其对应的齐次线性方程为，不离变量后求得其通解为，假定是原方程的解，代入原方程得，积分那么有，故原方程的通解为例9求微分方程的解解法1原方
5、程化为，此为齐次方程，令，得，不离变量有，积分得，将代入上式得该方程通解为解法2原方程可变形为，此为一阶线性非齐次方程，其中，由一阶线性非齐次方程的通解公式，可求得通解为例10设曲线积分与道路有关，其中存在一阶连续导数且，且不恒等于零，那么等于ABCD分析由曲线积分与道路有关的充分需求条件可知，从而可得关于的微分方程，解此微分方程即可解由题设可得因此结合不恒等于零，即得，解得由得故有，应选B例1100研设关于半空间内任意光滑有向封闭曲面都有，其中函数在内存在连续的一阶导数，且，求解不失落一般性，假定曲面取外侧，设所围成的立体为，按照高斯公式，有，由的任意性，知，即，此为一阶线性非齐次方程，解得
6、其通解为又，故，即有，得，因此例12求方程的通解分析原方程可写成，这是时的伯努利方程解令，得，代入原方程那么有，即，此为一阶线性非齐次方程，运用一阶线性非齐次方程的通解公式求得其通解为，因此得，即为原方程的通解例13揣摸以下方程是否为全微分方程，并求出其解1；2分析方程为全微分方程的充要条件是假定不是全微分方程，现在假定存在一个积分因子，使得是全微分方程，那么方程可转化为全微分方程来求解解1这里由于，该方程是全微分方程设那么即为所求的通解，以下用三种方法来求解法1选择积分道路为折线道路：那么解法2方程左端，因此解法3由于，那么，其中为待定的可微函数，上式中间分过错求导，得由得，因此故可取，故由
7、上面的任意一种方法都可以解得此方程的通解为其中C为任意的常数2，原方程不是全微分方程可考虑寻求原方程的积分因子解法1原方程可化为，现在，方程的左端有积分因子、等由于右端只需，故取为积分因子，即有，从而可得其通解为不的，亦为原方程的解解法2原方程可写为即，此为齐次方程，令，那么有，即，得其通解为，因此原方程通解为不的，也是原方程的解解法3将看成是以为自变量的函数，原方程可化为线性方程，求得其通解为不的，易见也是原方程的解例14求称心初始条件的解分析该方程为型可落阶的高阶微分方程，方程的右端仅含有自变量，将作为新的未知函数，原方程那么为新未知函数的一阶微分方程，单方积分得关于的阶微分方程依此法连续
8、积分次可得原方程的含有个任意常数的通解解中间积分得，又，那么得，故，对其积分得，将代入上式，得，因此，对该式再次积分得，由于，可得，故所求的特解为注在此类题目中，一般假定出现任意常数，可按照初始条件逐步判定，使后面的运算简化假定先求出通解，再由初值条件定特解也可以，只是打算将会麻烦一点例1500研微分方程的通解是分析该方程中不显含，可以看成是型的可落阶微分方程；不的原方程可化为欧拉方程解法1方程属于型的可落阶微分方程令，那么，原方程化为一阶线性方程，即，其通解为，再对其积分得通解为解法2原方程可化为欧拉方程令，那么原方程可化为求得其通解为例1602研微分方程称心初始条件，的特解是分析该方程中不
9、显含，可以看成是型的可落阶微分方程；不的原方程可化为解法1此微分方程属于型令，那么，因此原方程为，得或前者不称心初始条件，故由后者得，即由初始条件事前，因此，那么有，即积分得由初始条件得故所求特解为解法2由得从而余下解法同解法1例17设线性有关的函数、根本上二阶非齐次线性方程的解，其中是任意常数，那么该非齐次方程的通解是ABCD解非齐次线性方程通解的结构是对应齐次线性方程的通解加上非齐次线性方程自身的一个特解A项事前，不是方程的解，因此就不会是通解，显然过错；B项写成，与是齐次方程的解，因此不是非齐次方程的通解，也过错；C项将代入方程左边得，因此事前，不是该方程的解，故也不是通解；D项写成，与
10、是齐次方程的两个线性有关的特解，是非齐次方程的特解，故是非齐次方程的通解，从而选D例18求以下常系数齐次线性方程的通解1；2；3解1所给微分方程的特色方程为，解得两特色根为，属于两个不相当特色根的状况，故其通解为，其中与为任意常数2所给微分方程的特色方程为，其根为一对共轭复根，那么所求通解为，其中与为任意常数3所给方程的特色方程为，解得二重根，故通解为，其中与为任意常数例1997研设函数存在二阶连续导数，而称心方程，求分析先求出与，然后将其代入到方程中即可失落失落一个以为未知函数的微分方程解令，那么有，将与代入方程可得，其特色方程，特色根为，因此，其中与为任意常数例2001研设为任意常数为某二
11、阶常系数线性齐次微分方程的通解，那么该方程为分析已经明白常系数齐次线性微分方程来求其通解与已经明白通解来判定其方程互为逆运算已经明白通解来判定其方程，可以开门见山求导求出任意常数代入通解中失落失落其方程，也可以借助于特色方程及特色根与方程的关系来判定方程由此题所给通解方法可知，特色方程有一对共轭复根解法1类似例1，可通过求出与消去的方法失落失落所求微分方程，请读者自行完成解法2由通解的方法可知特色方程的两个根是，从而得知特色方程为故所求微分方程为例21求以下常系数齐次线性方程的通解：1；2解1原方程对应的特色方程为即，得，为三重根，因此方程的通解为，其中、为任意常数2原方程对应的特色方程为即，
12、特色根是二重共轭复根，故原方程的通解为：，其中为任意常数例22设，其中为连续函数，求分析条件给出了一个积分方程且含有变上限积分，素日是对积分方程单方求导，将积分方程转化为解微分方程，但是的被积函数中含有，不克不迭开门见山求导，先要将其提到积分号外然后才能求导解由于为连续函数，故为可导函数，对题设等式单方关于求导得，再对上式单方关于求导得，该方程对应的齐次方程的特色方程为，得，那么齐次方程的通解为，其中、为任意常数上面求非齐次方程的一个特解由因此特色方程的单根，故所求非齐次方程的特解形如，因此将代入该非齐次方程中比较系数可得，那么该非齐次方程的通解为，其中、为任意常数由题设等式可知存在隐含初始条
13、件，又由可知，将与代入上述非齐次方程的通解中解得，故例23求微分方程的通解解原方程对应的齐次方程的特色方程为，其两个根为；而关于非齐次项，为特色方程的单根，故非齐次方程有形如的特解，代入原方程可得故所求通解为，其中、为任意常数例24求以下各非齐次线性微分方程的通解1；2；3；4解1先求原方程对应的齐次方程的通解，对应齐次方程的特色方程为，解得那么对应的齐次方程的通解为，其中为任意常数上面再求非齐次线性方程的一个特解属于型，其中，又不是特色根，故原方程有形如的特解，可设，其中为待定常数，将代入原方程，失落失落，比较系数得，从而，那么原方程的通解为，其中为任意常数2所给方程对应的齐次方程的特色方程
14、为，即，有二重根，而属于型，关于非齐次项，为二重根故可设非齐次方程的特解为，代入原方程可得，故所求通解为，其中、为任意常数3解法1由于，属于非齐次项为型的非齐次线性微分方程，其中，其呼应的齐次线性微分方程为，特色方程为，求得特色根，故该齐次方程的通解为，由因此特色根，故原方程有形如的特解，这里，即原方程的一个特解可设为：，代入原方程得，比较方程单方的系数，得，故原方程的特解为：从而原方程的通解为，其中、为任意常数解法2求其对应的齐次方程的通解同解法1，在求非齐次线性微分方程的一个特解时，可运用双数法求考虑方程，即，属于非齐次项为型的非齐次线性微分方程，由因此对应齐次方程的特色根，故可设其一个特
15、解为，将其代入方程可得，得因此特解，取的虚部便可失落失落原方程的一个特解为因此得原方程的通解为，其中、为任意常数4该方程的非齐次项由构成，按照非齐次线性微分方程解的叠加情理求其特解；原方程对应的齐次方程的特色方程为，其特色根为，故对应的齐次方程的通解为，其中、为任意常数；a关于非齐次线性微分方程，不是特色方程的根，故可设其特解为，代入该非齐次方程，得，从而其特解为；b关于非齐次方程，是特色方程的单根，故可设其特解为，代入该非齐次方程得，从而其特解为；c关于非齐次线性微分方程，不是特色方程的根，故可设其特解为，代入该非齐次线方程得，从而其特解为；按照解的叠加情理与通解结构定理可得原方程的通解为，
16、即所求通解为，其中、为任意常数注关于典范的特不状况：与均可用3中的解法2来求特解，其中为实系数多项式例2503研设函数在内存在二阶导数，且，是的反函数1试将所称心的微分方程变卦为称心的微分方程2求变卦后的微分方程称心初始条件，的解分析由反函数导数公式，把，用含有及的各阶导数的函数表示，代入题设等式验证即可解1由反函数导数公式知，即，再对该式中间关于求导，得，因此，代入原微分方程可得2方程所对应的齐次方程的通解为设该非齐次方程的特解为，代入可得，故，从而的通解是，其中、为任意常数由，得，故所求初值征询题的解为例26求方程的通解分析此方程为欧拉方程，作变量代换求解解事前，作变卦，或，那么有，原方程
17、化为对应的齐次方程为，其通解为，非齐次方程的特解可设为，代入该方程得，故其通解为，其中、为任意常数即原方程在时的通解为事前，令，类似地，可求出原方程在时的通解为综上所述，原方程的通解为，其中、为任意常数例27设有连接点与的一条上凸的曲线弧，关于其上任一点，曲线弧与直线段围成的图形的面积为，求曲线弧的方程分析如图111所示，运用定积分的多少多何意思即可求出曲线弧与直线段围成的图形的面积，运用已经明白条件，可得一个含有未知函数的积分方程，对其求导得一微分方程，解之即可解设曲线弧的方程为，由题设其上任一点的坐标称心，曲线弧与直线段围成的图形的面积图111，依题意有，即，中间对求导，拾掇得，因此所求征
18、询题转化为初值征询题，解此微分方程，得通解，将初始条件代入得，因此综上所述，曲线弧的方程为：例28在上半立体求一条向上凹的曲线，其上任一点处的曲率等于此曲线在该点的法线段长度的倒数是法线与轴的交点，且曲线在点处的切线与轴平行解设所求曲线为，由题意，有，那么上的点处法线方程为，它与轴的交点为，因此，得方程，由题意可知即恳求解如下初值征询题：，方程不显含，令，那么有，因此可化为即，解之得，从而有，又，可得，有因此，由得，因此，即，因此上面两式相加即得所求曲线方程为注关于多少多何征询题，一般是求曲线方程，按照题意，由多少多何中的定理、公式树破微分方程并给出可以的初始条件求解上面这些结果经常会用：1表
19、示曲线在点处切线的歪率；2表示曲线在点处的法线歪率；3表示由曲线、直线、及轴所围成的图形的面积；4曲线上横坐标为的点的曲率为；5弧长的微分例29已经明白某车间的容积为，其中的气氛含的以容积打算，现以含为的新鲜气氛输入，征询每分钟应输入多少多，才能在30分钟后使车间气氛中的含量不逾越？假定输入的新鲜气氛与原有气氛特不快混淆均匀后，以一样的流量排斥解设每分钟应输入新鲜气氛，同时设在时刻，车间内含的量为，考虑在到的时段内的变卦，按照题意那么有的输入的排斥=，故令那么可得如下初值征询题：不离变量求得其通解为再由初始条件得，故，由征询题的理论意思可知是减函数，故事前，因此可得注用微元法或称区间法树破微分
20、方程，要从变量在一个宏年夜区间上的变卦量入手，树破起变量在区间上的变卦量与区间的长度之间的关系，即：，令，通过取极限并运用导数的定义即可得微分方程例3097研在某一集团群中履行新技能是通过其中已操纵技能的人停顿的设该人群的总人数为，在时刻已操纵新技能的人数为，在任意时刻已操纵新技能的人数为将视为连续可微变量，其变卦率与已操纵新技能人数跟未操纵新技能人数之积成正比，比例常数，求分析导数的实质即为函数的变卦率，因此，的变卦率为，据此征询题不难求解解由题意可知原征询题等价于求解如下微分方程的初值征询题：，不离变量得，即，可得，其中，由可得，因此，即例3101研设有一高度为为时间的雪堆在融化过程中，其
21、正面称心方程设长度单位为厘米，时间单位为小时，已经明白体积增加的速率与正面积成正比比例系数，征询高度为厘米的雪堆全部融化需多少多小时？分析这是一道数学综合运用题，需精确理解题意恳求能用三重积分求出体积，用二重积分求出正面积，并按照题意树破数学模型，解出，最后求出时的值。解记为雪堆体积，为雪堆正面积，那么，,其中.由题意知，因此，因此，由得令得小时.因此高度为厘米的雪堆全部融化所需时间为小时。例3204研某种飞机在机场落落时，为了增加滑行距离，在触地的瞬间飞机尾部张开加速伞，以增加阻力使飞机警捷加速并停下现有一质量为的飞机，着陆时的水平速率为经测试可知，加速伞在打开后飞机所受的总阻力与飞机的速率
22、成正比其中比例系数征询从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少多？注：表示千克，表示千米小时分析从飞机接触跑道开始计时，设时刻飞机的滑行距离为，速率为，飞机的质量为那么由牛顿第二定律征询题不难求解解法1由牛顿第二定律得又，由以上二式知，即，由，得，从而，事前，因此飞机滑行的最长距离为解法2由牛顿第二定律得，因此，中间积分得通解，由初始条件得，故，飞机滑行的最长距离为解法3由牛顿第二定律得，其特色方程为，得，故由，得，因此，事前，因此飞机滑行的最长距离为注关于力学征询题，按照物理法那么，对研究的东西停顿受力分析，按照牛顿第二定律，列出微分方程，这里是所研究东西的质量，是加速率，它是速率对时间的导数
23、，即，而速率是位移对时间的导数，故有，例33一物质A经化学反应，全部生成另一物质B，设A的初始质量为kg，在小时内生成B物质kg，试求：1通过小时后，A物质起反应的量是多少多？2通过多少多小时后，A物质中的量已经起反应了？分析化学反应的征询题按照化学反应的定律：化学反应的速率跟事前还不起反应的有效物质的质量或浓度成正比解设在时刻，生成B物质的质量为，那么是时刻A物质参与反应的有效质量，由化学反应的定律得为比例系数，由于增加故有，因此系数用由题意可知征询题等价于求解上面的初值征询题：，求得其通解为，由初始条件：时得，再由条件时，得比例系数称心，即从而可以求出征询题1与2的解1即为A物质起反应的量；2的A物质即kg起反应生成B物质，即有等式，求得小时